SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAO




     MATEMTICA            ENSINO MDIO




 Este livro  pblico - est autorizada a sua reproduo total ou parcial.
                          Governo do Estado do Paran
                                Roberto Requio

                      Secretaria de Estado da Educao
                        Mauricio Requio de Mello e Silva

                                    Diretoria Geral
                                Ricardo Fernandes Bezerra

                         Superintendncia da Educao
                         Yvelise Freitas de Souza Arco-Verde

                         Departamento de Ensino Mdio
                                Mary Lane Hutner

                  Coordenao do Livro Didtico Pblico
                              Jairo Maral




Depsito legal na Fundao Biblioteca Nacional, conforme Decreto Federal n.1825/1907,
de 20 de Dezembro de 1907.


 permitida a reproduo total ou parcial desta obra, desde que citada a fonte.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAO
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80240-900 CURITIBA - PARAN


Catalogao no Centro de Editorao, Documentao e Informao Tcnica da SEED-PR




             Matemtica / vrios autores.  Curitiba: SEED-PR, 2006.  p. 216

             ISBN: 85-85380-39-X

             1. Matemtica. 2. Ensino mdio. 3. Ensino de matemtica. 4. Nmeros e lgebra.
        5. Funes. 6. Geometrias. 7. Tratamento da informao. I. Folhas. II. Material de apoio pe-
        daggico. III. Material de apoio terico. IV. Secretaria de Estado da Educao. Superinten-
        dncia da Educao. V. Ttulo.


                                                                                    CDU 51+373.5




                                       .
                                      2 Edio
                                 IMPRESSO NO BRASIL
                               DISTRIBUIO GRATUITA
                        Autores
              Alice Kazue Takahashi Lopes
               Claudia Vanessa Cavichiolo
                  Daisy Maria Rodrigues
              Donizete Gonalves da Cruz
            Loreni Aparecida Ferreira Baldini
            Marcia Viviane Barbetta Manosso
                    Mrian Longaretti
                 Neusa Idick Scherpinski
             Roberto Jos Medeiros Junior

             Equipe tcnico-pedaggica
              Claudia Vanessa Cavichiolo
              Donizete Gonalves da Cruz
                Fabiana Anciutti Orreda
                Lisiane Cristina Amplatz
            Marcia Viviane Barbetta Manosso
                 Renata Cristina Lopes

     Assessora do Departamento de Ensino Mdio
              Agnes Cordeiro de Carvalho

Coordenadora Administrativa do Livro Didtico Pblico
               Edna Amancio de Souza

               Equipe Administrativa
                   Mariema Ribeiro
                Sueli Tereza Szymanek

              Tcnicos Administrativos
              Alexandre Oliveira Cristovam
                   Viviane Machado

                      Consultor
                 Carlos Roberto Vianna

                    Leitura Crtica
              Valdeni Soliani Franco  UEM

                    Colaboradoras
                Anne Eloise Stelmachuck
                 Silvia Regina Alcntara

            Consultor de direitos autorais
             Alex Sander Hostyn Branchier

                   Reviso Textual
             Luciana Cristina Vargas da Cruz
                   Renata de Oliveira

               Projeto Grfico e Capa
           Eder Lima / cone Audiovisual Ltda

                Editorao Eletrnica
                 cone Audiovisual Ltda
                         2007
  CartadoSecretrio
Este   Livro Didtico Pblico chega s escolas da rede como resultado
do trabalho coletivo de nossos educadores. Foi elaborado para atender
 carncia histrica de material didtico no Ensino Mdio, como uma
iniciativa sem precedentes de valorizao da prtica pedaggica e dos
saberes da professora e do professor, para criar um livro pblico, acessvel,
uma fonte densa e credenciada de acesso ao conhecimento.

A motivao dominante dessa experincia democrtica teve origem na
leitura justa das necessidades e anseios de nossos estudantes. Caminhamos
fortalecidos pelo compromisso com a qualidade da educao pblica e
pelo reconhecimento do direito fundamental de todos os cidados de
acesso  cultura,  informao e ao conhecimento.

Nesta caminhada, aprendemos e ensinamos que o livro didtico no 
mercadoria e o conhecimento produzido pela humanidade no pode ser
apropriado particularmente, mediante exibio de ttulos privados, leis
de papel mal-escritas, feitas para proteger os vendilhes de um mercado
editorial absurdamente concentrado e elitista.

Desafiados a abrir uma trilha prpria para o estudo e a pesquisa,
entregamos a vocs, professores e estudantes do Paran, este material de
ensino-aprendizagem, para suas consultas, reflexes e formao contnua.
Comemoramos com vocs esta feliz e acertada realizao, propondo,
com este Livro Didtico Pblico, a socializao do conhecimento e dos
saberes.

Apropriem-se deste livro pblico, transformem e multipliquem as suas
leituras.


                    Mauricio Requio de Mello e Silva
                     Secretrio de Estado da Educao
  AosEstudantes
                           Agir no sentido mais geral do termo significa tomar ini-
                      ciativa, iniciar, imprimir movimento a alguma coisa. Por
                      constiturem um initium, por serem recm-chegados e ini-
                      ciadores, em virtude do fato de terem nascido, os homens
                      tomam iniciativa, so impelidos a agir. (...) O fato de que o
                      homem  capaz de agir significa que se pode esperar de-
                      le o inesperado, que ele  capaz de realizar o infinitamente
                      improvvel. E isto, por sua vez, s  possvel porque cada
                      homem  singular, de sorte que, a cada nascimento, vem
                      ao mundo algo singularmente novo. Desse algum que 
                      singular pode-se dizer, com certeza, que antes dele no
                      havia ningum. Se a ao, como incio, corresponde ao fa-
                      to do nascimento, se  a efetivao da condio humana
                      da natalidade, o discurso corresponde ao fato da distino
                      e  a efetivao da condio humana da pluralidade, isto ,
                      do viver como ser distinto e singular entre iguais.


                                                                   Hannah Arendt
                                                              A condio humana



   Este  o seu livro didtico pblico. Ele participar de sua trajetria pelo
Ensino Mdio e dever ser um importante recurso para a sua formao.

    Se fosse apenas um simples livro j seria valioso, pois, os livros re-
gistram e perpetuam nossas conquistas, conhecimentos, descobertas, so-
nhos. Os livros, documentam as mudanas histricas, so arquivos dos
acertos e dos erros, materializam palavras em textos que exprimem, ques-
tionam e projetam a prpria humanidade.
   Mas este  um livro didtico e isto o caracteriza como um livro de en-
sinar e aprender. Pelo menos esta  a idia mais comum que se tem a res-
peito de um livro didtico. Porm, este livro  diferente. Ele foi escrito a
partir de um conceito inovador de ensinar e de aprender. Com ele, como
apoio didtico, seu professor e voc faro muito mais do que "seguir o li-
vro". Vocs ultrapassaro o livro. Sero convidados a interagir com ele e
desafiados a estudar alm do que ele traz em suas pginas.

    Neste livro h uma preocupao em escrever textos que valorizem o
conhecimento cientfico, filosfico e artstico, bem como a dimenso his-
trica das disciplinas de maneira contextualizada, ou seja, numa lingua-
gem que aproxime esses saberes da sua realidade.  um livro diferente
porque no tem a pretenso de esgotar contedos, mas discutir a reali-
dade em diferentes perspectivas de anlise; no quer apresentar dogmas,
mas questionar para compreender. Alm disso, os contedos abordados
so alguns recortes possveis dos contedos mais amplos que estruturam
e identificam as disciplinas escolares. O conjunto desses elementos que
constituem o processo de escrita deste livro denomina cada um dos tex-
tos que o compem de "Folhas".

    Em cada Folhas vocs, estudantes, e seus professores podero cons-
truir, reconstruir e atualizar conhecimentos das disciplinas e, nas veredas
das outras disciplinas, entender melhor os contedos sobre os quais se
debruam em cada momento do aprendizado. Essa relao entre as dis-
ciplinas, que est em aprimoramento, assim como deve ser todo o pro-
cesso de conhecimento, mostra que os saberes especficos de cada uma
delas se aproximam, e navegam por todas, ainda que com concepes e
recortes diferentes.
    Outro aspecto diferenciador deste livro  a presena, ao longo do tex-
to, de atividades que configuram a construo do conhecimento por meio
do dilogo e da pesquisa, rompendo com a tradio de separar o espao
de aprendizado do espao de fixao que, alis, raramente  um espao de
discusso, pois, estando separado do discurso, desarticula o pensamento.

    Este livro tambm  diferente porque seu processo de elaborao e
distribuio foi concretizado integralmente na esfera pblica: os Folhas
que o compem foram escritos por professores da rede estadual de en-
sino, que trabalharam em interao constante com os professores do De-
partamento de Ensino Mdio, que tambm escreveram Folhas para o li-
vro, e com a consultoria dos professores da rede de ensino superior que
acreditaram nesse projeto.

    Agora o livro est pronto. Voc o tem nas mos e ele  prova do valor
e da capacidade de realizao de uma poltica comprometida com o p-
blico. Use-o com intensidade, participe, procure respostas e arrisque-se a
elaborar novas perguntas.

   A qualidade de sua formao comea a, na sua sala de aula, no traba-
lho coletivo que envolve voc, seus colegas e seus professores.
   EnsinoMdio




Sumrio
                                   .
                  ApresentaoGeral .....................................................................10
Contedo Estruturante: Nmeroselgebra
                  Introduo..................................................................................12
          1  Um;dois;trs;4,5;...; 27?.......................................................15


Contedo Estruturante: Funes
                  Introduo..................................................................................26
          2  EnergiaEltrica:clculosparaentenderoquanto
                    segastaeoquantosepaga..........................................................29
          3  CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado?...............................39
          4  Riscosdeacidenteseexpectativadevida........................................53
          5  Matemtica,msicaeterremoto,oquehemcomum?......................65
          6  $$$Quemmexeunomeubolso?$$$...........................................77
                                                                                               Matemtica




        7  Qualoprximonmero?............................................................93
        8  Aredeeoser..........................................................................107
        9  Venhanavegarporoutrosmares!..................................................121
       10  Rodandoaroda........................................................................137
Contedo Estruturante: Geometrias
              Introduo................................................................................150
       11  Abelezadasformas...................................................................153
       12  Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai?..................................165
       13  Qualmatemticaestpresentenoresgatedobarco?........................179


Contedo Estruturante: TratamentodaInformao
              Introduo................................................................................192
       14  Leitura,ImagemeInformao......................................................195
       15  ArtedeContar..........................................................................207
       16  SonhoAssegurado?...................................................................223
       EnsinoMdio




           A             Ao longo de todos esses anos, voc tem estudado Matemtica e,


           p
                     provavelmente, consegue reconhecer algumas situaes em que ela 
                     fundamental e est mais evidente. Diante das situaes vivenciadas no
                     cotidiano de seus estudos e pesquisas, voc j se questionou sobre:
                         O que  Matemtica? Para que ela serve? Quando vou us-la?

           r             Parece difcil pensar respostas em poucas palavras porque a im-
                     presso que temos  que sempre poderemos complement-las. Isto se
                     deve ao fato da Matemtica ter sido construda ao longo da histria da

           e         humanidade e quase sempre relacionada com outras reas do conhe-
                     cimento. E voc faz parte dessa histria de construo! Alguma vez vo-
                     c j pensou sobre isso?
                         A matemtica  uma cincia que provm da construo humana,

           s         seus conceitos surgiram da necessidade do homem resolver situaes-
                     problema. Essas situaes normalmente esto relacionadas com outras
                     reas, mas nem sempre, em momentos que ficamos diante de uma si-

           e         tuao real, percebemos que estamos usando conceitos matemticos,
                     mas eles esto presentes. Afinal, a matemtica no  apenas uma disci-
                     plina,  uma forma de pensar que deve estar ao alcance de todos. Sen-
                     do assim, somos capazes de aprender matemtica, independente do

           n         meio social que estamos inseridos, uma vez que ela  parte integrante
                     de nossas razes culturais.
                         Contemplamos neste livro os contedos estruturantes  Nmeros

           t         e lgebra, Funes, Geometrias e Tratamento da Informao , os
                     quais no se esgotam nas abordagens escolhidas pelos autores, sendo
                     possveis muitas outras.
                         Optamos por no apresentar, sempre que possvel, as definies e

           a         demonstraes das relaes matemticas, para que voc, aluno, parti-
                     cipe da construo das mesmas e que, dessa forma, a matemtica lhe
                     possibilite leituras de mundo, contribuindo na formao do seu pen-

                    samento matemtico crtico, o qual influi nas tomadas de decises em
                     diversas aes do cotidiano. E por que essa concepo para se abor-
                     dar contedos de matemtica?
                         Isso se deve ao fato de que no ensino da Matemtica escolar tem se

                    enfatizado mtodos que se fundamentam no rigor das demonstraes
                     matemticas. Essa prtica favorece o carter meramente utilitrio, que



           o
10   Apresentao
                                                                           Matemtica




cria condies para o manejo mecnico do objeto matemtico de for-
ma a resolver situaes-problema, sem a devida preocupao de bus-
                                                                           M
car a validade e aceitao cientfica.
    Elaboramos esses textos com o objetivo de que voc, estudante,
conceba a Matemtica como uma cincia a ser experienciada. Assim, 
possvel vivenci-la por meio de situaes-problema do seu cotidiano,
                                                                           A
possibilitando a explorao dos conceitos matemticos atravs de ati-
vidades, pelas quais possa entender os seus significados.
    Nessa concepo, valorizam-se as distintas maneiras de manifes-
tao do conhecimento matemtico, ou seja, as quantidades e as for-
                                                                           T
mas espaciais como meio para produzirmos um raciocnio e uma l-
gica matemtica a partir das situaes ligadas s nossas experincias
pessoais e coletivas.
    Essas idias aqui defendidas nos permitem pensar em uma prtica
                                                                           E
de ensino de matemtica numa perspectiva crtica, que articula o co-
nhecimento matemtico com as outras reas, contribuindo na soluo
de problemas presentes no meio social, poltico, econmico e histri-
co no qual nos inserimos.
                                                                           M
    No ensino da Matemtica, a abordagem experienciada pelo valor
formativo possibilita a voc, estudante, criar no seu imaginrio, uma
heurstica que, por meio da elaborao de hipteses, oriente a busca
de solues para as situaes-problema. Uma abordagem interessante
para ns  a que leva em considerao o valor esttico. Esta, possibili-
                                                                           
ta por meio da geometria, intervir na mudana do espao onde circu-
lamos e vivemos, resultado do esprito inventivo do ser humano, que
faz a pessoa perceber a beleza atravs da apreciao, sensibilidade e,
por conseguinte, de estados emocionais diversos.
                                                                           T
    As produes que fazem parte deste Livro Didtico Pblico da Dis-
ciplina de Matemtica, procuram partir de situaes de nossa vivn-
cia e consideram a investigao matemtica como fundamento teri-
co-metodolgico para direcionar a prtica docente. Sendo assim, ao
                                                                           I
                                                                           C
resolver um problema matemtico, pensamos nos estudantes usando
etapas, tais como: a observao, a explorao, a formulao de conjec-
turas, a pesquisa terica, a confirmao das conjecturas e, finalmente,
a validao ou refutao das conjecturas.


                                                                           A
                                                                                        11
       EnsinoMdio




            I
                       Nmeroselgebra
            n            Voc j deve ter se perguntado: quando surgiram os Nmeros?
                     Quando surgiu a lgebra? Houve uma data que demarcou o incio


            t        desses conhecimentos matemticos?
                         Os nmeros esto presentes na vida do homem desde tempos
                     remotos. Esses tempos so denominados Idade da Pedra e Paleoltico.
                     Nesse perodo, o homem vivia em condies semelhantes  dos animais,


            r        sendo que sua atividade principal era recolher alimentos para sua
                     sobrevivncia. No transcorrer de sua histria, passou a fabricar alguns
                     instrumentos utilizados na caa e na pesca e desenvolveu linguagens
                     que possibilitavam a comunicao. A partir do momento que o homem


            o
                     passou da simples coleta de alimento para a produo do mesmo,
                     ou seja, alm da caa e da pesca, comeou a utilizar a agricultura,
                     ocorreram progressos no conhecimento de valores numricos e
                     passaram a conhecer noes de relaes espaciais.


            d
                         A produo do alimento por meio da atividade agrcola foi uma
                     transformao fundamental e a ao do homem sobre a natureza
                     passou de passiva  ativa, isto , os homens caadores e pescadores
                     foram substitudos pelos homens agricultores  iniciou-se assim, um


            u
                     novo perodo da Idade da Pedra, o Neoltico.
                         A agricultura criou um novo modo de vida. As idias de contagem
                     se desenvolveram, outros povos adotaram os conceitos e criaram seus
                     sistemas de numerao, entre eles, citamos os sumrios, babilnios,


            
                     egpcios, gregos, romanos, hebraicos, maias, chineses, indianos e
                     rabes. Sem dvida, a inveno do sistema de numerao conhecido
                     hoje, que parece uma aptido inata no homem, tem uma histria
                     excitante que varou sculos.


            
                         A lgebra, importante captulo da cincia Matemtica, desenvolveu-
                     se sob influncias de vrias culturas. H registros na literatura da Histria
                     da Matemtica que os babilnios, por volta de 2000 a.C., acumulavam
                     razovel quantidade de material que hoje pode ser classificada como


            o
12   Introduo
                                                                               Matemtica




                                                                               M
lgebra elementar. So as primeiras consideraes que a humanidade
fez a respeito de idias que se originaram de simples observaes,
                                                                               A
                                                                               T
provenientes da capacidade humana de reconhecer configuraes
fsicas e geomtricas, comparar formas, tamanhos e quantidades. As
idias algbricas evoluram e pode-se mencionar a lgebra egpcia,
babilnica, pr-diofantina, diofantina, chinesa, hindu, arbica e da


                                                                               E
cultura europia renascentista. Cada lgebra evidenciou elementos
caractersticos que expressam o pensamento algbrico de cada cultura.
Tais idias se desenvolveram e configuraram a lgebra como importante
meio para as pessoas resolverem problemas.


                                                                               M
    Dessa forma, somar, subtrair, multiplicar, dividir, agrupar, desagrupar,
algebrizar so termos que se fazem presentes no dia-a-dia. Desde os
primeiros dias de vida, os nmeros fazem parte de nossa vida: "nasceu
dia 05 de dezembro, s 19h55min, com 47 cm e 3,375 kg". Voc sabia
que at nota de 0 a 10 os recm nascidos recebem? Ento, por que, s
vezes parece que a matemtica  to distante e sem sentido?
    A inteno  que voc perceba a matemtica como uma construo
decorrente da ao humana, fazendo com que regras e definies sejam
                                                                               
construdas pelos atores principais da ao: voc e seu professor, uma
dupla que tem muito a ensinar e muito a aprender.
    No Folhas Um; dois; trs; 4,5;... ; 27 ? aborda-se de forma histrica a
necessidade que o homem tem e teve de resolver problemas nas mais
                                                                               T
diversas situaes que experienciou. Experincia  necessrio para pr
em ao as interaes entre voc e seu professor, para familiariz-
lo, ao processo de aquisio de novas informaes e conhecimentos
-- um processo que tem vrios aspectos, entre eles: a aprendizagem,
                                                                               I
descoberta, criao e compreenso.
    Pois bem, mos  obra e vamos s descobertas!
                                                                               C
                                                                               A
                                                                                            13
       EnsinoMdio




14   Nmeroselgebra
                                                                                                 Matemtica




                                                                                             1
                                  Um; dois; trs; 4,5; ...; 27?
                                                                                Roberto Jos Medeiros Junior1




                                                                      oc j parou para pensar so-
                                                                     bre a origem dos nmeros?
                                                                  J refletiu sobre o fato de, pratica-
                                                               mente, tudo que est a sua volta ter,
                                                             em algum lugar, nmeros?




Colgio Estadual Conselheiro Zacarias - EFM -Curitiba - PR
1




                                                                               Um;dois;trs;4,5;...; 27?        15
       EnsinoMdio

                                   Olhe a tira em quadrinhos abaixo:




                                                                                                                                                  Fonte:Prova do ENEM 2003
                                   Que recado Mafalda quis transmitir?
                                   Voc j ouviu falar no tal "indicador de desemprego"?
                                   Qual a relao entre o "dedo indicador" e o nmero trs mil?
                                   Como voc acha que est o desemprego nos pases de primeiro
                               mundo?
                                   Voc conhece algum que foi procurar trabalho fora do Brasil?
                                   Voc j ouviu falar da PME?  a Pesquisa Mensal de Emprego. Ela
                               fornece indicadores de mercado de trabalho e acompanha a dinmica
                               conjuntural de emprego e desemprego.
                                   No incio do ano 1930, os livros para alunos das sries iniciais tra-
                               tavam os desempregados como "desocupados". Hoje o fenmeno do
                               desemprego  considerado estrutural, isso significa que no  poss-
                               vel criar emprego para todas as pessoas, que o mundo est organizado
                               (ou estruturado) de uma maneira tal que cada vez fica mais difcil con-
                               seguir empregos, e as exigncias vo se tornando maiores.


                     ATIVIDADE
         No grfico ao lado, a sigla PO 
                                                                Distribuio da PO por grupamento de atividade
     Pessoas Ocupadas  indica a parte
                                                                       segundo a cor ou raa nas seis RMs      Branca
     da populao economicamente ati-         %
     va: pessoas que, num determinado                                                                                       Preta/Parda
     perodo de referncia, trabalharam
     ou tinham trabalho.
        As PO so classificadas em: em-
     pregados, conta-prpria, emprega-
     dores e no remunerados.
          As RMs  Regies Metropolita-
                                                18,7
                                                       14,9



                                                                    10,3

                                                                           20,3
                                                                                  20,7

                                                                                          15,0
                                                                                                 11,2

                                                                                                        17,7
                                                                                                               13,0



                                                                                                                            11,2

                                                                                                                                   16,4
                                                                                                                                          17,9




     nas  analisadas para obter os dados
                                                              5,9




                                                                                                                      5,4




     que geraram este grfico foram: Re-
                                               Indstria Construo Comrcio               Serv.   Sade    Serv.     Outros
     cife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de                                               Prest. Educao Domsticos Servios
     Janeiro, So Paulo e Porto Alegre.                                                  Empresas Adm. Pub.
        Que informaes o grfico traz?        Fonte: Pesquisa Mensal de Emprego  PME  maro de 2004 - IBGE



16   Nmeroselgebra
                                                                                    Matemtica



               PESQUISA

    Voc sabe o que significa a sigla IBGE?
    Quais as causas do desemprego no Brasil?
    Como se constri esse indicador?

    Comparando a charge da Mafalda e o grfico da PME, vemos que
so mencionados nmeros que tm caractersticas diferentes. Talvez a
mais notvel seja a existncia de vrgulas indicando nmeros decimais.
Voc acha que somente com esses tipos de nmeros poderamos ex-
pressar todas as situaes no mundo de hoje? Sabe como so chama-
dos esses "tipos" de nmeros?
    Com o tempo, vamos transformando cada vez mais nosso modo
de comunicao. Isso significa que tanto o alfabeto quanto os nme-
ros, como os modos de utilizao destes recursos, esto em constante
transformao. Alguns acham que isso  um "progresso", uma "evolu-
o"; outros gostariam que as coisas no mudassem tanto.
    Por acaso, voc j se comunicou atravs de conexes on-line pela
internet? Ou j teve a oportunidade de ler alguma coisa escrita em
internets? (linguagem utilizada na internet baseada na simplificao
informal da escrita).

     Oie :-)
     td baum?
     blz e vc?
     =]
     hauihauiha
     kkkkkkkkkk
     o q foi?
     nada, to vendo a foto de um bafo que dei! hihihihihi
     eh?! manda pra mim ;-)
     eh... hehehehe lol... depois t mando, agora to curtindo
     uma house music [=)
     vo nessa bjus!

    As coisas mudam, h uns vinte anos esse dialeto no seria entendi-
do. Do mesmo modo, a linguagem e a forma dos nmeros em Mate-
mtica foram mudando com o tempo, novas representaes numricas
foram aparecendo para dar conta das necessidades das sociedades. Se
escrevermos o internets  porque existe uma lngua padro na qual
nos baseamos. Ou seja, o internets  uma forma de comunicao "de-
rivada" da lngua portuguesa.

                                                                    Um;dois;trs;4,5;...; 27?    17
        EnsinoMdio

                               Nmeros em transformao
                                           Contar  preciso! A Matemtica surgiu inicialmente da
                                        necessidade de contar e registrar nmeros. At onde sabe-
                                        mos nunca houve uma sociedade sem algum processo de
                                        contagem ou fala numrica (isto , associando uma cole-
                                        o de objetos com algumas marcas facilmente manipul-
                                        veis, seja em pedras, ns ou inscries, tais como marcas
                                        em madeira ou ossos).
                                           O objeto mais antigo, utilizado pelo homem para fa-
                                        zer registros de contagem,  o basto de Ishango, um osso
                                        encontrado no Congo (frica) em 1950, datado de 20000
                                        a.C., possui marcas compatveis a um sistema de numera-
                                        o de base 10,  18 mil anos mais antigo do que a mate-
                                        mtica grega.


                  PESQUISA

        Que tal voc pesquisar um pouco mais sobre a Pr-Histria? Elabore um pequeno texto
     sobre os principais perodos da pr-histria e o modo como as civilizaes foram se adap-
     tando s novas realidades.

                                O que seria de ns sem os nmeros e o calendrio? Voc j imagi-
                            nou viver sem saber em que ano, ms, dia e hora est? Quantos dias
                            tm um ano? Voc j percebeu algum padro nos dias da semana? Co-
                            mo  possvel saber em que dia da semana cai o seu aniversrio no
                            ano de 2020?
                                Segundo contam os historiadores, somente aps a chegada das ati-
                            vidades comerciais houve uma evoluo significativa da escrita e da
                            linguagem. As palavras, at ento, exprimiam coisas muito concretas
                            e pouco abstratas, mas, o que pensar sobre os habitantes da selva da
                            frica do Sul e de algumas tribos existentes at mesmo no Paran, que
                            contam "um, dois e muitos?". At a lngua inglesa ainda guarda um res-
                            qucio desse estgio na palavra thrice, que tanto pode significar "trs
                            vezes" como "muito" ou "extremamente".
                                Os Sumrios, povos que habitaram o Oriente Mdio, desenvolveram
                            o mais antigo sistema numrico conhecido. A Sumria era uma regio
                            situada ao sul da Mesopotmia e seu povo, provavelmente, foi o
                            primeiro a habitar esta localidade, por volta do quarto milnio a. C.
                            O sistema sumrio era posicional e utilizava a base 60 e em vez dos dez
                            algarismos 0, 1, 2, 3, ..., 9, utilizado hoje, este sistema tinha apenas dois
                            smbolos que representam unidades e dezenas. Os smbolos utilizados
                            eram para as unidades e             para as dezenas.



18    Nmeroselgebra
                                                                                              Matemtica

   Uma aplicao do sistema de numerao sexagesimal  encontrado na contagem de tempo:
uma hora  dividida em 60 minutos e o dia e a noite tm 12 horas (12  a quinta parte de 60).
J na geometria, o crculo tem 360o, que  seis vezes 60. Percebeu a influncia dos nmeros
nas civilizaes? Pois ento, a esses nmeros utilizados para contar, chamamos de Nmeros
Naturais ( ).

                                         = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 3000, ...}

    Voc poderia perguntar: Mas, o zero  utilizado para contar? Como contar nada?
    Historicamente o zero foi o ltimo nmero a ser inventado e o seu uso matemtico parece
ter sido criado pelos babilnios. Sabemos que o zero apareceu para representar no sistema de-
cimal/posicional a dezena, centena, milhar, ou seja, nmeros cada vez maiores utilizando um
tipo de sistema mais adequado s necessidades do homem. Os documentos mais antigos co-
nhecidos onde aparece o nmero zero, no so anteriores ao sculo III a.C. Ao que se sabe,
os maias foram um dos poucos povos a adotar o algarismo zero, que tinha a forma oval ou de
um olho, seu sistema de numerao era posicional e usava a base 20. Um dos grandes proble-
mas matemticos do homem comeou a ser a representao de grandes quantidades. A solu-
o para isto foi instituir uma base para os sistemas de numerao.
    O sistema numrico Indo-rbico e a maioria dos outros sistemas de numerao usam a ba-
se dez, isto porque, aparentemente, o princpio da contagem se deu em correspondncia com
os dedos da mo de um indivduo normal. Para este sistema de numerao torna-se habitual
a contagem pelos dedos, no  por menos que a palavra dgito vem do latim digitus que sig-
nifica dedo.
    Na Base 10, cada dez unidades so representadas por uma dezena,
que  formada pelo algarismo um e pelo algarismo zero, ou simples- *Sabe-se muito pou-
mente, 10. Este antigo smbolo hindu era comumente usado em inscri- co sobre Pitgoras. Alguns
es e manuscritos para assinalar um espao no preenchido, que era chegam a dizer que ele no
                                                                           existiu e que seu nome te-
chamado sunya, significando "lacuna" ou "vazio". Essa palavra entrou
                                                                           ria sido criado para unificar
para o rabe como sifr, que significa "vago". Ela foi transliterada para o
                                                                           os adeptos de uma seita filo-
latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200. Essas suces-
                                                                           sfico-religiosa. Sua vida foi
sivas mudanas, passaram tambm por zeuero, zepiro e cifre, levaram
                                                                           envolvida em aspectos mito-
as nossas palavras "cifra" ou "zero".
                                                                           lgicos, teria recebido a filo-
    O significado duplo da palavra "cifra" hoje - tanto pode se referir ao sofia por uma revelao di-
smbolo do zero como a qualquer dgito - no ocorria no original hindu vina (filho de Apolo) e seria
que tinham o sistema decimal com o zero, mas paravam nas unidades, onipresente. Deixou duas
no usando casas decimais. Para as fraes usavam notao com dois doutrinas clebres: a divin-
smbolos, semelhantes ao numerador e denominador.                          dade do nmero e a cren-
    Para os problemas matemticos enfrentados pelos povos primitivos a na migrao das almas
bastavam os nmeros naturais. Porm, atravs do desenvolvimento das de corpo em corpo. Pregava
civilizaes surgiram novas necessidades, exigindo uma investigao so- que os nmeros constituem
bre a natureza e propriedade dos nmeros. Destas necessidades, nas- a essncia de todas as coi-
ceu a Teoria dos Nmeros, por volta de 600 a.C., quando Pitgoras* e os sas, so a verdade eterna e
seus discpulos comearam a estudar as propriedades de outro conjunto o princpio de tudo.
numrico, atualmente classificado como Nmeros Inteiros ( ).




                                                                             Um;dois;trs;4,5;...; 27?       19
           EnsinoMdio

                                  Inteiros por que no so quebrados? Isso mesmo, servem para re-
                               presentar quantias exatas e ainda podem ser utilizados para solucionar
                               questes como: de dez tirei vinte, com quanto fiquei? Se preferir 10 
                               20 = ?
                                     = { ..., -n, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., n, ...}
                                  ou

                                  -6    -5     -4      -3    -2         -1       0       1     2    3    4    5       6
                                    Os pitagricos acreditavam que os nmeros eram "realidades pri-
                               mordiais do universo" (CARAA, 2002, p.67), que tudo no universo es-
                               tava relacionado com nmeros ou razes entre eles.
                                   Analogamente ao que aconteceu com o zero, que s foi usado mui-
                               to tempo depois dos outros naturais, tambm a notao para as fraes
                               num sistema posicional s foi retomada com a separao entre a par-
                               te inteira e a parte fracionria no sculo XVI.
                                   Esse tipo de notao est presente no conjunto dos Nmeros Racio-
                               nais ( ). Quando dividimos um nmero inteiro (a) por outro nmero in-
                               teiro (b), com b 0, obtemos um nmero racional. Que tal um exemplo:
                                   Se a = 8 e b = 4, obtemos o nmero racional 2,0. Se a =1 e b = 4,
                               obtemos o nmero racional 0,25. Ambos tm um nmero finito de ca-
                               sas aps a vrgula e so chamados de racionais de decimal exata.
                                   Existem casos em que o nmero de casas aps a vrgula  infinito.
                               Por exemplo, se na razo a/b, a = 1 e b = 9 nos d o nmero racional
                               0,1111111111...  a chamada dzima peridica. O que aconteceria se
                               essa seqncia continuasse?
     Preencha a tabela:            Existe algum padro nessa tabela? O que acontece quando os n-
       a        b        a/b   meros vo aumentando infinitamente? Voc saberia demonstrar que to-
                               do nmero racional pode ser representado por uma dzima peridica?
       2        9
       3        9                  Podemos considerar os nmeros racionais como aqueles que po-
                               dem ser representados como um nmero fracionrio de quociente exa-
       ...      9
                               to ou peridico. Englobam os nmeros naturais e os nmeros inteiros.
       n        9
                               Mas, inteiros e racionais tm as mesmas propriedades?
                                       = {x = a/b, com a               ,b        eb      0}

                                  -5 -4,5 -4 -3,5 -3    -2        -1         0       1        2 2,5 3 3,5 4       5




                         ATIVIDADE

         Que tal voc pegar uma folha e desenhar um quadrado, sendo a medida do lado um nmero inteiro
      positivo. Feito o quadrado, o que se pode dizer sobre o valor da medida da diagonal?



20    Nmeroselgebra
                                                                                               Matemtica


     Voc acha que o valor da diagonal ser um nmero inteiro? Para ilustrar essa situao vamos utilizar
 um quadrado cuja medida do lado  igual a 1. Qual ser a medida do lado maior do tringulo retngu-
 lo? Ser possvel representar tal valor por meio de uma razo de nmeros inteiros?


    Vamos supor que existisse uma frao irredutvel a tal que 2 = a. Uti-
                                                     b             b
lizando alguns recursos aritmticos, voc chegar na igualdade a2 = 2b2,
o que dizer sobre a2 ? Ser um nmero par? Se for, o mesmo  verda-
deiro para a, isto , a = 2r, sendo r outro nmero inteiro. Substituindo
a = 2r em a2 = 2b2, obtemos, b2 = 2r2. Mas esta ltima relao nos diz
que b2  nmero par, logo b tambm  par. Chegamos a um absurdo,
pois a  frao irredutvel, no sendo possvel que a e b sejam ambos
     b
pares. Somos, assim, forados a rejeitar a suposio inicial de que 2
seja um nmero racional na forma a .
                                     b
    Com essa anlise os pitagricos consideraram quebrada a harmo-
nia do universo, j que no podiam aceitar a raiz quadrada de dois co-
mo um nmero, mas, no podiam negar que esta raz era a medida da
diagonal de um quadrado unitrio, um nmero cujo valor aproxima-
do  1,414213562373... Como poderia isto ser um nmero? Tal mons-
truosidade feria a harmonia Divina, ficou escondida por muito tempo,
para ento anunciar ao mundo a presena de um novo conjunto nu-
mrico: os Nmeros Irracionais, nmeros que no podem ser expres-
sos pela razo (diviso) na forma a/b com b 0. J parou para pensar
o porqu do b 0?


                ATIVIDADE

     Que tal um desafio: verifique voc mesmo que     2 + 3  irracional!


    Como calcular o comprimento de uma circunferncia sabendo so-
mente o dimetro? Um fato importante notado pelos gemetras da
antiguidade foi que "quanto maior o dimetro, maior o comprimen-
to", (usando este princpio, os gregos conseguiram resolver diversos
problemas envolvendo o que hoje chamamos de "limite") mais ain-
da, que o comprimento da circunferncia  proporcional ao seu di-
metro. Se indicarmos por C o comprimento e por d o dimetro, isto
significa que o quociente C/d  constante, qualquer que seja a cir-
cunferncia considerada. Medidas experimentais mostravam que esta
constante era um pouco maior do que 3. Os gemetras antigos usa-
ram, com muito sucesso, valores aproximados para esta constante co-
mo, por exemplo, 22 .
                   7

                                                                             Um;dois;trs;4,5;...; 27?      21
          EnsinoMdio

         Hoje sabemos que tal constante  um nmero irracional de valor bem definido chamado
     pi [ ], que  a inicial da palavra grega periferia e, segundo a revista Science News, de setem-
     bro de 1989, David e Gregory Chudnovsky j o calcularam com um bilho de algarismos de-
     cimais exatos aps a vrgula.
         David e Gregory Chudnovsky nasceram em Kiev, Ucrnia, depois da Segunda Guerra Mun-
     dial, e pertencem a uma classe de tericos muito singulares. Juntos j escreveram 154 artigos
     e 12 livros, a maioria sobre a teoria dos nmeros. Gregory Chudnovsky publicou seu primeiro
     artigo com 16 anos! Projetaram e construram, em seu apartamento, um computador com peas
     compradas pelo correio, com o qual calcularam o valor de pi com a maior preciso de dgitos
     possvel, batendo, assim, um recorde to sonhado por inmeros matemticos.
         Os irmos David e Gregory Chudnovsky ficaram muito famosos, e foram protagonizados
     em um filme chamado Pi, de Darren Aronofsky. O roteiro  centrado em Max Cohen, que aps
     quase ficar cego ao olhar para o sol, aos seis anos de idade, emerge dessa experincia com um
     dom incomum para Matemtica. Apesar de aplic-lo mais constantemente na soluo de sim-
     ples multiplicaes para a garotinha que  sua vizinha, Max se dedica em empregar seu dom
     para identificar padres matemticos na natureza, a ponto de ter construdo, dentro de casa,
     um supercomputador para auxili-lo em seus estudos.



                        ATIVIDADE

          Que tal obter experimentalmente o valor de pi? Por exemplo, vamos experimentalmente encontrar o
      valor de pi em um objeto circular (poderia ser a tampa de uma panela, prato ou lixeira).


          Material necessrio:
     1.   Revistas para recortar (podem ser substitudas por espetinhos de churrasco de madeira);
     2.   Barbante ou cadaro;
     3.   Objetos circulares (prato, tampa de lixeira, de margarina etc.);
     4.   Esquadro escolar (de madeira ou plstico);
     5.   Cola de madeira ou cola branca;
     6.   Grampeador;
     7.   Fita adesiva;
          Eis o que pretendemos:

                                                                               Reta qualquer perpendicular  reta r




                                                                           r




22    Nmeroselgebra
                                                                                     Matemtica

    Desenvolvimento da atividade:
    1 Passo: construir os dois pares de retas perpendiculares.
    Para isso voc pode enrolar quatro canudos feitos com folhas de re-
vista, ou adquirir palitos de churrasco.




                  Fonte: imagem do autor, 2007.

    2 Passo: acertar os ngulos entre os canudos para que se aproxi-
mem dos 90. Feito isso, podemos fixar os canudos com o ngulo de-
sejado com grampos mtricos ou fita adesiva.




                  Fonte: imagem do autor, 2007.

   3 Passo: com o objeto circular em mos, passamos a determinao
do centro do objeto empiricamente (a imagem que segue  um exem-
plo do posicionamento dos pontos de tangncia).




           Fonte: imagem do autor, 2007.

                                                                     Um;dois;trs;4,5;...; 27?    23
       EnsinoMdio

                          Em um objeto circular, teramos o centro e o dimetro como os
                       apresentados:




                                        Fonte: imagem do autor, 2007.



                           Note que os canudos, se in-
                       terceptam de um ponto que ,
                       aproximadamente, o centro do
                       prato. Partindo da, temos que:
                          a) Encontrar o comprimento
                             (permetro) da circunferncia,
                             para isso basta contornar a
                             tampa com um barbante, es-
                             tique o barbante na rgua e
                             anote a medida encontrada.
                                                                     Fonte: imagem do autor, 2007.


                          b) Encontrar o dimetro da circunferncia. Mas o que  mesmo dimetro?
                             A igualdade d = 2r lembra algo? Bem uma definio de dimetro seria
                             "segmento de reta que une dois pontos de uma circunferncia, passan-
                             do pelo centro". Mas cad o centro do prato? Uma tcnica interessante
                              primeiramente traar duas cordas no paralelas  circunferncia. Se-
                             gundo: marcar as mediatrizes dos segmentos e por esses pontos traar
                             retas perpendiculares. A interseo das retas ser o centro da tampa. O
                             caso  que o prato das imagens no permite que sejam traados seg-
                             mentos para que sejam traadas mediatrizes. Por isso optamos por re-
                             tas perpendiculares j estabelecidas.
                             O que aconteceria se transladasse a estrutura de canudos para dentro
                             do prato? Perderamos a localizao do centro da circunferncia?
                          c) Medir o comprimento do dimetro na rgua e, ento, dividir o valor de C
                             por d (C  comprimento da circunferncia e d  o dimetro) o resultado
                             dessa diviso deve ser um valor prximo de 3,14... valor de pi.
                             Fica como sugesto dinamizar esse translado (ou mesmo o valor de pi)
                             no software de geometria dinmica Geogebra.


24   Nmeroselgebra
                                                                                                 Matemtica



                ATIVIDADE

    Agora um desafio: se a e b so nmeros irracionais positivos, pode a potncia ab ter valor racional?
 Analise o caso ( 2 ) , trata-se de um nmero racional ou irracional?


                                                                                   As letras , e so,
   Concluindo, da unio dos nmeros Racionais com os Irracio-                    respectivamente, as iniciais
nais surgem os nmeros Reais, ou seja, os nmeros do mundo                       das palavras nmero (ou na-
real. Simbolicamente representados por =     I, e de forma re-                   tural), quociente e real. A le-
sumida,                .                                                         tra  a inicial da palavra
                                                                                 zahl, que significa nmero
                                                                                 em alemo.



  ObrasConsultadas
  VILA, G. Objetivos do ensino da Matemtica. Revista do Professor de Matemtica. Rio de Janeiro,
   .
  no 27, SBM, p. 1-9, 1995.
  BOYER, C. Histria da Matemtica. So Paulo: Edgar Blcher, 1974.
  CARAA, B. J. Conceitos fundamentais da Matemtica. Lisboa: Livraria S da Costa Editora,
  1984.
  COSTA, M. A. As idias fundamentais da Matemtica e outros ensaios. So Paulo: EDUSP,
  1971.
  DEVLIN. K. J. Os Problemas do Milnio, sete grandes enigmas matemticos do nosso tempo.
  Rio de Janeiro: Record, 2004.
  EVES, H. Histria da Matemtica. So Paulo: Ed. da UNICAMP, 1996.
  GARBI, G.O. O Romance das Equaes Algbricas. So Paulo: Makron Books, 1997.
  MEDEIROS, A. & MEDEIROS, C. Nmeros negativos: uma histria de incertezas. Rio Claro: Bolema,
          .
  ano 7, no 8, p. 49 a 59, 1992.
  STRUIK, D. J. Histria concisa das Matemticas. Lisboa: Gradiva, 1989.


  ObrasConsultadasONLINE
  MIRAGLIA, F. ; JUBRAN, S. Panorama da Cultura rabe: Contribuio dos rabes ao Conhecimento.
  Disponvel em: <http://www.icarabe.org/curso/Aula_2.pdf>. Acesso em: 20 nov. 2007.




                                                                            Um;dois;trs;4,5;...; 27?              25
       EnsinoMdio


                       Funes

            I             muito comum usarmos conceitos matemticos em nosso cotidiano
                     sem nos darmos conta disso, como  o caso do conceito de funo. As
                     funes matemticas permitem representar situaes reais, passveis
                     de serem matematizadas, facilitando a sua resoluo.


            n            A proposta destes textos  trazer no s a aplicabilidade de funes
                     que tradicionalmente so trabalhadas de maneira formal, mas o de
                     propor problemas instigantes e significativos que te leve a perceber
                     que uma situao-problema de matemtica pode ser to divertida


            t        quanto jogos em rede ou to desafiador quanto realizar seus sonhos.
                         Nos textos so exploradas as linguagens grficas por essas
                     constiturem uma das formas de conhecer e transmitir informaes em
                     nosso mundo atual.


            r            O texto Energia Eltrica: clculos para entender o quanto se gasta e o
                     quanto se paga fala de como podemos calcular o consumo de energia
                     eltrica em nossas casas. Vale lembrar que, por meio do estudo de
                     funo afim,  possvel utilizar o consumo de energia como meio para


            o        abordar este contedo.
                         A produo sobre Condomnios Horizontais ou Loteamentos Fechados
                     apresenta questionamentos de algumas famlias que esto  procura de
                     um imvel. Como a matemtica pode auxiliar na escolha do tamanho


            d        da casa e no valor do condomnio? Os centros urbanos enfrentam a
                     migrao de um crescente nmero de trabalhadores rurais. Como eles
                     vivem nas cidades? Sero abordados alguns temas sobre o Estatuto da
                     Cidade, as leis federais e estaduais.


            u            O texto Risco de acidentes e expectativa de vida mostra como podemos
                     resolver problemas e prever resultados em situaes que so expressas
                     por funes exponenciais. Um exemplo  fazer previses de crescimento
                     populacional de uma regio, e, outro exemplo, calcular os riscos de


                    acidentes provocados pelo consumo de bebida alcolica ao dirigir,
                     calculando qual  o limite de consumo de lcool para no correr riscos
                     de acidentes.
                         Em funes logartmicas, temas como a msica e som so abordados,


                    e questes atuais, como os desastres naturais, tambm so exploradas.
                     Um exemplo foi o terremoto, ocorrido no Paquisto em outubro de
                     2005, onde morreram mais de 39 mil pessoas. O texto Matemtica,
                     msica e terremoto, o que h em comum? trata de como estes dois assuntos,


            o
                     aparentemente sem ter nada em comum, esto relacionados com os
                     logaritmos.
                         Fatos que envolverarm uma crise poltica que o pas passou so
                     destacados em paralelo com os fatos que marcaram a histria no texto
                     de $$$Quem mexeu no meu bolso?$$$. A produo vem transmitir os


26   Introduo
                                                                           Matemtica




conceitos de progresses aritmticas de um contexto social, correlatado
 realidade brasileira.
    A produo Qual  o prximo nmero? busca na histria da matemtica
sua fonte problematizadora. Assim,  possvel notar que a matemtica
                                                                           M
se desenvolveu pelo esprito criativo das pessoas. Aborda a presena
de um conceito matemtico em diferentes contextos. Faz uma relao
interdisciplinar que possibilita perceber que tal conceito contribui
para resolver problemas em vrias atividades humanas. Este conceito
                                                                           A
                                                                           T
se manifesta no desenvolvimento de alguns vegetais, e podemos
enxerg-lo inserido na beleza de elementos da natureza. No sabemos
se esse conhecimento matemtico contribuir para explicaes sobre
o desenvolvimento de espcies vegetais, isso  tarefa para a pesquisa
cientfica, e, quem sabe um dia, teremos alguma resposta nesse sentido.
O que nos importa agora , por meio da observao das regularidades
no desenvolvimento de alguns vegetais, poder conhecer mais sobre
esse assunto matemtico.
                                                                           E
    O Folhas A Rede e o Ser discute que as promessas de ganhar dinheiro
atravs de negcio em rede pode no ser to fcil como se diz. Pelo
contrrio, autonomia, alta rentabilidade, possibilidade de ser o prprio
patro, ter sucesso nos negcios, ganho em grupo de forma que consiga
                                                                           M
morar em uma casa prpria, dirigir o carro de seus sonhos, viajar ao
redor do mundo, como normalmente a propaganda comenta, pode
ser uma falcia. Os clculos matemticos e a relao interdisciplinar
dessa produo possibilitam levantar idias e discusses em torno de
                                                                           
assuntos muito presentes em nosso cotidiano, tais como: desemprego,
formao das grandes redes comerciais e industriais e a desvalorizao
da pessoa no mundo capitalista globalizado.
    No texto Venha navegar por outros mares, voc  convidado a fazer
                                                                           T
uma viagem astronmica comeando pelo sculo II a. C. at os dias
atuais, onde as medidas astronmicas entre planetas e astros so
calculadas atravs de recursos tecnolgicos avanados. Tambm trata
da importncia da Trigonometria na era dos descobrimentos, em que
as rotas das navegaes eram traadas em funo da distncia do navio
                                                                           I
s estrelas, as quais eram usadas como pontos de referncia.
    O Folhas Rodando a Roda apresenta as funes trigonomtricas,
atravs do estudo do movimento descrito por uma roda gigante, mostra-
se as aplicaes da funo seno durante a trajetria do passeio. Voc
                                                                           C
poder conhecer a evoluo da trigonometria que inicialmente era
utilizada para auxiliar os clculos na astronomia at o momento em que
ela se torna um contedo onde outras associaes so possveis alm
daquelas relacionadas ao estudo de ngulos e lados de um tringulo.
                                                                           A
    Afinal, o que voc entende por funes?

                                                                                        27
       EnsinoMdio




28   Funes
                                                                                                       Matemtica




                                                                                                   2
                                    ENERGIA ELTRICA:
                             CLCULOS PARA ENTENDER
                               O QUANTO SE GASTA E O
                                     QUANTO SE PAGA                                    Alice Kazue Takahashi Lopes1




                                                                             oc sabe quanta energia eltrica
                                                                            est gastando em sua residncia e
                                                                          como  efetuado o clculo da conta
                                                                       que se paga?
                                                                    Voc j imaginou como seria o mundo
                                                                 sem eletricidade? Pensar em um mundo
                                                                sem eletricidade  um desafio. Com cer-
                                                                teza, seria completamente diferente deste
                                                                em que vivemos. Isso nos leva a perceber
                                                                a importncia da eletricidade para o nosso
                                                                modo de vida. Para responder a pergunta,
                                                                 interessante conhecer sobre eletricidade,
                                                                entender como ela  gerada, como os apa-
                                                                relhos transformam a energia eltrica em
                                                                outra forma de energia e sua interferncia
                                                                em nossas vidas.


Colgio Estadual Vital Brasil - EFM - Vera Cruz do Oeste - PR
1




                                           Energiaeltrica:clculosparaentenderoquantosegastaeoquantosepaga.          29
       EnsinoMdio

                              O homem, desde que se reconheceu como ser social, criou maneiras
                           de se comunicar com seus semelhantes e viver confortavelmente. Das
                           primeiras tecnologias at os modernos processos na construo de
                           uma televiso, de um computador, do funcionamento da internet, foi
                           percorrido um longo caminho. A eletricidade contribuiu e contribui
                           de modo decisivo para essas e outras invenes que so grandes
                           conquistas. Podemos dizer que o uso da eletricidade, de certa forma,
                           aproxima os indivduos, pois o mundo est interligado por redes que
                           dependem da eletricidade para seu funcionamento. Exemplo, redes de
                           computadores.
                              As distncias parecem ter encurtado devido  facilidade de
                           comunicao entre lugares longnquos. Por exemplo, a televiso, por
                           meio de seus programas, nos mostra o que acontece no mundo, muitas
                           vezes em tempo real, ocorrendo o mesmo com a internet.  possvel
                           curtir as emoes ao vivo, sem sair de casa.
                              Hoje, o desenvolvimento cientfico e tecnolgico depende da
                           produo de energia eltrica e isso afeta o nosso modo de vida, visto
                           que somos seres dependentes dos avanos possibilitados por tal
                           energia.
                              Obtemos a energia eltrica atravs de um gerador, que transforma
                           outras modalidades de energia em energia eltrica, como: usinas
                           hidroeltricas, termoeltricas, at pilhas e baterias.



                     PESQUISA

         evidente, que a eletricidade traz conforto e contribui significativamente para a nossa
     qualidade de vida; no entanto, devemos estar atentos para as seguintes questes:
        a) Como a energia eltrica chega at as residncias?
        b) Como  gerada?
        c) Quais so as fontes alternativas de energia eltrica?
        d) Que impactos ambientais so decorrentes da produo da energia eltrica?



                               So questes que merecem ateno de nossa parte, pois as
                           construes de usinas hidroeltricas e termoeltricas, por um lado, nos
                           trazem conforto; mas, por outro, podem nos trazer conseqncias por
                           conta das alteraes no meio ambiente.




30   Funes
                                                                                          Matemtica



               ATIVIDADE

   Buscando respostas para nosso problema, vamos desenvolver uma atividade interessante. Com a
conta de luz de sua casa em mos, analise os gastos dos ltimos cinco meses que constam na fatura.
Para entender melhor, suponha que os ltimos 5 meses sejam: janeiro, fevereiro, maro, abril e maio.
Complete o quadro a seguir:
   Quadro1
              Ms                        Consumo (Kwh)                   Valor mensal (R$)
             Janeiro
           Fevereiro
              Maro
              Abril
              Maio
   Observando o quadro 1, responda:
   a) Como est o consumo de energia eltrica em sua casa?  possvel economizar?
   b) Qual o preo do kwh? O que significa esse valor?
   c) Compare a sua conta de luz com a de seus colegas. Existe diferena entre a conta de sua casa
      e a de seus colegas?
   d) Na mesma cidade, muda o valor pago pelo kwh de um bairro para outro? E qual o valor na zona
      rural? E nas indstrias?
   Ainda em relao ao quadro 1, responda:
    possvel alterar o valor mensal em reais, sem alterar o consumo (kwh)? ( ) SIM ( ) NO.
Justifique.
   Que valores dependem um do outro?
   Desafio:
    Escreva a expresso matemtica que a companhia de luz utiliza para calcular o valor mensal, em
reais, de cada residncia em funo do consumo (kwh).




               PESQUISA

    Mas o que  quilowatt-hora? Como ele  obtido? Voc sabe como funciona o mecanismo
de um relgio medidor do consumo de energia eltrica? Como se calcula o consumo de um
eletrodomstico?




                          Energiaeltrica:clculosparaentenderoquantosegastaeoquantosepaga.            31
       EnsinoMdio

                             Os aparelhos eletrodomsticos so os receptores da corrente eltrica,
                          eles transformam a energia eltrica em funes mecnicas ou trmicas,
                          na sua grande maioria. Cada aparelho indica sua potncia, conforme o
                          fabricante, em watt (w), que  a razo entre a quantidade de energia
                          em joule (J) e o intervalo de tempo em segundos (s). Assim temos:




                              Mas, o que  potncia? Trata-se da energia transferida ao sistema
                          na unidade de tempo. Pois 1 w significa que ao sistema chega 1 J
                          de energia por segundo, que pode ser calor, como os exemplos das
                          principais funes de um ferro eltrico ou chuveiro. Num ferro eltrico,
                          por exemplo, o fabricante indica que o ferro possui uma potncia de
                          1 200 w, e uma pessoa utiliza esse aparelho por uma hora (3 600
                          s), o consumo de energia eltrica (E) ser igual a 1 200 vezes 3 600,
                          podemos escrever da seguinte forma:
                              E = 1 200 . 3 600
                              E = 4 320 000 J
                              Para uma residncia, a unidade Joule (J)  considerada pequena,
                          assim utiliza-se o Kwh, como unidade de energia, que vai ser um
                          pouco maior para medir esse consumo de energia eltrica. Podemos
                          observar a letra k nessa unidade. Quem  ela e o que ela representa?
                          A letra k (letra grega) equivale a quantidade 1000, e faz com que a
                          unidade de energia em Kwh represente uma unidade ainda maior.
                          Como exemplo:
                          1 kwh = 1 . 103 w . 1h = 103 w . 3 600 s = 103 w . 3,6 . 103 s = 3,6 . 106 J



                     PESQUISA

        Faa um levantamento dos aparelhos eltricos existentes em sua casa, observe qual a
     potncia em watt. Partindo da hiptese que o tempo, em horas, que o aparelho fica ligado
      de um ms, calcule o consumo mensal em kwh.


                             Devemos ainda considerar outras informaes, como alguns
                          aparelhos eletrodomsticos que no utilizam a sua potncia total 24
                          horas por dia, porm permanecem ligados todo o tempo, exemplo, a
                          geladeira. E da, como fazemos?
                             Alm de todas essas informaes, devemos verificar a tarifa de
                          cobrana utilizada pela companhia de energia eltrica.




32   Funes
                                                                                            Matemtica


                ATIVIDADE

     Aps obter as informaes da pesquisa, vamos fazer os clculos?
     Quadro 2
                                                      Tempo (horas) em             Consumo
   Aparelhos eltricos        Potncia (watts)
                                                          um ms                  mensal (kwh)




     Observando o quadro 2, responda:
     a) Qual o aparelho eltrico que mais consome energia?
     b) Expresse uma equao matemtica que represente o valor a ser pago, no final de um ms, pelo
        consumo de um aparelho.
     c) Atravs da equao obtida no item (b), calcule o valor a ser pago de cada aparelho descrito no
        quadro 2.
     d) Ao realizar os clculos do item (c), pode-se observar que existe uma relao de dependncia
        entre as variveis, onde o valor a ser pago de cada aparelho depende do consumo mensal, ou
        seja, trata-se de uma funo. Construa um grfico de segmentos no plano cartesiano onde o
        eixo x representa o consumo mensal de energia e o eixo y, o valor a ser pago.
     e) Observando o grfico, responda se esta funo  crescente ou decrescente. Justifique.

    At agora, voc pde perceber o quanto gasta cada aparelho
eltrico. Isso aponta para a possibilidade, se for o caso, de economizar
energia, podendo evitar futuros problemas, por exemplo, apages.
Voc j ouviu falar do apago? Trata-se de uma crise de energia eltrica
que ocorreu no Brasil em 2001 e 2002, afetando seu fornecimento
e distribuio. Foi denominado de "apago" por gerar interrupes
de energia eltrica, com perodos de cortes forados, principalmente
nas grandes cidades, deixando a populao, literalmente, "no escuro".
Nesse sentido o governo se preocupa em evitar que a energia eltrica
seja utilizada pela populao ao mesmo tempo, adotando assim o
horrio de vero. O conceito matemtico que estamos tratando pode
ser vivenciado em muitas situaes de nosso cotidiano. Uma situao
possvel de abord-lo  a sada de gua das torneiras.


            PESQUISA

Faa uma pesquisa sobre a crise do "apago" registrando as principais informaes.


                           Energiaeltrica:clculosparaentenderoquantosegastaeoquantosepaga.             33
       EnsinoMdio



                     ATIVIDADE

         Suponhamos que, por uma torneira, passem 10 litros de gua por minuto. Baseado nessa
     informao, complete o quadro 3, considerando que o tempo 0 (zero) equivale ao momento de abertura
     da torneira.
        Quadro 3
       Tempo
                     0      1       2       3       4      5       6      10      15       20     30
      (minuto)
       Volume
       (litros)
        Com base nas informaes do quadro 3, responda:
        a) O que ocorre com o volume de gua que passa pela torneira a medida que o tempo aumenta?
           As duas grandezas envolvidas, volume e tempo, so proporcionais? Direta ou inversamente? Por
           qu?
        b) Nesta situao, a relao entre as grandezas volume e tempo definem uma funo? Justifique.



                                 Observe, que a idia de funo entre grandezas que estamos
                             tratando se encontra presente em outras situaes na nossa vida. 
                             comum no nosso dia-a-dia vivenciarmos essas situaes, como: o
                             preo a pagar por uma ligao telefnica; a dose de um remdio, que
                              dado em funo do peso da criana ou do adulto; no sapato que a
                             pessoa compra, que est em funo do tamanho dos ps; e, tambm,
                             na tarifa de gua dada, em funo do volume consumido.
                                 Uma forma importante de se representar o contedo que estamos
                             estudando, ou seja, funo matemtica,  atravs da representao
                             grfica. Os grficos esto sendo utilizados no s na matemtica como
                             em outras reas do conhecimento.
                                 Diariamente nos deparamos com tabelas e grficos atravs de
                             jornais, revistas, livros e empresas que, de forma simples, ilustram
                             fatos do cotidiano. Os grficos, para certas ocasies, facilitam ler os
                             dados de um texto que se apresentam, por exemplo, na forma de uma
                             tabela.



                     ATIVIDADE

        a) Faa um grfico referente ao quadro 3.
        b) Que informaes voc pode obter da funo representada atravs desse grfico?



34   Funes
                                                                                            Matemtica



                DEBATE

    a) Ser que h outras funes como estas, que tambm tm como grfico uma reta?
    b) Todo grfico  grfico de uma funo? Justifique.


    Para realizar uma interpretao grfica vamos buscar uma situao
onde se aborda conceitos qumicos. Sabemos que ns e outros
seres vivos dependemos da gua para sobreviver. At podemos ficar
algumas semanas sem comida, mas sem gua no resistimos por muito
tempo. Precisamos dela para limpar nossas casas, lavar roupas, irrigar
plantaes, dissolver produtos qumicos, gerar energia, etc.
    A gua mantm as atividades do nosso corpo e, muitas vezes, a
tomamos em solues. Em qumica, solues so misturas homogneas
de duas ou mais substncias, ou seja, ficam totalmente dissolvidas
umas nas outras. Por exemplo, o melado  uma mistura homognea
de acar e gua. As molculas de acar esto dispersas e misturadas
completamente com a gua, de modo que no se podem ser vistas
regies ou partculas separadas (ATKINS, p. 80). Mas muitas vezes,
quando vamos preparar uma bebida adoada, como um suco, pode
ser que ao adicionar uma certa quantidade de acar, uma parte
no se dissolva, ficando depositada no fundo do copo. Por que isso
acontece?
    Ao adicionarmos 20g de glicose (C6A12O6) - acar - a 100ml de
gua (H2O)  temperatura ambiente, toda glicose se dissolve. Porm,
aumentando a quantidade de glicose para 200g,  mesma temperatura,
parte da glicose permanece no-dissolvida (Fig. 1). Como a quantidade
de gua  predominante, dizemos que a gua  o solvente, sendo a
glicose, menor quantidade, o soluto.

                          Solubilidade do acar na gua
                                                                               Quando usamos o termo
                  Recipiente 1                        Recipiente 2
           100g de H2O + 20g de C6A12O6       100g de H2O + 200g de C6A12O6
                                                                              dissolver, queremos dizer
                                                                              o processo de produzir
                                                                              uma soluo. Geralmente
                                                                              o componente da soluo
                                                                              presente     em   grandes
                                                                              quantidades  chamada de
                        20oC                                20oC              solvente e as substncias
                 Figura 1                                                     dissolvidas so os solutos
                                                                               (ATKINS, p. 80).




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       EnsinoMdio

                                 Mas como compreender os mecanismos da dissoluo? Por que
                             algumas substncias se misturam perfeitamente e outras no?
                                 Bem, isso depende do grau de solubilidade de cada substncia.
                                 Grau de solubilidade  a quantidade necessria de uma substncia,
                             o solvente, para dissolver outra, o soluto. Quando isso ocorre, dizemos
                             que a mistura torna-se uma soluo saturada ou que atingiu o ponto de
                             saturao, que depende do solvente, do soluto e das condies fsicas,
                             isto , a temperatura tambm influncia.
                                 A maioria das substncias dissolve mais depressa a temperaturas
                             mais altas, porm existem casos em que ocorre exatamente ao contrrio.
                             Neste caso, pode dizer que o grau de solubilidade das substncias
                             ocorre em funo da temperatura.
                                 Uma das formas de representar o grau de solubilidade das
                             substncias qumicas  a utilizao de grficos  curvas de solubilidade,
                             muito teis para comparar a solubilidade de vrios compostos e
                             analisar o comportamento da mesma com a variao da temperatura,
                             relacionando-as entre si.
                                                                                                      Princpios de Qumica
                                                                                            250
                                                                                                              AgNO3

                                                                                                                                    KI
                                                   Solubilidade (g soluto/100 g solvente)




                                                                                            200

                                                                                                                           NaNO3
                                                                                            150



                                                                                            100

                                                                                                                           Na2SO4
                                                                                             50
                                                                                                                                NaC
                                                                                                                      Li2SO4
                                                                                              0
                                                                                                  0    20      40     60       80   100
                                                                                                            Temperatura (oC)



                     ATIVIDADE

        Observando o grfico anterior, responda:
        a) Qual  a relao de dependncia entre a temperatura e a solubilidade de AgNO3, KI e NaNO3?
        b) Qual das substncias  representada pela funo y = ax + b?
        c) Qual das substncias tem a sua solubilidade aumentada mais rapidamente, a medida que
           aumenta a temperatura? E mais lentamente?
        d) Descreva o que ocorre com a solubilidade de Na2SO4 e Li2SO4, em relao  temperatura?




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                                                                                 Matemtica

 ObrasConsultadas
 ATKINS, P.; JONES, L. Princpios de Qumica: questionando a vida
 moderna e o meio ambiente. Porto Alegre: Bookman, 2001.
 BOYER, C. B. Histria da Matemtica. Traduo: GOMIDE, E. F. 2a ed.
                                                               .
 So Paulo: Edgard Blcher, 1996.
 LAGES, E.L. et all. A Matemtica do Ensino Mdio. 5a ed. Rio de Janeiro:
                                                    .
 SBM, 2000.
 TIPLER, P. A. Fsica: eletricidade e magnetismo. Traduo: HORCIO, M.
        .
 v. 3, 3a ed. Rio de janeiro: ABDR, 1995.




              ANOTAES




                         Energiaeltrica:clculosparaentenderoquantosegastaeoquantosepaga.    37
       EnsinoMdio




38   Funes
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                                                                                     3
                                                      CONDOMNIO
                                                    HORIZONTAL OU
                                                      LOTEAMENTO
                                                        FECHADO?     Marcia Viviane Barbetta Manosso1



                                                               s anncios de loteamento fe-
                                                               chado ou de condomnio ho-
                                                               rizontal despertam o sonho
                                                              de consumo de muitas fam-
                                                           lias brasileiras, porque esses es-
                                                       paos visam a maior segurana dos
                                                   moradores e tambm oferecem opes
                                                   ao proprietrio de escolher o terreno e
                                                   construir a prpria casa. Mas na hora da
                                                   compra, surgem alguns questionamentos
                                                   desse imvel: "qual ser a possvel rea da
                                                   casa?" e "qual  a taxa do condomnio?". Es-
                                                   ses questionamentos sero abordados na
                                                   seqncia.
                                                   Como a matemtica pode auxiliar nessa
                                                   escolha?


1
 Colgio Estadual do Paran - EM - Curitiba - PR


                                                     CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado? 39
           EnsinoMdio

                                       O grande crescimento populacional das reas urbanas, resultado
                                    do crescimento natural de sua populao  aliado ao processo de mi-
                                    grao do campo para a cidade  e do modelo de desenvolvimen-
                                    to capitalista, contribuiu para um crescente nmero de trabalhadores
                                    no-profissionalizados, fazendo com que a economia formal no des-
                                    se conta de absorver esse contingente de trabalhadores como mo-de-
                                    obra. Aqueles que no conseguem um trabalho com carteira assinada,
                                    o setor informal, muitas vezes, oferece oportunidades econmicas, s
                                    que sem direitos trabalhistas, como: frias remuneradas, dcimo tercei-
                                    ro salrio, etc. A economia informal tem outros agravantes, pois no
                                    paga impostos, dificultando, assim, investimentos pblicos. As cidades,
                                    com a escassez de recursos, no conseguem atender s demandas de
                                    sade, habitao, educao, segurana, lazer e trabalho.




      Foto: Icone Audiovisual
                                        O crescimento desordenado das cidades brasileiras pode ser cons-
                                    tatado na irregularidade do uso do solo atravs da presena de lote-
                                    amentos clandestinos, das invases de rea de proteo de manan-
                                    ciais ou terrenos alagados e da formao de favelas; esses fatos so
                                    realidades at mesmo das cidades menores. Esses espaos so conhe-
                                    cidos como cidade informal ou ilegal, devido a sua construo no
                                    ser legalizada.


                                DEBATE

          Quais outros problemas que podem ocorrer em uma cidade em funo do crescimento desor-
       denado?


                                        Mas como resolver esses problemas? O Estatuto da Cidade, lei fe-
                                    deral n 10.257, de julho de 2001, tem como objetivo garantir o direito
                                     terra urbana,  moradia, ao saneamento ambiental,  infra-estrutura
                                    urbana, ao transporte e aos servios pblicos, ao trabalho e ao lazer,
                                    para as presentes e futuras geraes, dentre outros. Essa lei ficou um
                                    perodo de 11 anos em discusso no Congresso Nacional at ser regu-
                                    lamentada no "Estatuto da Cidade" os artigos 182 e 183 da Constitui-
                                    o Federal de 1988.



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                PESQUISA

     Pesquise o Estatuto da Cidade no site: http://www.paranacidade.org.br/estatuto_cidade/estatuto_
 cidade.php, e descreva como ela pode contribuir para a melhoria das condies de moradia da popu-
 lao urbana.



    No Estado do Paran, o governo estadual somente firma convnios
de financiamento de obras de infra-estrutura e servios, com munic-
pios que seguem o Estatuto da Cidade e disponham de Planos Direto-
res, conforme apresenta o Decreto Estadual n 2581, de 17 de feverei-
ro de 2004.
    A Legislao Urbana, ou as leis que tratam das polticas de planeja-
mento e desenvolvimento do espao urbano,  constituda por outras
medidas legais, entre elas, temos:
       Lei de Parcelamento do Solo para Fins Urbanos;
       Lei do Permetro Urbano e da Expanso Urbana;
       Lei de Uso e Ocupao do Solo Urbano (Zoneamento);
       Lei do Sistema Virio;
       Cdigo de Obras;
       Cdigo de Posturas.
   Antes de adquirir o imvel, deve-se observar se o loteamento ou o
condomnio tm o projeto viabilizado e aprovado na prefeitura. Mas,
como  feito esse processo?
   Deve-se buscar inicialmente as normas e restries de um lotea-
mento urbano na Lei Federal 6766/79 sobre o parcelamento do solo,
que tambm tem de cumprir a disposio da Lei Municipal.




                PESQUISA

      Obtenha informaes da Lei Federal n 6766, de 19 de dezembro de 1979, e de suas alteraes
 no site http://www.paranacidade.org.br/leg_urbana/leg_urbana.php. Identifique qual a relao entre es-
 ta lei e os loteamentos urbanos.




                                                        CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado? 41
       EnsinoMdio

                         Muitas construtoras j esclarecem ao futuro comprador que ele po-
                     de financiar uma parte do imvel e tambm utilizar 30% de sua ren-
                     da familiar na prestao. Pode-se escolher um terreno no condomnio
                     horizontal, como o exemplo a seguir, atravs da planta do loteamen-
                     to que visualiza a distribuio de todos os lotes, das reas de lazer e
                     as ruas.




                                                 Parque de
                                                 recreao




                         Um dos motivos de escolha, de uma famlia, em optar por um "con-
                     domnio horizontal"  porque ele j oferece o projeto e construo da
                     casa, porm tem a obrigatoriedade em pagar a taxa de condomnio.
                     Seja qual for a opo de comprar um terreno, se deve ter um projeto
                     da planta da casa.
                         No loteamento fechado, a construtora disponibiliza alguns mode-
                     los de planta e estabelece algumas normas e padres para a casa. A
                     rea til da casa a ser construda no pode ultrapassar 50% do terreno
                     e planeja a quantidade de material de construo evitando o desperd-
                     cio. Deve-se ter um engenheiro que desenhe a planta da casa, estime
                     o material a ser comprado e execute o projeto.




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  Qualserapossvelreadacasa?
    Algumas casas podem ser construdas observando a relao entre as
diversas reas e permetros com diferentes formatos. Para melhor com-
preenso dessas relaes vamos resolver a atividade a seguir, onde tra-
r opes de escolha para o formato da casa.


                  ATIVIDADE

     A seguir veremos alguns quadrilteros, com suas dimenses em metros, visualizando a relao en-
 tre algumas reas e um mesmo permetro. O permetro ser representado por "P" e a rea por "A".



                                                                                               4
                                                                  3
                                2

                   9                                  8                            7
      P = 22m e A = 18m2                      P = 22m e A = 24m2           P = 22m e A = 28m2

    a) Continue voc agora!




                         5                            5,5



              6                              5,5
       P=         e A=                  P=     e A=

    b) Em um sistema cartesiano, desenhe os retngulos de mesmo permetro, de modo a base de ca-
       da retngulo fique apoiada sobre o eixo x, com um de seus vrtices coincidindo com a origem.
       Em seguida, una os pontos formados pelos vrtices opostos ao vrtice que est na origem.

                                    y




                                                                      x
    c) Qual  a sentena que relaciona a medida da base com a altura de todos os retngulos de mes-
       mo permetro?




                                                          CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado? 43
       EnsinoMdio

                                 Os fatores importantes na execuo do projeto so: anlise topo-
                             grfica do terreno, rea til da casa, dimenses da casa, materiais utili-
                             zados na obra. Seguindo alguns padres, pode-se ter uma construo
                             segura, estvel, econmica e com qualidade.
                                 As foras que atuam na estrutura podem comprometer a construo,
                             devido: ao peso das paredes e do telhado;  variao da temperatura
                             que faz com que dilate a estrutura. A distribuio dessas foras devem
                             ser includas no projeto. O tamanho da casa necessita de um planeja-
                             mento que distribua as colunas e vigas que a sustentaro. Inicialmente,
                             deve-se tomar uma deciso sobre o formato e a rea dessa casa.



                     ATIVIDADE

         Suponha que a rea se mantenha sempre com 64 m2. Desenhe alguns retngulos com base e
     altura diferentes.
        a) Preencha a tabela:

               Retngulo          Base (m)           Altura (m)         rea (m2)       Permetro (m)
                     A
                     B
                     C
                     D
                     E
        b) Observe a tabela e descreva como as medidas dos lados desses retngulos variam entre si.
        c) Construa, em um plano cartesiano, esses quadrilteros, com a base apoiada no eixo x e a altu-
           ra no eixo y, com um vrtice que coincida com a origem do sistema. Nenhum retngulo deve to-
           talmente recobrir o outro. Depois, una todos os vrtices opostos ao vrtice que est na origem.

                                    y(m)




                                                                         x(m)

        d) Qual  a sentena que relaciona a medida da base com a altura de todos os retngulos de
           mesma rea?
        e) No grfico, ao observar a unio dos vrtices opostos ao da origem, podemos identificar a linha
           que representa a relao entre as grandezas. Essa linha indica grandezas diretamente ou inver-
           samente proporcionais?




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               DEBATE

    O que podemos concluir em relao ao permetro e rea, conforme variam os lados dos
 quadrilteros?


    A possvel rea da casa  uma escolha entre muitas possibilidades.
Ao verificar a variao da rea e o permetro dos quadrilteros, perce-
be-se que a rea mxima obtida  quando temos um quadrado. Se o
objetivo  economizar material, o quadrado  o formato ideal, aprovei-
tando maior rea.
    Aps a deciso pelo formato e rea da casa, pode-se planejar as
dimenses das paredes externas e as divises internas. Essas divises
internas devero ser posicionadas de maneira que se obtenha uma
economia de material e se tenha os principais cmodos de uma casa,
como quarto, sala, cozinha e banheiro. Veja, a seguir, um modelo:




               ATIVIDADE

 a) Quais so as expresses algbricas que representam a rea dos cmodos da casa do modelo ante-
    rior?

           Cmodo                   Lado                   Lado                   rea
           Banheiro
           Quarto 1
           Quarto 2
        Sala e cozinha


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          EnsinoMdio


     b) Somando as reas de cada cmodo da casa, teremos a rea total da casa. Qual  essa rea?


            Sala e cozinha       +   Quarto1   +          Quarto 2       +        banheiro   =


                x.x              +              +                         +                      =


     c) Se a planta dessa casa tem um formato quadrado e as dimenses dos lados forem x + 1,5, qual 
        a rea da casa?




                                                                              x




                                                                              1,5
                                                          x          1,5
     d) Utilizando o produto notvel, complete a tabela, conforme variam as medidas:

                       lado                     lado                     produto                     rea
                       x+3                      x+3                      (x+3).(x+3)
                      2x + 2                   2x + 2
                      3x + 1,5                 3x + 1,5
                      3x + 2                   3x + 2

     e) Considerando que as medidas da planta da casa, representadas por a e b, formam um quadrado
        de rea A, qual  a expresso dessa rea?



                                                                              a




                                                                              b

                                                          a          b

     f)    A expresso apresentada no item anterior  um polinmio de qual grau?
     g) Considere que as medidas da planta da casa, representadas por a e b, formam um quadrado de
        permetro igual a 32 m, e que a diferena entre a e b  2 m. Obtenha as medidas e calcule a rea
        da casa.


46   Funes
                                                                                                         Matemtica

  h) Monte uma tabela da relao entre as medidas dos lados da casa que formam um quadrado com
     sua respectiva rea, utilizando medidas entre 6 m e 9 m.

                              lado                                                  rea




    Os loteamentos especiais que podem ser denominados por "condo-
mnio horizontal" ou "loteamento fechado" so implantados sem que
haja um normativo adequado, federal ou mesmo local, regulamentado
de seus aspectos urbansticos. Esses condomnios diferenciam-se dos
convencionais, pois as reas de domnio pblico tm utilizao priva-
tiva dos seus moradores.
    Durante as negociaes de compra e venda do imvel, deve-se es-
clarecer aos futuros proprietrios as diferenas entre condomnio e lote-
amento, os quais tm instituies jurdicas diferentes.
    Veja a tabela corporativa:

            Condomnio Horizontal                                      Loteamento Fechado

Regido pela Lei dos Condomnios (4591/64) at 2003,
                                                    Regido pela Lei dos Loteamento (6766/79)
quando entra em vigor o Cdigo Civil.

                                                       O fechamento do loteamento  proibido pela lei 6766/79.
                                                       Porm, muitas prefeituras concedem o direito de fecha-
O fechamento do condomnio  legal.                    mento e o registro  com a concesso de direito real de
                                                       uso referente as ruas, praas, reas de lazer e locais reser-
                                                       vados a prdios pblicos.

O incorporador vende o terreno com a casa e frao O incorporador vende os lotes. No h "reas comuns"
ideal sobre as reas comuns.                       nem "frao ideal".

Moradores pagam taxa de condomnio estabelecido
                                                Podem constituir uma associao de moradores.
no momento da compra do imvel.

Tem um sndico.                                        Pode ter um administrador.

A cobrana da taxa  realizada de acordo com a lei dos Uma taxa de manuteno pode ser cobrada a partir da
condomnios.                                           existncia de uma associao.

                                                       A obrigatoriedade da taxa de manuteno  juridicamen-
O pagamento da taxa condominial  obrigatrio.
                                                       te controversa.

As ruas internas esto sujeitas ao Cdigo Brasileiro
de trnsito. Por exemplo os menores no podem diri-    Idem.
gir carros.



                                                               CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado? 47
       EnsinoMdio

                                 A observao de diferentes permetros e reas permitem mostrar que
                              existe relao de dependncia entre as variveis. Na planta da casa te-
                              mos uma representao da distribuio dos cmodos que devem ser
                              proporcionais as paredes, ou seja, ao permetro e  rea da casa. A inte-
                              grao de um contedo matemtico com uma situao real de compra
                              da casa, por exemplo, pode contribuir com a tomada de deciso sobre o
                              tamanho da casa de acordo com a necessidade de sua famlia.


                                Qualataxadocondomnio?
                                  A segunda preocupao dos moradores  a taxa do condomnio,
                              que deve estar dentro do oramento domstico. Existem algumas leis
                              do condomnio que so estabelecidas, em reunies entre os proprie-
                              trios, na busca da organizao das reas comuns (os limites de hor-
                              rios para utilizao da churrasqueira e parque de recreao) e as des-
                              pesas (manutenes, reformas e contrato de funcionrios). O sndico
                              ser o representante dos moradores e no se pode esquecer que a ta-
                              xa do condomnio horizontal  obrigatria.



                     ATIVIDADE

         Supomos que um condomnio possui um total de 30 terrenos  venda. A construtora realizou uma
     pesquisa com uma administradora de condomnios e fez uma estimativa do custo de R$100,00 por ca-
     da casa construda e mais R$10,00 por cada terreno no vendido. A construtora ir cobrir os gastos m-
     nimos do condomnio nos primeiros meses. Aps a venda de uma certa quantidade de terrenos e cons-
     truo das casas, ser iniciada a cobrana da taxa do condomnio. Um sndico pode organizar essa
     cobrana ou uma administradora.
     a) Preencha a tabela a seguir:

                                 Nmero de Terre-        Custo do condomnio             Valor total
         Nmero de casas
                                 nos no vendidos         para cada casa (R$)         arrecadado (R$)
                  30                      0              100                           30 . 100 = 3 000
                  29                      1              100 + 1 . 10 = 110            29 . 110 =
                  28                      2              100 + 2 .10 = 120             28 . 120 =
                  27                      3              100 + 3 .10 =
                  26                      4
                  25                      5
                  24                      6
                  23                      7


     b) Qual  a relao entre o nmero de terrenos no vendidos e o total arrecadado pelo condomnio?


48   Funes
                                                                                              Matemtica


c) Aumentando o nmero de terrenos no vendidos, como se comporta o valor total? Complete e ana-
   lise a situao.
        Nenhum terreno no vendido: (30  0) . (100 + 10 . 0) = 30 . 100 = 3 000
        Um terreno no vendido: (30  1) . (100 + 10 . 1) = 29 . 110 = 3 190
        Cinco terrenos no vendidos:
        Dez terrenos no vendidos:
        Quinze no vendidos:
        Vinte no vendidos:
        Vinte e cinco no vendidos:
        Trinta no vendidos:
d) Para qual nmero de casas o valor de taxas de condomnio arrecadado  mximo?
e) Ao representar o nmero de terrenos vagos por x, qual a expresso algbrica obtida do valor total
   arrecadado?
f)   Se o valor total do condomnio for representado por y em funo de x terrenos vagos, qual  a rela-
     o dessas variveis? Escreva a expresso.
g) Represente em um plano cartesiano o grfico dessa situao.

                        y (R$)




                                                              x (terrenos vagos)

h) Como  chamada essa curva?
i)   Qual o nmero de casas pagando o condomnio, para que cubra os gastos mnimos de R$ 3 510,00?
     Quais so os possveis valores desse condomnio?


    A taxa de condomnio deve ser estabelecida na compra do im-
vel; dessa forma, a atividade dos valores do condomnio em funo
do nmero de casas pode esclarecer aos futuros moradores se essas
despesas esto dentro do seu oramento.
     necessrio que se estabelea regras para o condomnio, as quais
sero cobradas dos moradores pelo sndico. Voc conhece ou mora
em um condomnio? J observou essas regras ou leis?
    Alguns condomnios estabelecem uma multa caso algum morador
no cumpra uma regra. Os horrios de mudana tambm so esta-
belecidos para facilitar a movimentao dos mveis, de maneira que
no perturbem a vida dos outros moradores.




                                                         CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado? 49
       EnsinoMdio

                           ObrasConsultadas
                           GIDDENS, A. Sociologia. Traduo: Sandra R. Netz. 6a ed. Porto Alegre:
                                                                              .
                           Artmed, 2005.
                           LIMA, E. L. et al. A matemtica do ensino mdio. 3a ed. v. 1. Rio de
                                                                              .
                           Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica, 1998.


                           DocumentosConsultadosONLINE
                           Estatuto das Cidades. Lei no 10257, de 10 de julho de 2001. Disponvel
                           em: <http://www.paranacidade.org.br>. Acesso em: 19 abr. 2006.
                           Lei Federal sobre o parcelamento do solo. Lei no 6766, de 19 de dezembro
                           de 1979. Disponvel em: <http://www.consumidorbrasil> . Acesso em: 19
                           abr. 2006.



                     ANOTAES




50   Funes
                                          Matemtica



ANOTAES




            CondomnioHorizontalouLoteamentoFechado? 51
       EnsinoMdio




52   Funes
                                                                                                   Matemtica




                                                                                                4
                                          RISCOS DE ACIDENTES E
                                             EXPECTATIVA DE VIDA                Neusa Idick Scherpinski Mucelin1

                                          - Vem vindo um carro de l pra c!
                                          - Vai dar pra passar!
                                          - Vem vind. . . .




                                              Uma ultrapassagem  sempre um momento em que o
                                              motorista precisa fazer uma srie de avaliaes. Elas so
                                               feitas rapidamente: qual a velocidade do carro que
                                                   vamos ultrapassar? Nosso motor "agenta puxar"
                                                       para passar  frente? Vem vindo um carro no
                                                          sentido inverso? Ainda assim, dar tempo?
Colgio Estadual Joo Manoel Mondrone - EFM -Medianeira - PR
1




                                                                      Riscosdeacidenteseexpectativadevida 53
       EnsinoMdio

                         Sabe-se, a partir de pesquisas e estatsticas, que o consumo de lcool
                     altera a percepo do espao, do tempo e a capacidade de viso.
                         Pense: se algum bebeu um pouco a mais, provavelmente ir achar
                     que pode ultrapassar quando no pode? Ou achar que no pode,
                     quando pode?
                         Em outras palavras... Algum que bebe  ou no imprudente?
                         Isso no  fcil de responder. Voc faz alguma idia de quanto po-
                     demos errar na avaliao de velocidades? Alis, voc faz idia de quan-
                     to a ingesto de bebida alcolica pode afetar a capacidade de percepo do
                     ser humano?
                         Antes de tentar resolver o problema, precisamos de algumas infor-
                     maes.  importante conhecer uma resposta para essa pergunta, pois
                     mais de 1.000 brasileiros morrem, por ano, vtimas de acidentes causa-
                     dos por excesso de lcool. Cerca de 10% de todos os acidentes com v-
                     timas resultam de dirigir com excesso de lcool no sangue. Por incrvel
                     que parea, esses acidentes so provocados por aquelas razes que as
                     pessoas julgam "agradveis" quando ingerem bebidas que apresentam
                     algum teor alcolico: estas bebidas do a sensao de segurana, cau-
                     sam euforia, mas, tambm, diminuem o controle muscular e a coorde-
                     nao motora e, como j dissemos, prejudicam a habilidade de avaliar
                     velocidades, distncias; reduzindo a acuidade visual e a capacidade de
                     lidar com o inesperado (ALCOOLISMO, 2005).
                         Pesquisas feitas nos Estados Unidos tm mostrado que o risco de
                     acidentes automobilsticos cresce exponencialmente com a quantidade
                     de bebida alcolica ingerida. Mas o que isto significa? O que quer di-
                     zer "cresce exponencialmente"? Isso significa que "cresce muito"? Cres-
                     ce "mais" do que alguma outra coisa? Ou cresce "menos"?
                         Uma coisa  certa, se uma pessoa bebe um copo, o efeito  menor
                     que se beber dois copos, e ainda menor do que se beber trs copos...
                     Isso quer dizer que h uma relao entre o nmero de copos de bebi-
                     da alcolica ingeridos e o quanto ela afeta. Podemos dizer, por exem-
                     plo, que nossa capacidade visual fica alterada em funo da quantida-
                     de de lcool no nosso sangue. Mas como avaliar essa situao usando
                     a idia de que um fenmeno ocorre em "funo" de algum ou alguns
                     fatores? E, como juntar estas duas coisas: estar em "funo" de algum
                     fator e "crescer exponencialmente"?
                         Pode-se dizer que uma "funo"  uma lei que regula a dependncia
                     entre as variveis. Algum diz: "irei ao parque SE no chover". Ou: "em
                     funo da chuva, no irei ao parque". A condio do clima  uma va-
                     rivel: pode chover, pode fazer sol, pode garoar ou o tempo ficar nu-
                     blado...
                         No caso que estamos tratando, a lei que regula a ao do lcool no
                     organismo  descrita por uma expresso matemtica. Apesar dos nu-
                     merosos estudos sobre a histria da matemtica, no  fcil encontrar
                     informaes sobre a origem do estudo das funes. As noes sobre

54   Funes
                                                                                            Matemtica

esse conceito foram evoluindo na Idade Mdia, porm no apresenta-
va a forma e notao atual. Entretanto, pode-se dizer que, no perodo
moderno, a evoluo da idia de funes teve melhor detalhamento
no sculo XVII com os trabalhos de Galileu Galilei, Descartes, Fermat,
Newton e Leibniz.


                DEBATE

    Voc tem idia do que seja a definio de funo nos livros de matemtica? Acha que a definio
 que  utilizada hoje  semelhante quela que foi criada pelos matemticos que acabamos de citar?


    A funo especial, que vamos estudar nesse texto,  a funo expo-
nencial, ela tem uma grande importncia devido ao campo de aplica-
es nas mais variadas reas das cincias, como no comportamento
de fenmenos fsicos, biolgicos e sociais. Existem casos que a fun-
o exponencial apresenta comportamento de crescimento e, em ou-
tras situaes, seus resultados - sejam eles algortmico ou grfico - re-
velam decrescimento.
    Tanto na matemtica como em outras cincias, este contedo espe-
cfico desempenha papis fundamentais. Como exemplo, podemos ci-
tar algumas cincias e a respectiva aplicao da funo exponencial.
    Na Fsica, aplica-se a Lei de resfriamento dos corpos. Na Qumica,
o conceito de desintegrao radioativa pode ser explicado atravs des-
ta funo. A Geografia busca na Matemtica, por meio da funo ex-
ponencial, explicaes e previses sobre o crescimento populacional.
J os Economistas encontram no estudo das funes exponenciais um
meio propcio para abordar dados referentes ao mundo dos negcios,
entre eles, o mercado financeiro com o clculo de juros compostos e,
no mercado de compra e venda de automveis, para explicar a depre-
ciao dos veculos no decorrer do tempo.
    Aqui, neste trabalho, vamos explorar dois temas importantes do
nosso cotidiano: o crescimento populacional brasileiro e os riscos de
acidente de trnsito por consumo de bebidas alcolicas.
    Para estudar os riscos de acidente por con-
sumo de lcool, Bassanezi (2004) se baseou em          Riscos de     Vinho ingerido    Teor alcolico
uma experincia realizada nos Estados Unidos,        acidente Ri (%)    i
                                                                          (clices)    no sangue (%)
com 86 indivduos, cuja massa corporal estava              1,0               0                0
na mdia de 72 kg, e os indivduos estavam sem             7,3              8,5            0,100
comer h 2 horas.                                          20              12,0            0,140
    Para a ingesto de vinho, Bassanezi cons-              35              14,6            0,166
truiu a tabela ao lado:                                   48,5             15,0            0,174
                                                                                  Fonte: BASSANEZI, p. 275




                                                             Riscosdeacidenteseexpectativadevida 55
       EnsinoMdio

                                     Os riscos de acidente Ri e o teor alcolico no sangue esto repre-
                                 sentados em porcentagem %.
                                     De acordo com a tabela anterior, voc saberia dizer qual seria o ris-
                                 co de acidente aps a ingesto de 2 clices de vinho para estes indiv-
                                 duos da pesquisa? E de 5 clices?
                                     Experimente representar os valores da tabela num plano cartesia-
                                 no. Considere o nmero de clices de vinho ingerido como sendo x e
                                 o risco de acidente como sendo y.
                                     Que sentido ter unir os pontos representados mediante uma curva?
                                      possvel completar a tabela dando valores negativos ao nmero
                                 de clices de vinho? O que isso significa?
                                     Existe uma frmula que permita conhecer o risco de acidente por
                                 clices de vinho ingeridos?
                                     Se associarmos o risco de acidente a uma determinada concentra-
                                 o de lcool no sangue, como calcularemos esse risco se o motorista
                                 consumir um clice a mais ou a menos? Voc pode chegar a uma con-
                                 cluso, mas ser que essa concluso se aplicaria para qualquer pessoa?
                                 Para debater sobre essa questo, lembre-se de que os efeitos do lcool
                                 variam de intensidade de acordo com as caractersticas pessoais.
                                     Muitas vezes o estudo da matemtica pode auxiliar na resoluo de
                                 problemas. E este  um dos casos mais importantes. Para responder al-
                                 gumas das questes acima sobre os riscos de acidente por ingesto de
                                 lcool e o crescimento populacional, uma maneira  estudar o com-
                                 portamento das funes. Na prtica, elas esto relacionadas com situa-
                                 es de diversas reas, que envolvem dependncia entre grandezas.
                                     Voc sabia que uma forma de entender o comportamento de uma
                                 funo  atravs da sua representao grfica? Os grficos permitem
                                 observar os intervalos entre os estados das variveis em estudo.
                                     Vamos descobrir um pouco mais sobre o comportamento das fun-
                                 es?

                      ATIVIDADE

          Para entender o comportamento de uma funo exponen-
     cial, experimente construir num mesmo plano cartesiano o gr-
     fico das seguintes funes:
        f(x) = 2x, f(x) = x2 e f(x) = 2x
         Qual delas pode ser denominada como funo exponen-
     cial? Como denomina-se as outras funes?
        Qual das trs funes cresce mais rapidamente? E qual
     cresce mais lentamente?
        Que tipo de variao ocorre na primeira funo? E na se-
     gunda e terceira?
                                                                        0

56   Funes
                                                                                             Matemtica

   Agora que voc j descobriu um pouco mais sobre a forma grfica
da funo exponencial, que tal retornar aos questionamentos do pro-
blema sobre o risco de cometer acidentes por ingesto alcolica.
   Mas como  possvel determinar a lei de formao de uma funo?
   Bassanezi (2004) mostra que existe uma funo que relaciona riscos
de acidente e ingesto por bebida alcolica e que esta  uma funo
exponencial, dada por:
                                R( ) = aeb
   Temos o significado de cada varivel:
 a e b so constantes da funo.

       a varivel que representa a quantidade de clices de vinho in-
   gerida.
 R( )  o risco de acidente em funo do nmero de clices de vi-
   nho ingeridos.
 e  o nmero de Euler e  a base para a definio dos logaritmos
   naturais. O nmero e  irracional e seu valor aproximado  2,718.
   Os valores das constantes encontradas por Bassanezzi (2004) foram:
a = 0,9525 e b = 0,2528, que, substitudos na funo, resulta:
                            R( )=0,9525e0,2528
   Agora fica fcil responder aqueles questionamentos, vamos ver!
   Para quem bebe 1 clice de vinho, temos:
                  R(1)=aeb .1 = 0,9525e0,2528 .1 = 1,226%.
   Assim, podemos dizer que o risco de acidente para um indivduo,
com massa corporal em mdia de 72 kg, conforme a pesquisa, que be-
be 1 clice de vinho  de 1,226%.


                ATIVIDADE

    Com base na tabela, construa o grfico da funo R( ) = 0,9525e 0,2528 .Utilize papel milimetrado e
 aproximao de duas casas decimais.

                                = 1 => e0,2528.1 = 1,2876
                                = 2 => e0,2528.2 = e0,5056 = 1,6579
                                = 3 => e0,2528.3 = e0,7584 = 2,1348
                                = 4 => e0,2528.4 = e1,0112 = 2,7488
                                = 5 => e0,2528.5 = e1,264 = 3,5395

     Caso possua uma calculadora cientfica, investigue como utiliz-la para obter os valores expressos
 na tabela.


                                                                Riscosdeacidenteseexpectativadevida 57
         EnsinoMdio

                                          E como determinar se  seguro dirigir?
                                          Contando que um indivduo responsvel no deve correr um risco
                                      maior que 2 %, isto  R( ) 2, o que implica em:
                                                                      0,9525e 0,2525 2
                                          Isso  igual a 2,934 clices = 352,13 ml ou aproximadamente a 3 c-
                                      lices de vinho.


                          ATIVIDADE

          No estudo de uma funo, dizemos que uma varivel  dependente e outra independente. Voc sa-
      beria dizer qual  dependente e qual  independente neste caso? E qual  o domnio desta funo? E
      a imagem?

                                          Mas, no entanto, os acidentes de trnsito no so a nica conseqn-
                                      cia do consumo de lcool. Na verdade, muitas so as conseqncias
                                      fsicas como, por exemplo: doenas no fgado como hepatite alcoli-
                                      ca (inflamao no fgado) e a cirrose (dano permanente ao fgado); in-
                                      flamao no estmago e no esfago podendo causar enjos, vmitos
                                      e at sangramentos; doenas no corao como arritmia e conseqen-
                                      tes derrames; impotncia sexual; alm de muitas outras doenas.  im-
                                      portante salientar que pessoas que fazem uso excessivo do lcool tm
                                      uma probabilidade maior de desenvolver doenas cancergenas..
                                          O efeito agudo do lcool no organismo humano  dividido em duas
                                      fases distintas, sendo uma estimulante e outra depressora. Nos primei-
                                      ros momentos podem aparecer os efeitos estimulantes, como: euforia,
                                      desinibio e loquacidade (maior facilidade para falar). Com o passar
                                      do tempo, comeam a aparecer os efeitos depressores, como: falta de
                                      coordenao motora, descontrole e sono. Quando o consumo  mui-
                                      to exagerado, o efeito depressor fica exacerbado, podendo at mesmo
                                      provocar o estado de coma (BEBIDAS ALCOLICAS, 2005).
                                          Voc sabe o que diz a legislao brasileira sobre o consumo de l-
      Expectativa de vida:            cool antes de dirigir um automvel?
      o clculo estimado de              Como j dissemos anteriormente, a ingesto de lcool, mesmo em
     quantos anos em mdia se         pequenas quantidades, diminui a coordenao motora e os reflexos,
     espera que uma pessoa so-        comprometendo a capacidade de dirigir veculos ou operar outras m-
     breviva em determinado lo-       quinas. Pesquisas revelam que grande parte dos acidentes so provo-
     cal.  calculado levando em      cados por motoristas que haviam bebido antes de dirigir. A legislao
     conta, alm dos nascimentos      brasileira (Cdigo Nacional de Trnsito, que passou a vigorar em Janei-
     e obiturios, o acesso  sa-    ro de 1998) diz que dever ser penalizado todo o motorista que apre-
     de, educao, cultura e lazer,   sentar mais de 0,6 gramas de lcool por litro de sangue. A quantidade
     bem como a violncia, cri-       de lcool necessria para atingir essa concentrao no sangue  equi-
     minalidade, poluio e situa-    valente a beber cerca de 600 ml de cerveja (duas latas de cerveja ou
     o econmica do lugar em        trs copos de chopp) ou 200 ml de vinho (duas taas) ou 80 ml de des-
     questo.
                                      tilados (duas doses) (LCOOL E TRNSITO, 2005).

58    Funes
                                                                                             Matemtica

   O consumo de lcool pode influenciar na expectativa de vida do
brasileiro, por conta dos inmeros acidentes automobilsticos e outras
doenas e conseqncias decorrentes do consumo desta droga.
   Segundo o IBGE, em 2003, a expectativa de vida do brasileiro subiu
para 71,3 anos, mas poderia ser bem maior se houvesse menos mortes
violentas por causas externas, como homicdios e acidentes.
   Ao considerar que no Japo a vida mdia j  superior a 81 anos, a
esperana de vida no Brasil de pouco mais que 71 anos ainda  relati-
vamente baixa. E, de acordo com a projeo mais recente da mortali-
dade, somente por volta de 2040 o Brasil estaria alcanando o patamar
de 80 anos de esperana de vida ao nascer. Atualmente, o Brasil ocu-
pa 86a posio no ranking da ONU, considerando as estimativas para
192 pases ou reas no perodo 2000-2005.




                DEBATE

 Pesquise e discuta com seus colegas e professores sobre:
       quais so as variveis que determinam a expectativa de vida do povo de um pas?
       Ser que a expectativa de vida das diferentes Regies do Brasil  a mesma? Sugesto: cons-
        trua um mapa com a expectativa de vida de cada Regio do Brasil.
       E entre as diferentes classes sociais h a mesma expectativa de vida? Por qu?




                ATIVIDADE

     Os dados sobre expectativa de vida brasileira de 1980 a 2003 podem ser observados no quadro
 a seguir:
          PERODO              AMBOS OS SEXOS               HOMENS                  MULHERES
            1980                      62,6                     59,7                       65,7
            1991                      66,9                     63,2                       70,9
            2000                      70,5                     66,7                       74,4
            2003                      71,3                     67,6                       75,2
                                                                                  Adaptado de IBGE, 2006.
    Qual foi o aumento de expectativa de vida da populao de 2003 em relao a 2000? Em relao
  populao masculina, qual foi o aumento? E feminina?




                                                             Riscosdeacidenteseexpectativadevida 59
        EnsinoMdio


                      DEBATE

          Quais aes so necessrias para garantir um aumento significativo na expectativa de vida brasilei-
      ra nos prximos anos?


         Considerando que a taxa de natalidade  igual para ambos os sexos, quais so os motivos
     da expectativa de vida dos homens ser inferior a das mulheres?
         Segundo o Jornal da Cincia (2006), a expectativa de vida brasileira mostra que, entre 2002
     e 2003, os brasileiros ganharam 0,3 ano de expectativa de vida ao nascer, mas que a alta mor-
     talidade de homens jovens impede um maior crescimento. Um rapaz de 25 anos de idade tem
     3,79 vezes mais chances de morrer do que uma moa da mesma idade. O mais preocupante 
     que a diferena est aumentando: em 2002, as chances eram 3,67 vezes maiores.
         Um estudo divulgado pelo boletim da Organizao Mundial de Sade  OMS - mostra um
     quadro ainda pior para consumidores compulsivos. Interessados em estabelecer uma relao
     entre a freqncia de consumo de lcool e a taxa de mortalidade entre homens e mulheres.
     Os Pesquisadores investigaram 7.172 pessoas na Rssia. Estas forneceram informaes sobre
     idade, estado vital e hbitos de consumo de lcool relativos a 10.475 parentes masculinos e
     3.129 femininos. Segundo artigo publicado no Boletim da Organizao Mundial de Sade de
     novembro de 2005, todas as causas de morte masculina foram relacionadas ao consumo de l-
     cool, tanto ao consumo habitual quanto ao compulsivo. Entretanto, nas mulheres, a mortalida-
     de apresentou-se maior apenas no grupo das que bebiam em excesso pelo menos uma vez ao
     ms (COSTA, 2006).
         Outra pesquisa avaliou episdios de homicdios e acidentes de trnsito com bitos na cida-
     de de Londrina - PR. A relao com o lcool se mostrou significativa. Das vtimas de homicdio
     submetidos ao exame toxicolgico, 22% estavam sob o efeito do lcool e, entre os bitos por
     acidentes de trnsito, essa porcentagem foi ainda maior, chegando a 40% (PEIXOTO, 2004).
         Para entender melhor essa situao, podemos realizar uma abordagem matemtica, partin-
     do do crescimento populacional do Brasil. Para tanto, considere que estatisticamente os dados
     sobre a populao brasileira no ltimo sculo esto distribudos da seguinte forma:
         Observe, a tabela a seguir:        Ano           
                                                         n. de habitantes
                                              1900              17 438 434
                                              1920              30 635 605
                                              1940              41 165 289
                                              1950              51 941 767
                                              1960              70 070 457
                                              1970              93 139 037
                                              1980             119 002 700
                                              1991             146 825 475
                                              2000             169 590 693
                                                                          IBGE- 2005

60    Funes
                                                                                                        Matemtica



                 DEBATE

     Quais so as expectativas de crescimento populacional no Brasil?
     As condies bsicas como sade, educao, alimentos, moradia, segurana, saneamento bsico
 e lazer tambm crescem na mesma proporo que o crescimento populacional?

    Pesquisas tm mostrado que o crescimento populacional no mundo
todo aumenta exponencialmente com o tempo. Uma coisa  certa, de-
pendendo da populao estudada, algumas crescem mais que outras
devido a vrios fatores, como: distribuio de rendas, educao, cultu-
ra, religio e poltica.
    Como calcular o crescimento populacional de nosso pas e fazer pre-
vises futuras para os prximos 10 anos, ou 50, ou quem sabe 100 anos?
J sei o que voc ir dizer, "eu no estarei aqui para conferir se as contas
esto certas daqui a 100 anos". Bom, voc no precisa ir to longe.



                 ATIVIDADE

     Baseado na tabela, sobre crescimento populacional do Brasil, construa um grfico que mostre a evo-
 luo da populao brasileira entre 1900 e 2000. Para facilitar a construo do grfico, voc pode usar
 papel milimetrado.
     No eixo horizontal, use cada centmetro para representar 10 anos, e no ei-
                                                                                    Sugesto:
 xo vertical, cada centmetro para representar 20 milhes de brasileiros (Adap-   Para responder essas questes,
 tado de Funes Exponenciais e Logartmicas: da histria s aplicaes de        voc pode, por exemplo, dese-
 Carmen Kaiber da Silva  Universidade Luterana do Brasil  ULBRA).               nhar uma curva passando pelos
     Como seria este grfico se, a cada dcada, a partir de 1900, a popu-         pontos marcados no papel mi-
 lao tivesse crescido, em nmero de habitantes, o mesmo que cresceu             limetrado. Prolongue esta curva
                                                                                  at a margem superior da folha.
 de 1900 a 1920?
                                                                                  Para calcular os valores de po-
    Quais as diferenas apresentadas nos dois grficos a respeito do              pulao para os prximos anos,
 crescimento populacional em funo do tempo? Discuta os resultados.              basta projetar uma reta r perpen-
     O que isso tem a ver com funes exponenciais?                               dicular ao eixo x no ano em que
                                                                                  estamos at cortar a curva. Mar-
     Observe que usamos valores inteiros para o tempo em anos, mas se
                                                                                  que este ponto como sendo A.
 quisermos obter os nmeros de populao a cada ms ou a cada hora?               Em seguida, trace outra reta s,
 Ou a cada minuto? E at mesmo a centsimos de segundos? Neste ca-                perpendicular a y, passando pe-
 so, teramos tantos pontos, e to prximos, que poderamos traar uma li-        lo ponto A. O ponto de intersec-
 nha contnua passando por estes pontos.                                          o do eixo y com a reta s ser o
     Com o auxilio deste grfico, voc j pode fazer previses sobre o nosso      valor correspondente em popula-
 crescimento populacional. Ento, quantos somos hoje aproximadamente              o para este ano. Repetir o pro-
                                                                                  cesso para 2020.
 em nmero de populao no Brasil? Quantos seremos no ano de 2020?



                                                                   Riscosdeacidenteseexpectativadevida 61
       EnsinoMdio



                       DEBATE

        E para 2050 e 2100, seria possvel fazer as projees de crescimento da populao brasileira com
     base apenas neste grfico? Por qu?




                       ATIVIDADE

     1. Considere que num pas havia uma populao de 50 milhes de habitantes h 10 anos. Esse
        pas apresenta uma taxa de crescimento anual de 1,5% ao ano. Qual  a expresso matemtica que
        possibilita fazer previses futuras para esta populao caso seja mantida a mesma taxa de cresci-
        mento? Monte uma tabela que mostre a evoluo da populao ano a ano e, a partir desta, cons-
        trua o grfico cartesiano. Determine o domnio e a imagem desta funo.
     2. A eliminao de droga pelo organismo (Adaptado de Funes Exponenciais e Logartmicas: da histria s aplicaes de
        Carmen Kaiber da Silva  Universidade Luterana do Brasil  ULBRA) tambm apresenta comportamento exponencial.
        Veja o exemplo: uma medicao  ministrada por via intravenosa em um sujeito. A medicao  le-
        vada pelo sangue aos rgos que a absorvem ou eliminam. Suponha que a cada hora a medicao
        se reduza a 1/4 da quantidade presente.
         Encontre uma expresso matemtica que indique, a cada hora x, a quantidade de medicao pre-
         sente.
         Se a quantidade de medicao ministrada  40 g, como fica esta expresso matemtica? Construa
         o grfico.
         Pergunta-se:
         A funo  crescente ou decrescente? Justifique.
     3. Esboce os grficos das funes y = 2x, y = 3x e y = 4x, e num mesmo plano cartesiano e descubra
        propriedades comuns s trs funes.




                       DEBATE

         Debata com seus colegas e professores sobre o consumo de bebidas alcolicas. Procure ater pa-
     ra as conseqncias sociais.
         Expresse sua idia sobre as influncias do consumo de lcool no crescimento populacional desor-
     denado.


      RefernciasBibliogrficas
       BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemtica. 2a ed. So Paulo: Con-
                                                                       .
       texto, 2004.

62   Funes
                                                                                         Matemtica

SILVA, C. K. Funes Exponenciais e Logartmicas: da histria s aplicaes. Universidade Lute-
rana do Brasil  ULBRA.


 ObrasConsultadas
CARNEIRO, V. C. Funes elementares: 100 situaes-problema de matemtica. Porto Alegre: Uni-
versidade, 1993, 134 p.
CANDIDO, S. L. Uma experincia sobre o ensino e a aprendizagem de funes. Educao Ma-
temtica em revista, n. 8, p. 47-56, ano 7.
FLORIANI, J. V. Funo logartmica. 2a ed. Blumenal: Editora Furb, 2000.
                                         .
GIMNEZ, C. C. PIQUET, J. D. Funciones y grficas. Madri: Sntesis, 1990. 176p.
TIPLER, A. P. Fsica: gravitao, ondas e termodinmica. Traduo: Horcio Macedo. v. 2, 3a ed. So
                                                                                          .
Paulo: LTC, 2004. 300 p.


 DocumentosConsultadosONLINE
ATLAS SCIO ECONMICO DO RIO GRANDE DO SUL. EXPECTATIVA DE VIDA. Disponvel em:
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ENSINO MDIO: Funes Exponenciais. Disponvel em: < http://pessoal. ser comtel. com. br>.
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IBGE. Tbuas Completas de Mortalidade  2003. Disponvel em: < http://www. ibge. gov. br/>.
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JORNAL DA CINCIA, Expectativa de vida: 71,3 anos. Disponvel em: <http:// www. jornaldaciencia.
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                                                           Riscosdeacidenteseexpectativadevida 63
       EnsinoMdio




64   Funes
                                                                                                        Matemtica




                                                                                                     5
                                                    MATEMTICA, MSICA
                                                     E TERREMOTO, O QUE
                                                          H EM COMUM?
                                                                                     Neusa Idick Scherpinski Mucelin1



                                                                             uem no gosta de curtir uma
                                                                             msica num final de tarde? No
                                                                             carro, na balada, no quarto, e
                                                                            se o professor deixar, at na sala
                                                                           de aula em alguns momentos os
                                                                         alunos escutam msica!
                                                                                   Mas, o que a msica tem a
                                                                                   ver com terremoto? No 
                                                                                  o barulho!




1
 Colgio Estadual Joo Manoel Mondrone - EFM - Medianeira - PR


                                                                 Matemtica,MsicaeTerremoto,OQueHEmComum?             65
       EnsinoMdio

                                 Voc pode no acreditar, mas a msica e os terremotos tm algo em
                             comum. O som causa nas pessoas tanto sensaes boas como ruins. O
                             incmodo causado por um rudo  muito subjetivo. Um rudo intenso
                             de uma porta batendo com o vento ou duas laminas de ao se tocan-
                             do causa pavor e at arrepios em algumas pessoas; j o simples gotejar
                             de uma torneira,  noite, incomoda o sono de qualquer pessoa.
                                 E o barulho dos alunos falando ao mesmo tempo numa sala de au-
                             la incomoda?


                     PESQUISA

        Qual  o limite suportvel do som no ouvido humano? Que tal medir o barulho tolervel numa sala
     de aula? Ou num ambiente de trabalho?




                                Mas os sons quando harmnicos e com certa intensidade tambm
                             provocam sensao de prazer.



                     PESQUISA

        O que provoca sensao de prazer quando ouvimos uma msica?



                                 Que tipo ou gnero de msica que voc mais gosta?
                                 Tem alguma msica que te deixa alegre? E triste? Por qu?
                                 O que faz os sons produzirem efeitos nos sentimentos?
                                 A msica  uma das artes mais populares do nosso planeta. Mas,
                             o que pouca gente sabe,  que por trs de um chorinho, ou de uma
                             complexa sinfonia de Bach ou Villa-Lobos, existem relaes matemti-
                             cas que ajudam a formar, ao lado da criatividade dos homens, o edif-
                             cio sonoro da nossa msica.
                                 Os sons utilizados para compor msicas constituem a escala musi-
                             cal. Quando combinados de determinadas formas, podem produzir re-
                             sultados agradveis aos nossos ouvidos. Mesmo que voc no toque
                             nenhum instrumento, j ouviu falar das notas musicais d, r, mi, f,
                             sol, l, si. Estas sete notas e mais cinco auxiliares (os bemis e susteni-
                             dos) compem a base da msica ocidental.
                                 Mas, qual  a relao da matemtica com a msica?



66   Funes
                                                                                                                  Matemtica

    Por que relacionar matemtica e msica?
    Um pequeno conjunto de notas musicais era conhecido como s-
rie harmnica, com suas freqncias agradveis e audveis aos seres
humanos. Pitgoras, que viveu no sculo VI a.C., esticou uma corda e
analisou o som produzido atravs de sua vibrao. Descobriu que ao
dividir a corda ao meio, a vibrao do som era a mesma da produzi-
da com a corda inteira, mas uma oitava acima, produzindo um som
mais agudo. A partir desta experincia, Pitgoras estabeleceu vrias re-
laes, como o intervalo de quinta que por ser o mais consonante da
srie, foi a base para a construo da maior parte das escalas musicais
existentes no mundo.
    Em 1635, Mersenne props um sistema de afinamento suave, conhe-
cido como escala temperada. Neste sistema  necessrio que as relaes
de freqncia de quaisquer meio-tons adjacentes sejam constantes. Mas
isto s foi aceito a partir das composies de O Cravo Bem Temperado,
que foi composto de 1722 a 1744 por Bach (ABDOUNUR, 1999).
    Mas quem foi Bach?
    O compositor alemo Johann Sebastian Bach (1685-1750)  consi-
derado o precursor da msia moderna e um dos principais composito-
res de todos os tempos. Ele percebeu que os sons das notas msicas
podem ser mais, ou menos, agradveis conforme a maneira com que
as notas so agrupadas. Veja, por exemplo, a escala de sete sons co-
nhecidos: D, R, Mi, F, Sol, L, Si. A escolha da separao dos sons
nestas 7 partes  considerada agradvel. A proposta da escala tempe-
rada era a de dividir a escala musical em 12 partes, doze sons que fos-
sem agradveis ao ouvido e  alma (NASCIMENTO, 2005).
    Esta escala apresenta todos ou quase todos os intervalos ligeira-
mente imprecisos, porm no distorcidos.
    Como?
    O sentido temperado refere-se ao tempero igual em que se divi-
de o intervalo de uma oitava em 12 semitons associados s relaes
de freqncias exatamente iguais. O temperamento no ocorreu como
um processo repentino, se desenvolveu de diversas maneiras ao lon-
go do tempo.
    A escala temperada foi dividida desta forma:

     NOTA           D      D#         R      R#     MI       F      F#     SOL SOL#        L      L#      SI     D


 Temperado           1      21/12       22/12   23/12   24/12    25/12   26/12   27/12   28/12   29/12   210/12 211/12   2

    Escala
                    1/1                 9/8             5/4      4/3             3/2             5/3            15/8     2/1
  Pitagrica

 Fonte: adaptado de NASCIMENTO (2005)



                                                                Matemtica,MsicaeTerremoto,OQueHEmComum?                     67
       EnsinoMdio

                         Observe que a tabela tem 13 espaos e no 12. So 13 porque o ltimo
                     D est uma oitava acima do primeiro, ou seja,  um D mais agudo. Neste
                     caso, aps 12 intervalos a freqncia dobra, pois a altura do som  caracte-
                     rizada pela freqncia da onda sonora.
                         Um som de pequena freqncia  grave, e um som de grande freqn-
                     cia  agudo. Por isso que o primeiro D corresponde ao nmero 1 e o l-
                     timo, ao nmero 2, isto , dobrou.
                         Mas, qual  a relao da escala temperada com os logaritmos?
                         Vamos realizar algumas operaes matemticas com uma nota da escala
                     temperada, a nota SOL, por exemplo:

                                                               7
                                                    SOL - 2   12
                                                                   =?

                         Para entendermos melhor, lembremos que a operao de potenciao
                     nada mais  do que multiplicar o nmero, que chamamos de base, tantas
                     vezes quanto for o expoente, resultando na potncia em si, neste caso es-
                     pecfico temos: 2  a base, 7  o expoente e, o resultado desta operao,
                      7  a potncia.              12
                     12
                         Quando se conhece a base e o expoente, facilmente obtm-se a potn-
                     cia mas, nesse caso o expoente  a frao 7 . Vamos consultar a tabela 1
                                                7              12
                     para verificar o valor de 2 .
                                               12




                                                                        Tabela 1
                                          7
                        Assim, teremos 2 = 1,4983...
                                         12
                                                                            21/12 =
                                                                                       12
                                                                                            2 = 1,0594...
                        Mas, podem ocorrer situaes onde                   22/12 =
                                                                                      12
                                                                                            22 = 1,1224...
                     tenha-se que descobrir qual  o expo-                            12
                                                                                            22 = 1,1892...
                                                                            23/12 =
                     ente. Nesse caso a pergunta seria: a qual                        12
                                                                            24/12 =         24 = 1,2599...
                     expoente deve-se elevar o nmero dois                            12
                     para que se obtenha a potncia igual a                 25/12 =         25 = 1,3348...
                                                                                      12
                     1,4983...? Matematicamente, pode-se es-                26/12 =         26 = 1,4142...
                                                                                      12
                     crever:                                                27/12 =         27 = 1,4983...
                                                                                      12
                        2x = 1,4983...                                      28/12 =         28 = 1,5874...
                                                                                      12
                        que  uma equao exponencial, cuja                 29/12 =         29 = 1,6817...
                     a varivel est no expoente x e quando                            12
                                                                                            210 = 1,7817...
                                                                            210/12 =
                     varia-se o valor de x, tem-se uma funo                          12
                                                                            211/12 =        211 = 1,8877...
                     exponencial.




68   Funes
                                                                                          Matemtica

  A funo logartmica realiza uma operao inversa da funo ex-
ponencial.
  log2 1,4983... = 7
                             7
                       2 = 1,4983...
                            12

                   12

   Veja que a base 2 do logaritmo  a base da potncia, o logaritmo
 7  o expoente da potncia e o nmero 1,4983... chamado de loga-
12
ritmando  o valor da potncia. Genericamente:
                            logb a = x     bx = a
   onde,
    b  a base do logaritmo e a  a base da potncia;
    a  o logaritmando e o valor da potncia;
    x  o logaritmo e o expoente da potncia.



                ATIVIDADE

     Observe que as 12 notas da escala temperada pode ser explicada utilizando logaritmos de base 2,
 por exemplo,
     Transforme todas as potncias correspondentes as notas da escala temperada na forma logartmi-
 ca, sendo f(x) = log2x


    A grande semelhana existente entre as notas destas escalas tam-
bm ocorre entre seus sons.
    A diviso das notas musicais em logaritmos na escala temperada pos-
sibilitou a construo de instrumentos com maior amplitude sonora e a
formao de grupos musicais maiores, como os das grandes orquestras
e at mesmo em consertos de Rock. Antes deste novo afinamento, os es-
petculos musicais eram limitados e s algumas pessoas tinham o privi-
lgio de ouvir msica, ocorriam em ambientes pequenos e fechados e,
na maioria das vezes, somente a Igreja e os Nobres tinham acesso.
    Os logaritmos surgiram a partir da necessidade do homem de re-
solver problemas relacionados aos nmeros muito grandes - como os
que encontramos ao estudar astronomia - ou nmeros muito pequenos
- como os que aparecem no estudo das molculas. A fim de facilitar
operaes de multiplicao e diviso entre os nmeros, foram desen-
volvidas as teorias sobre logaritmos. A criao dos logaritmos  atribu-
da ao matemtico John Napier, em 1614.




                                               Matemtica,MsicaeTerremoto,OQueHEmComum?              69
       EnsinoMdio

                                      Vrios fenmenos fsicos, qumicos, biolgicos, econmicos e di-
                                 versas leis matemticas so relacionados com os logaritmos, o que tor-
                                 na seu estudo de grande importncia. Atualmente, o estudo dos loga-
                                 ritmos pode ser auxiliado por meio de calculadoras cientficas e outros
                                 recursos computacionais.
                                      A aplicao da funo logartmica ocorre em fenmenos que cres-
                                 cem muito lentamente. No cotidiano, freqentemente, precisamos com-
                                 parar a velocidade de crescimento de dois ou mais fenmenos, como,
                                 por exemplo: quando se pretende medir a variao da intensidade do
                                 barulho de um debate numa sala de aula, ou quando se pretende ve-
                                 rificar o barulho provocado pelos automveis numa rua de trfego in-
                                 tenso em uma cidade.
                                      Essas comparaes tornam-se mais fceis quando sabemos compa-
                                 rar a velocidade de crescimento de funes simples, como as funes
                                 polinomiais e exponenciais j conhecidas. Como por exemplo:



                       ATIVIDADE

        Para perceber as variaes das funes exponencial e logartmica, vamos construir o grfico das
     funes, sendo:
           y = 2x, para x = 0, 1, 2 e 3
           y = log2 x, para x = 1, 2, 4 e 8
           O que ocorre com os valores das funes  medida que x vai aumentando?
           Comparando as linhas que representam a funo exponencial e logartmica, o que voc obser-
     va?
           Na funo y = log2 x, o que acontece para x = 0?

                                     Para poder detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bas-
                                 tante complexo, que envolve ossculos, cavidades e milhares de ner-
                                 vos. O elemento principal na deteco das oscilaes dos sons  a "c-
                                 clea", uma pequena estrutura em espiral que atua seletivamente. Ao
                                 longo dela, existem milhares de fibras nervosas que agem como senso-
                                 res, e transferem ao crebro a percepo das oscilaes e intensidade
                                 dos sons. E  essa caracterstica exata da percepo do som pelo ou-
                                 vido que faz com que a Msica seja uma arte mais baseada em condi-
                                 es fisiolgicas do que em psicolgicas (RATTON, 2005).
                                     A intensidade do som captada pelo ouvido corresponde  sensao
                                 denominada popularmente de volume do som. Quando o som tem
                                 uma intensidade mnima, ou seja, o som mais fraco que o ouvido hu-
                                 mano pode captar,  chamado de limiar de audio. Quando a inten-
                                 sidade  elevada, o som provoca uma sensao dolorosa. A intensida-
                                 de mnima a que um som provoca sensao dolorosa tem o nome de
                                 limiar da dor.

70   Funes
                                                                                              Matemtica



                ATIVIDADE

     Para perceber a onda sonora, o tmpano humano necessita que ele tenha no mnimo intensidade fsi-
 ca corresponde a 1012 w/m2 (potncia por rea), a chamada limiar de audibilidade, e, no mximo, de at
 1 w/m2 para a limiar da dor.
    A grandeza nvel sonoro obedece a uma escala logartmica, sendo definida por:

                                            N = 10 log I
                                                       I0
    Em que I  a intensidade do som e I0  um nvel de referncia definida por conveno internacional,
 que  utilizada como o limiar da audibilidade.
    A unidade mais utilizada  o decibel (dB) em homenagem a Alexandre Graham Bell (1847-1922),
 que inventou o telefone.
    Em decibis (dB), como fica o limiar da audio?
    E o limiar da dor (dB)?


     Os sons muito intensos so desagradveis ao ouvido humano. Sons
com intensidades acima de 130 dB provocam uma sensao dolorosa e
sons acima de 160 dB podem romper o tmpano e causar surdez.
     Nas festas de finais de ano ou quando um ttulo  conquistado pelo
nosso time favorito  comum algumas pessoas estourarem fogos de ar-
tifcios, como forma de comemorao. Voc j observou o que ocorre
com os ces durante o estouro ensurdecedor dos fogos de artifcios?
     Por que ser que eles se incomodam tanto com o barulho?
     Qual  a freqncia sonora dos ces?
     Voc sabia que alguns animais so capazes de perceber os ultra-
sons, que  um som com uma freqncia superior quela que um ser
humano pode perceber? Por esse motivo,  comum o uso de ces para
detectar a presena de invasores, pois eles conseguem ouvir sons no
detectados pelo ouvido humano.



                PESQUISA

    Pesquise sobre as freqncias sonoras de ces e outros animais.



   O ouvido tem a caracterstica de responder aos estmulos sonoros
no de uma forma linear. Se uma fonte sonora dobra a potncia emiti-
da, o ouvido no percebe que o aumento foi o dobro.


                                                 Matemtica,MsicaeTerremoto,OQueHEmComum?                71
        EnsinoMdio



                          ATIVIDADE

         A intensidade sonora de um cozinho latindo  de 3,18 x 10 6 w/m2 numa
     distncia de 5 metros. Qual ser o nvel de intensidade do latido?
                                        E se dois cezinhos estiverem latindo ao mes-
                                     mo tempo, ser que o nvel de intensidade tam-
                                     bm dobra?
                                                                                         Foto: Icone Audiovisual
                                          Faa as contas.
                                         Quando se dobra a intensidade do som, no se dobra o nvel de in-
                                     tensidade, explique por que ocorre esse fato.
      Foto: Icone Audiovisual




                          PESQUISA

         Quais devem ser os cuidados numa sala de aula, em ambientes de trabalho e na vida cotidiana pa-
     ra que o som no prejudique a nossa audio e o nosso humor?
          Quando o som  considerado poluio sonora?
          Voc sabe o que diz a lei municipal da poluio sonora no seu municpio?
          Procure saber mais a respeito desta lei. Ela  adequada? Por qu?

                                   A tabela a seguir apresenta os nveis de intensidade de algumas
                                fontes sonoras comuns em dB.
                                                   FONTE                 dB                 Descrio
                                                                          0              Limiar da audio
                                             Respirao normal           10               Quase inaudvel
                                           Sussurros de folhagens        20
                                               Murmrio (5 m)            30               Muito silencioso
                                                  Biblioteca             40
                                             Escritrio tranqilo        50                  Silencioso
                                            Conversao normal           60
                                               Trfego pesado            70
                                              Fbricas em geral          80
                                             Caminho pesado             90             Prejudicial a audio
                                      Ronco de uma pessoa dormindo        ?
                                                Metr antigo             100
                                            Construo civil (3 m)       110
                                           Concerto de rock (2 m)        120         Limiar da audio dolorosa
                                                Metralhadora             130
                                           Decolagem de um jato          150
                                   Motor de um foguete de grande porte   180
                                 FONTE: Adaptado de TIPLER, 1984.


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                ATIVIDADE

     Observando a tabela anterior, responda:
     a) Qual  aproximadamente a intensidade sonora dos rudos normais da sua sala de aula?
     b) Quantas vezes a intensidade do som de uma banda de rock  superior  intensidade de uma
        conversao normal?
     c) Qual  o limite do som tolervel numa sala de aula?




    Mas afinal de contas, o que o som tem em comum com terremotos?
Calma, j chegamos l!
    Em 8 de outubro de 2005, foi registrado um terremoto de 7,6 graus
na escala Richter no Sul da sia. Pelo menos 39.422 pessoas mortas,
65.038 feridos e muitas cidades completamente destrudas no norte do
Paquisto. Na ndia e Afeganisto houveram, pelo menos, 800 vtimas
fatais. Com uma estimativa de 2,5 milhes de pessoas desabrigadas, o
terremoto tambm danificou estradas e pontes que bloqueiam o aces-
so para muitas das cidades atingidas. Esse foi o segundo terremoto de
grande escala registrado na sia em menos de um ano.
    As aplicaes dos logaritmos so utilizadas para descrever fenme-
nos cujas medies so muito grandes, muito pequenas, ou que se si-
tuam em intervalos com uma amplitude muito grande. Um desses fe-
nmenos  o sismo que ocorre em um terremoto. A energia liberada
por um sismo no seu epicentro  medida pelos sismlogos em uma es-
cala, a escala de Richter, definida pela seguinte equao:
                            M = 0,67 log10 E  7,9
    A letra E, na frmula anterior, representa a energia liberada e M cor-
responde a magnitude na escala de Richter.
    Em 1976, um terremoto de 8,9 na escala de Richter atingiu a Gua-
temala matando 23 000 pessoas. Qual foi a energia liberada pelo ter-
remoto?
    Se a energia liberada por um sismo for 10 vezes maior que a do ou-
tro, qual  a diferena entre as respectivas magnitudes?




                                                Matemtica,MsicaeTerremoto,OQueHEmComum?            73
       EnsinoMdio

                         A escala Richter, utilizada para medir a magnitude dos terremotos,
                      baseada nos logaritmos de base 10. As medidas das intensidades de
                     terremotos crescem exponencialmente. Isso significa dizer que se x  a
                     magnitude de um terremoto, ento a intensidade  de Y = 10x.
                         O quadro a seguir apresenta alguns terremotos registrados ao lon-
                     go do tempo na escala Richter:


                                Local e data                     Escala Richter

                             So Francisco, 1906                       8,3

                               Argentina, 1922                         8,5

                                 Chile, 1960                           9,5

                                Mxico, 1985                           8,1

                             So Francisco, 1989                       7,1

                                   Ir, 1990                           7,3

                            Sudeste Asitico, 2004                     9,0

                                 Chile, 2005                           7,9

                         Sul da sia e Paquisto, 2005                 7,6


                        Baseado nos dados acima compare a intensidade dos terremotos de
                     So Francisco, de 1989, com o do terremoto do Sul da sia, em outu-
                     bro de 2005.
                        Compare tambm a intensidade do terremoto do Ir, de 1990, com
                     o ocorrido no Chile, em 2005.
                        E ento, j descobriu o que terremotos e msica tm em comum?
                        Que tal agora ouvir uma boa msica para alimentar a alma!




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 RefernciasBibliogrficas
 ABDOUNUR, O. J. Matemtica e msica: o pensamento analgico na
 construo de significados. So Paulo: escrituras editora, 1999. 333 p.
 NASCIMENTO, M. Matemtica com prazer. Disponvel em: < http://www.
 geocities.com>. Acesso em: 20 set. 2005.
 RATTON. M. Msica e matemtica. Disponvel em: < http://www.tvebrasil.
 com.br>. Acesso em: 18 nov. 2005.


 ObrasConsultadas
 CARNEIRO, V. C. Funes elementares: 100 situaes-problema de
 matemtica. Porto Alegre: Universidade, 1993, 134 p.
 TIPLER, P. A. Fsica. Rio de Janeiro: Ganabara, 1984. v. 2, 587 p.
 BOYER, C. Histria da matemtica. So Paulo: ed. USP, 1974.
 EVES, H. Introduo  histria da matemtica. Traduo: Hygino H.
 Domingues. Campinas: Unicamp, 1989, 415 p.
 FLORIANI, J. V. Funo logartmica. 2a ed. Blumenal: Editora Furb, 2000.
                                      .
 GIMNEZ, C. C.; PIQUET, J. D. Funciones y grficas. Madri: Sntesis,
 1990. 176p.
 LIMA, E. L. Logaritmos: coleo do professor de matemtica. 2a ed. Rio de
                                                              .
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 MIORIM, M. A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal:
 SBHMAT, 2002.
 WISNIK, J. M. O Som e o sentido: Uma Outra Histria das Msicas. So
 Paulo: Cia. das Letras, 1999.


 DocumentosConsultadosONLINE
 MAIA, A. Msica e matemtica: uma antiga relao. Disponvel em: < http://
 www. comciencia.br>. Acesso em: 19 nov. 2005.




                                              Matemtica,MsicaeTerremoto,OQueHEmComum?     75
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                                                                                                6
                                              $$$ CORRUPO &
                                         POLTICA  QUEM MEXEU
                                            NO MEU bOLSO! $$$
                                                                                      Claudia Vanessa Cavichiolo1


                                                             Como compreender a brutal diferena en-
                                                             tre o salrio da maioria dos trabalhadores
                                                             brasileiros e os extraordinrios valores que
                                                             ficaram conhecidos como "mensales"?




Colgio Estadual Professor Lysmaco Ferreira da Costa - PR
1




                                                                          $$$Quemmexeunomeubolso?$$$            77
         EnsinoMdio

                                       No ano de 2005, o Brasil se deparou com uma crise poltica gerada
                                    pelo escndalo do "mensalo". Saiu nas principais manchetes de jornais
                                    e telejornais de todo o pas, denncias feitas pelo ex-presidente do
                                    PTB, Roberto Jefferson, sobre supostas mesadas pagas a parlamentares
                                    do governo, o "mensalo". Cifras gigantescas so mencionadas
                                    nestas denncias, como por exemplo, mesadas de 30, 40 e at 50 mil
                                    reais, conforme o poltico que as recebe. Muitos brasileiros, simples
                                    assalariados, se revoltaram, pois seus salrios estavam muito longe de
                                    se compararem com as gordas mesadas citadas na mdia. Mesmo que
                                    seus salrios tivessem um aumento progressivo, levaria muitos anos
                                    para chegarem l! E ainda, segundo um artigo de jornal,
                                          [...] 4 milhes de reais que foram repassados ao deputado Roberto Jefferson
                                          e que seria parte do financiamento da campanha de seu partido (PTB) em
                                          2004, porm Jefferson recusou-se dizer o que fez com todo esse dinheiro.
                                          (Jornal Gazeta do Povo, 23 de junho de 2005, p. 17).
                                        Estas crises polticas abalam a populao, muito porque em sua
                                    grande maioria so trabalhadores assalariados, e estes, mesmo que
                                    levassem uma vida inteira trabalhando, no atingiriam a menor das
                                    cifras citadas acima, causando revolta por parte de uma grande maioria,
                                    assalariados brasileiros.
                                        Outro fato que tambm gera revolta,  que, em meio a tudo isso, o
                                    povo no sabe aonde realmente se encontra a verdade e, nos estudos
                                    sobre a Histria da Poltica Brasileira, ela aparece muitas das vezes,
                                    somente depois de 3 ou 4 dcadas. Evidentemente, existem situaes
                                    em que os acontecimentos que entram para a Histria, so esclarecidos,
                                    to logo acontecem, um exemplo  o impeachment do ex-presidente
                                    Fernando Collor de Mello.
                                        Porm nem sempre o caminhar da Histria  to rpido assim, haja
                                    visto que em alguns casos, a complexidade dos fatos e a obscuridade
                                    em que acontecem , demandam muito
                                    trabalho de pesquisa por parte dos
       Em maro de 1990,
     Collor, eleito pelo povo,
                                    historiadores, em busca de documentos
     toma posse na Presidncia.     que comprovem sua veracidade.
     Seu discurso era baseado           H tambm o papel da mdia, que
     na moralidade administrativa   atravs da divulgao, fomentam a
     e no markenting pessoal       discusso poltica entre as pessoas,
     juventude e modernidade.       gerando mais cobrana por parte da
     Dois anos depois, a            populao, porm ao deixar de noticiar os
     credibilidade de Collor        acontecimentos, o vu do esquecimento
     despenca em funo dos         recai sobre nao.
     escndalos de corrupo
     no governo. Estudantes
     saem s ruas para exigir o
     impeachment (FIGUIREDO,
     2000).                                      Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/
                                                        Fernando_Collor_de_Mello

78    Funes
                                                                                     Matemtica

     A Matemtica e a Histria se entrelaam tecendo uma rede onde prendem-se muitas
 verdades que quando analisadas, podem ser detectadas sem que precisemos aguardar tanto
 tempo para que os historiadores nos revelem o que realmente aconteceu em uma determinada
 poca.
     A matemtica por ter o poder de nos levar  compreenso do mundo e das estruturas
 econmicas de uma sociedade, atravs dos nmeros, e dentre outras coisas, nos faz perceber
 se estamos sendo lesados economicamente em qualquer situao e, a Histria, porque nos
 instiga  reflexo crtica, quer seja sobre fatos passados como os atuais, pois estes fazem
 parte da construo histrica da humanidade, e dessa forma podemos nos posicionar como
 cidados conscientes e ativos dentro da sociedade.



               DEBATE

    Com relao ao caso do "mensalo", ser que  um daqueles acontecimentos histricos em
 que sua veracidade s ser comprovada daqui a muitas dcadas? Voc acha, que quando a
 mdia para de divulgar escndalos na poltica, como esse, as pessoas deixam de pensar sobre o
 assunto? Ser que ns, brasileiros, somos um povo sem memria poltica? Justifique.



    Vamos agora fazer a confirmao de alguns fatos importantes para a nossa compreenso
e que nos levar a refletir sobre a realidade de maioria dos brasileiros. Em especial, vamos
estabelecer uma situao fictcia que diz respeito  conquista do primeiro emprego.
    Suponha que um jovem com 18 anos ingressou em seu primeiro emprego e, na entrevista
de admisso, seu empregador estabeleceu o seguinte contrato de trabalho:
    Salrio inicial: R$ 400,00
    Aumento: anualmente seu salrio ter um aumento de R$ 100,00.
    Observamos que se o aumento  de R$ 100,00, formar a seguinte seqncia com os
salrios desse jovem: 400, 500, 600, 700,...
    Observamos tambm que esse aumento  constante e podemos verificar, com isso, que
se subtrairmos o 2 salrio pelo 1o ou, o 3 pelo 2 e, assim por diante, teremos sempre o
mesmo valor, que  de 100 reais, justamente o aumento anual do jovem.
    Veja:
      .            .
    2 salrio - 1 salrio = 500  400 = 100
      .            .
    3 salrio - 2 salrio = 600  500 = 100
      .            .
    4 salrio - 3 salrio = 700  600 = 100
    ...e assim sucessivamente...
    Ento podemos dizer que a seqncia formada pelos salrios possui uma particularidade:
o valor do aumento  constante e, a partir de agora, chamaremos a esse aumento de razo
(r) da seqncia que representa o salrio do jovem, juntamente com os aumentos. E isso vale
para todas as seqncias que possui a razo constante.



                                                            $$$Quemmexeunomeubolso?$$$            79
       EnsinoMdio

                         Vamos agora analisar mais uma particularidade desse tipo de
                     seqncias. Veja que no caso dos salrios, existe um nmero determinado
                     de anos para o jovem receber, uma vez que sabemos que um ser
                     humano no vive eternamente. Nesse caso trata-se de uma seqncia
                     que possui um certo nmero de termos que evidentemente no poder
                     ser nulo, pois ele receber, no mnimo, um salrio; e que tambm no
                     poder ser negativo pelo mesmo motivo. Matematicamente, dizemos
                     que os termos dessa seqncia pertence aos N* (conjunto dos nmeros
                     naturais no nulos).
                         Agora estamos prontos para dar uma definio mais elegante, ou
                     mais formal de uma seqncia que possui essas particularidades:
                         Uma seqncia de nmeros reais  chamada de Progresso
                     Aritmtica (PA) quando todos os seus termos, a partir do segundo, 
                     igual ao seu anterior somado com um nmero fixo chamado de razo
                     (r) da progresso.
                         No caso especfico dessa seqncia que citamos, temos:
                         ( R$ 400, R$ 500,00, R$ 600,00, R$ 700,00...), onde:
                         1. Salrio inicial: R$ 400,00
                               .
                         2. 1 salrio com aumento: R$ 400,00 + R$ 100,00 = R$ 500,00
                               .
                         3. 2 slario com aumento: R$ 500,00 + R$ 100,00 = R$ 600,00
                               .
                         4. 3 slario com aumento: R$ 600,00 + R$ 100,00 = R$ 700,00
                                 ...e assim sucessivamente...
                                                                          .
                         Se chamarmos o salrio inicial de a1, o 2 salrio com aumento
                                 .
                     de a2, o 3 salrio com aumento de a3, e assim por diante, podemos
                     expressar, a seqncia dessa forma:
                                                     (a1, a2, a3, a4,...)
                         J que definimos o aumento fixo de R$ 100,00 como r (razo),
                     ento podemos escrever:
                         a2 = a1 + r
                         a3 = a2 + r
                         a4 = a3 + r
                         Assim podemos encontrar qualquer termo desta PA, basta
                     colocarmos todos os termos em funo de a1 e da razo r. Nesse
                     caso, poderamos calcular sexagsimo termo (a60), por exemplo, dessa
                     progresso. Assim:
                                                       a60 = a59 + r

                        Mas qual  o valor de a59?
                        Ora, muito simples:
                                                     a59 = a58 + r




80   Funes
                                                                                           Matemtica

    Mas qual  o valor de a58? Nos deparamos com um problema! Teramos que
fazer muitas contas para solucionar esse problema. Perceba que precisamos
encontrar um termo da PA, o qual conhecemos seu valor, para realizar o clculo.
Bem, na matemtica podemos encontrar uma soluo que reduza os clculos a
serem realizados. Veja que temos dois valores da seqncia, os quais conseguimos
calcular com maior facilidade, o primeiro termo (a1) e a razo r. Que tal colocarmos
todos os termos em funo desses dois valores? Veja:
    a2 = a1 + r (I)
    a3 = a2 + r (II)
    Substituindo (I) em (II), temos:
    a3 = a1 + r + r ou a3 = a1 + 2r
    Analogamente:
    a4 = a1 + 3r
    a5 = a1 + 4r
    a6 = a1 + 5r
    ....
    Ento, a60 = a1 + 58r
    Desse modo poderamos descobrir qualquer termo da seqncia, ou seja, um
ensimo termo an. Assim:
                                    an = a1 + (n  1).r
    Eis a a Frmula do Termo Geral de uma PA! Descobrimos esta frmula, to til
para reduzir os clculos, sem precisarmos recorrer a argumentaes matemticas
muito sofisticadas, apenas usamos o nosso raciocnio lgico! Claro, pelo que j
mencionamos acima, n pertence aos N*.
    Agora que j temos a frmula, podemos voltar ao nosso problema do jovem
e seu primeiro emprego para realizarmos alguns clculos, a fim de constatarmos
fatos que poderemos comparar com a mesada que, supostamente, recebem ou
receberam alguns dos parlamentares do nosso governo. Vamos utilizar para as
nossas comparaes, a menor cifra que aqui foi citada, a de R$ 30 000,00 (valor de
um dos "mensales").


                ATIVIDADE

    Supondo que esse jovem permanea neste emprego at sua aposentadoria (aos 60 anos de idade).
 Descubra:
     a) Como ser feita a progresso desse salrio:
     b) Qual ser a razo desta progresso:
     c) Quanto ele ganhar aos seus trinta anos de idade? E aos 48 anos ? Na sua opinio  um bom
        salrio?
     d) Quanto ele ganhar no ltimo ano antes de sua aposentadoria? O valor encontrado ultrapassa ou
        no as supostas mesadas pagas aos parlamentares? Em quanto diferem?

                                                                 $$$Quemmexeunomeubolso?$$$             81
       EnsinoMdio

                         Para que tenhamos uma noo ainda mais ampla entre a dificuldade
                     de um trabalhador comum em adquirir dinheiro e a facilidade de
                     um receptor de "mensales", vamos somar todos os salrios desse
                     jovem, desde seu primeiro ms neste emprego at sua aposentadoria,
                     mostrando a quantia que ele ganhar durante todos esses anos de
                     trabalho. Ser que depois de tantos anos de trabalho essa quantia
                     ultrapassar ou no a mesada de 30 mil reais dos parlamentares?
                         Para efetuar esses clculos, teramos que fazer:
                         R$ 400,00 . 12 + R$ 500,00 . 12 + R$ 600,00 . 12 + R$ 700,00 . 12
                     +...+ ltimo aumento de salrio multiplicado por 12.
                         Ou seja: a1 + a2 + a3 +...+ an
                         Novamente nos deparamos com outro problema, pois precisaramos
                     somar o salrio desde que o jovem ingressou no emprego (18 anos) at
                     sua aposentadoria (60 anos), ou seja, seria uma adio de 42 parcelas,
                     alm de ter que calcularmos todas elas antes, pois lembremos que o
                     aumento  anual e o ano  composto de 12 meses, assim, por exemplo,
                     o primeiro termo desta progresso seria 400.12 = 4800, o segundo seria
                     500.12= 6000, e assim por diante! Que trabalho no  mesmo?
                         E mais uma vez vamos recorrer ao nosso raciocnio lgico para
                     descobrir uma forma mais simples e reduzida de realizarmos esses
                     clculos. Para isso vamos chamar essa soma gigantesca de Sn.
                         Sabemos que: S = a1 + a2 + a3 +...+ a(n2)...+ a(n1) + an (I) (ordem
                     crescente dos termos da P.A).
                          Ou: Sn= an + a(n1) + a(n2) +... + a3 + a2 + a1 (II)( ordem decrescente
                     dos termos da P.A).
                         Somando todos os termos de (I), com todos os termos de (II)
                     teremos:
                         2Sn = (a1 + an) + (a2 + a(n1)) + (a3 + a(n2)) + ... + (a(n2) + a3) + (a (n1)
                     + a2) + (an + a1)
                         Como as n parcelas tm o mesmo valor; pois so termos eqidistantes
                     dos extremos, podemos escrever que 2Sn = (a1 + an).n. Logo:

                                                               (a1 + an).n
                                                        Sn =
                                                         2
                        onde:
                        a1: primeiro termo
                        an: ensimo termo (ou ltimo termo)
                        n: nmero de termos
                        Sn: soma dos n termos




82   Funes
                                                                                                   Matemtica


                ATIVIDADE

     Agora voc pode somar todos os salrios do jovem trabalhador, desde seu primeiro ms no emprego
 at sua aposentadoria. Considere que:
    a1 = primeiro salrio vezes 12 meses
    an = ltimo salrio vezes 12 meses
    n = nmero de aumentos anuais (desde os 18 at os 60 anos)
    Sn = soma de todos o montantes anuais de salrios

    a) Caso esse valor seja superior  mesada, verifique em quantos meses um parlamentar, receptor
       dessas mesadas, ganharia esse dinheiro? Qual a sua opinio pessoal quanto a isso?
    b) Verifique quantos anos esse jovem deveria trabalhar para que seu salrio chegasse ao mesmo
       valor das mesadas de 30 mil reais? Isso seria possvel?
    c) Agora verifique de quanto teria que ser o aumento anual desse jovem para que ele chegasse a
       receber 30 mil reais aos seus 48 anos de idade, de forma que pudesse desfrutar ainda por um
       bom tempo antes de sua velhice, os benefcios desse grandioso salrio.  comum nos dias de
       hoje um trabalhador receber um aumento no valor que voc encontrou? Justifique.
    d) Finalmente verifique qual deveria ser o salrio inicial do jovem para que ele pudesse obter o salrio
       de 30 mil reais em um perodo de 15 anos. Tratando-se da crise do desemprego,  comum um
       jovem, ao ingressar em seu primeiro emprego, receber um salrio inicial com o valor que voc
       encontrou?


    So muitas as revoltas ao verificar essas situaes, no bastasse                 Os primeiros registros de
a crise do desemprego, as dificuldades que um jovem enfrenta para                   prticas de ilegalidade no
ingressar no mundo do trabalho, ainda nos deparamos com a larga                     Brasil, que temos registro,
gama de corrupo existente em nosso pas e no mundo. A corrupo                   datam do sculo XVI no
 uma palavra muito falada e muito ouvida hoje em dia, porm                       perodo da colonizao
                                                                                    portuguesa. O caso mais
importante saber o que, de fato, se caracteriza corrupo. Sabemos
                                                                                    freqente era de funcionrios
que vivemos em uma repblica, onde os recursos pblicos (adquiridos
                                                                                    pblicos, encarregados de
atravs de impostos), so destinados a atender as necessidades da                   fiscalizar o contrabando e
sociedade (sade, educao, segurana, etc.). Porm, quando parte                   outras transgresses contra a
desses recursos so desviados para uma esfera privada, gerando                      coroa portuguesa e ao invs
privilgios individuais, ento um ato de corrupo esta consumado.                  de cumprirem suas funes,
Por isso existe muito dinheiro pblico mal aplicado, tantos hospitais,              acabavam praticando o
tantos orfanatos, escolas sem recursos, sem falar nas estradas em                   comrcio ilegal de produtos
condies precrias, as tarifas cada vez maiores que o trabalhador                 brasileiros como pau-brasil,
obrigado a pagar, muitas vezes diminuindo de seu prprio sustento, a                especiarias, tabaco, ouro e
fome, a misria e todas as mazelas que assolam nossa sociedade.                     diamante. (BIASON, 2007)




                                                                     $$$Quemmexeunomeubolso?$$$                     83
         EnsinoMdio



                         DEBATE

         O que mais te incomoda em relao a situao econmica de nosso pas? A opinio dos
     colegas de classe  comum ou existem divergncias? Ser fcil administrar um pais em face a
     tantos desafios?




                         ATIVIDADE

         Aps realizar o debate, estabelea uma Progresso Aritmtica onde poderiam estar sendo melhor
     aplicados os recursos pblicos. Para isso utilize-se de uma quantia de 4 milhes de reais, que
      justamente o valor que teria sido repassado, segundo denncias, pelo PT ao deputado Roberto
     Jefferson para ajuda na campanha do PTB em 2004, sendo que o deputado recusou-se a dizer para os
     investigadores da CPI do "mensalo", o que realmente fez com essa quantia...(Jornal gazeta do Povo,
     20 de junho de 2005, p. 11).
             Lembre-se de que voc precisar estabelecer o seguinte:
           Uma aplicabilidade social para o montante de 4 milhes de reais
           Uma quota inicial para essa aplicao, que ser o 1o termo (a1) da P.A.
                                                               .
           A quantia que ser aumentada progressivamente dessa quota, ou seja, a razo (r) da P.A.
           Durante quanto tempo ser realizada essa aplicao, que  o nmero de termos (n) da P.A.
           Qual ser o valor da ltima aplicao, que ser o termo geral (an) da P.A.
           Utilizar-se da soma dos termos (Sn) de uma P.A. para chegar na quantia de 4 milhes de reais.

                                      Ao trmino dessas atividades, poder ser realizada a exposio das
                                   mesmas, que podero ser em equipes, promovendo novo debate das
                                   formas de como o dinheiro pblico poder ser aplicado de maneira
                                   que beneficie a sociedade.
  PC Farias - Paulo Csar
Farias  foi tesoureiro da         Para pensar:
campanha de Collor na              Em uma perspectiva histrica, observa-se mudanas na sociedade. No sculo
eleies de 1989. Participou   XIX, por exemplo, tnhamos uma monarquia onde o parlamento era controlado
de diversos esquemas de        pelo rei, porm hoje, vivemos em uma repblica, onde h independncia dos
de corrupo entre 1990 e
                               poderes mas, controlada pelo capital financeiro. Isso nos faz concluir que a Histria
1991. PC e sua namorada
                               nunca se repete. Isso  um fato, pois existem os processos de transformaes.
foram encontrados mortos
                               Porm, dentre os muitos momentos histricos, podemos estabelecer interessante
em sua casa de praia em
1996. At hoje no existem     paralelo, que nos faz refletir sobre crises anteriores e atuais. Uma expresso
provas se houve crime          disso encontramos em uma matria de jornal, dizendo que "o publicitrio Marcos
passional e se foi queima de   Valrio, acusado pelo deputado Roberto Jefferson de ser um dos articuladores do
arquivos.                      pagamento do mensalo, foi comparado pelo prprio deputado como uma verso
                               macaqueada de PC Farias". (Gazeta do Povo, 1o de junho de 2005, p.13).



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    Segundo o que foi publicado, Miro Teixeira, ex-ministro das
comunicaes, na tentativa de desqualificar o depoimento de Roberto
Jefferson disse:
      Se tudo o que Roberto Jefferson fala for verdade, Collor (Fernando Collor
      de Melo, ex-presidente) era um inocente... Temos que rever o impeachment
      do Collor porque ele era honesto". Miro em depoimento de trs horas disse
      que props a Jefferson que fizesse a denncia do "mensalo" na tribuna
      da Cmara. "Se eu for para a tribuna agora, transformo o presidente em
      um Lech Walessa (lder sindicalista polons que fundou o Movimento
      Sindical Solidariedade, chegou  presidncia da Polnia e acabou o mandato
      desgastado por denncias de corrupo)", teria dito Jefferson.(Gazeta do
      Povo, 2 de junho de 2005, p. 15).
    Outro fato que tambm deixou muito estreita a relao dos atuais
acontecimentos polticos com os acontecimentos que marcaram a
histria de nosso pas, partiu do prprio presidente Luiz Incio Lula da
Silva quando mencionou que:
      "No renunciar ao mandato, nem seguir ao caminho de Getlio Vargas,
      que, em 1954, suicidou-se diante da presso  sua gesto" Em depoimento do
      prprio presidente encontramos o desabafo: "Nem farei o que fez o Getlio
      Vargas, nem farei o que fez o Jnio Quadros, nem farei o que fez Joo Goulart.
      O meu comportamento ser o comportamento que teve Juscelino Kubitschk:
      pacincia, pacincia e pacincia", mais adiante, "a verdade prevalecer, e o
      povo brasileiro vai saber verdadeiramente o que est acontecendo no Brasil,
      o que est por trs do que est acontecendo no Brasil, quem so os ocultos
      ou no, porque os pblicos ns j sabemos e vai saber, concretamente, quem
      praticou ou no corrupo neste pas" (Gazeta do Povo, 26 de agosto de
                                                                                        Fonte: http://pt.wikipedia.
                                                                                        org/wiki/Get%C3%BAlio_
      2005, p. 15).
                                                                                                            Vargas
    O presidente Lula se refere  ex-presidentes, justamente porque estes
tiveram seus nomes gravados na Histria, marcando suas passagens no
poder com crises polticas. O comportamento e atitudes de cada um
deles, reflete bem o que Lula quis dizer. Getlio vargas, no aceitou a
vitria de seus inimigos polticos e conforme os registro Histricos:
      "Na madrugada do dia 25 de agosto de 1954, aps tensa reunio com seus
      ministros, na qual ficou claro que s havia dois caminhos  a renncia ou a
      deposio -, Getlio retirou-se para seus aposentos no Palcio do Catete e,
      aps escrever uma carta-testamento dirigida a todos os brasileiros, deu um
      tiro no corao." (CARVALHO, p. 293).
   Jnio Quadros, embora conservador, assumiu o governo,
representando a promessa de revoluo pela qual o povo ansiava,
em um clima de otimismo. De fato, o programa de seu governo
era revolucionrio."Mas o novo presidente pouco pde contra os
problemas acumulados, renunciando depois de governar por sete
meses" (CARVALHO, p. 298)                                                               Fonte: http://pt.wikipedia.
                                                                                         org/wiki/J%C3%A2nio_
                                                                                                          Quadros


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                                       Joo Goulart foi presidente do Brasil em em 1961. Foi derrubado
                                    do poder atravs do golpe de 64.
                                          "O golpe que derrubou o presidente Joo Goulart, foi desencadeado por
                                          militares, mas contou com a intensa participao civil. [...] O presidente no
                                          conseguiu organizar uma reao. Entre outros motivos porque os militares
                                          interferiram no sistema de comunicao, dificultando o comando unificado
                                          das foras governamentais" (FIGUEIREDO, p. 301).
                                        Lula se remete  Juscelino porque este tambm teve que
                                    enfrentar muitas situaes de presso. No seu governo, JK contratou
                                    emprstimos de fontes pblicas externas para que pudesse cumprir
                                    com um programa que pretendia fazer "cinqenta anos em cinco"
                                    - seu lema, tendo como uma de sua metas,
      Fonte: http://pt.wikipedia.   recuperar aos brasileiros a confiana em si
      org/wiki/Jo%C3%A3o_           mesmos. Porm tambm enfrentou forte crise
      Goulart                       no pas, pois apesar do crescimento econmico,
                                    houve desequilbrio financeiro e aumento de
                                    inflao. Mas Juscelino manteve a pacincia
                                    para enfrentar as acusaes de corrupo, as
                                    tentativas de golpe de Estado e de cassao.
                                    Dessa forma Lula faz um comparativo com a
                                    postura de Juscelino, frente as crises polticas, e
                                    a sua, frente a "crise do mensalo".
                                        Fatos que marcaram a histria da poltica no
                                    Brasil, hoje esto sendo foco de comparaes
                                    com a atual crise poltica. Ao pararmos para
                                    refletir sobre a nossa histria, a de nosso pas,  Fonte: http://
                                    comeamos a desenvolver um pensamento mais          pt.wikipedia.org/wiki/
                                    crtico, e emitimos assim concluses prprias.      Juscelino_Kubitschek



                         PESQUISA

           Neste texto, foram apresentadas comparaes entre Luis Incio Lula da Silva os ex-presidentes
       Juscelino Kubitschk e Lech Walessa em diferentes momentos da Histria, tanto no Brasil, como na
       Polnia. Neste contexto, pesquise em livros de Histria Mundial ou em sites da Internet, a crise poltica
       na Polnia sob a presidncia de Lech Walessa, estabelecendo comparativo com a crise que enfrentada
       por Luiz Incio Lula da Silva, em 2005.

                                         importante refletir sobre a Histria, e no apenas conhec-la,
                                    nesse caso, estaramos apenas acumulando um conhecimento sem
                                    poder articul-lo, sem crescermos com ele. O ideal  que possamos
                                    refletir e questionar diante da histria, para desenvolvermos novas
                                    idias e uma nova viso de sociedade, uma viso que seja ampla e
                                    crtica, na busca de solues para os nossos problemas atuais e futuros.
                                     nesse sentido que buscamos na Matemtica ferramentas para nossa
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compreenso, entendermos a sociedade numa construo histrica apenas no basta,  preciso
articula-l com a realidade, estabelecendo comparaes e realizando projees, para que assim
possamos atuar de modo significativo nas transformaes que buscam a melhoria da qualidade
de vida, dentro de uma sociedade mais justa e igualitria.
    Assim,  possvel entender porque um pas como o Brasil reflete tantas diferenas sociais,
como as crises polticas nos afetam e, principalmente, como questionar e argumentar contra
as injustias, a corrupo, a m aplicao do dinheiro pblico e, atravs de conhecimentos
adquiridos atravs da Matemtica, aliado ao contexto histrico e social, podermos cobrar justia
para nossa sociedade e tomarmos decises importantes para o nosso futuro, com conscincia
social e poltica.


  RefernciasBibliogrficas
   GAZETA DO POVO. No farei como Getlio e Jnio, farei como JK. Curitiba, 26 de agosto de
   2005. Caderno Brasil, p.15.
   GAZETA DO POVO. Jefferson recusa-se a dizer se dividiu r$ 4 milhes com integrantes do
   PTB. Curitiba, 23 de junho de 2005. Caderno Brasil, p. 17.
   GAZETA DO POVO. Miro confirma denncias do mensalo. Curitiba, 2 de junho de 2005.
   Caderno Brasil, p. 15.
   GAZETA DO POVO.Jefferson no vai dizer o que fez com os R$ 4 milhes. Curitiba, 20 de
   junho de 2005. Caderno Brasil, p.11.
   GAZETA DO POVO. Novas denncias agravam a crise do "mensalo". Curitiba, 13 de
   junho de 2005. Caderno Brasil, p. 11.
   GAZETA DO POVO. Mensalo continuou a ser pago. Curitiba, 1o de junho de 2005. Caderno
   Brasil, p. 13.



  ObrasConsultadas
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   GIDDENS, A. Sociologia. TRADUO: Sandra R. Netz. 6. ed. Porto Alegre: Artmed, 2005.
   GIOVANNI, J. R./BONJORNO, J. G. Matemtica fundamental: uma nova abordagem: ensino
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   POLYA, G. A arte resolver problemas. 2 ed. Rio de Janeiro: Intercincia, 1995.
   PONTE, J, P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigaes matemticas na sala de aula. Belo
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   SANTOS, C. A. M./GENTIL, N./Gentil, N./GRECO, S. E. Matemtica: edio compacta: srie
   novo ensino mdio: volume nico. So Paulo: tica, 2003.


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       EnsinoMdio

                           DocumentosConsultadosONLINE
                           BIASON, R. Breve Histria da Corrupo no Brasil. Diponvel em:
                           <http://www.votoconsciente.org.br/index.php?option=com_content&task=
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                           Radicalgraphics. Money. Disponvel em: <http://www.radicalgraphics.org/.
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                           Wikipedia The free Encyclopedia: Getlio Vargas. Disponvel em: <http://
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                           Jnio Quadros. Disponvel em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/J%C3%A2nio_
                           Quadros>. Acesso em: 09 de dez. 2007.
                            Joo Goulart. Disponvel em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Jo%C3%A3o_
                           Goulart>. Acesso em: 09 de dez. 2007.
                           Juscelino Kubitschec. Disponvel em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Juscelino_
                           Kubitschek>. Acesso em: 09 de dez. 2007.




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                                                         QUAL  O PRXIMO
                                                                 NMERO?
                                                                                   Donizete Gonalves da Cruz1




                                             Desenhe o prximo tringulo. Quantos tringulos meno-
                                             res, congruentes ao primeiro, a quarta figura ter?
                                             Quantos segmentos sero necessrios para construir os tri-
                                             ngulos internos da prxima figura?
                                             Aps responder a segunda pergunta, voc ter uma seq-
                                             ncia numrica. Ento subtraia, de cada termo posterior, o
                                             anterior. O que acontece? Do resultado que conseguiu, sub-
                                             traia, de cada termo posterior, o anterior. O que acontece?




Colgio Estadual Santa Cndida - EFM - Curitiba - PR
1




                                                                                   Qualoprximonmero           93
       EnsinoMdio

                         A Histria da Matemtica  um meio favorvel para abordarmos
                     conceitos matemticos. Foi decifrando os escritos antigos, como o Pa-
                     piro de Ahmes e outros, que cientistas puderam compreender sistemas
                     de numerao, tcnicas de calcular, linguagens matemticas e, de for-
                     ma geral, como a matemtica foi se desenvolvendo a partir do pensa-
                     mento de povos que viveram h muitos anos. As questes acima j fo-
                     ram motivo de investigao de pessoas que viveram h muito tempo
                     antes de ns e contriburam para a construo e sistematizao do co-
                     nhecimento matemtico
                         H milhares de anos antes de ns, os homens j construam figuras
                     e desenhos que revelavam preocupaes com relaes espaciais. Suas
                     construes, como potes, tecidos e cestas, mostram exemplos de con-
                     gruncia e simetrias, conforme vimos na figura de nosso problema.
                         Os nmeros 1, 4, 9, abaixo das figuras, expressam o nmero de tri-
                     ngulos congruentes, ao primeiro, que cada figura possui. Se conside-
                     rarmos o nmero de segmentos que formam os lados de cada tringu-
                     lo congruente, teremos outra seqncia numrica.
                         Observe que a subtrao do nmero de tringulos da figura de
                     maior nmero de tringulos para a prxima,  esquerda, gera uma se-
                     qncia numrica.
                         Hoje as seqncias numricas so vistas em vrios meios onde h
                     atuao das pessoas. Para nosso estudo, vamos nos ater a duas abor-
                     dagens. Vale considerar que o Folhas A Rede e o Ser pode ser visto co-
                     mo uma implementao desse trabalho.
                         At o momento, quais foram os anos de realizao das copas do
                     mundo de futebol? Observe a resposta: (1930, 1934, 1938, ----, ----, 1950,
                     1954, 1958, 1962, 1966, 1970, 1974, 1978, 1982, 1986, 1990, 1994, 1998,
                     2002,...). Nos anos de 1942 e 1946 no houve realizao de copas, pois
                     se vivia momentos de conflitos por conta da Segunda Guerra Mundial.
                         Quais os anos de realizao das olimpadas? Se tomarmos por ba-
                     se a partir do ano de 1896, quando foram realizados os jogos olmpi-
                     cos de Atenas, temos: (1896, 1900, 1904, 1908, 1912, ....., 1920, 1924,
                     1928, 1932, 1936, ...., 1948, 1952, 1956, 1960, 1964, 1968, 1972, 1976,
                     1980, 1984, 1988, 1992, 1996, 2000, 2004, ... ). Semelhante s copas do
                     mundo, no ocorreu a realizao dos jogos de 1916 e 1942 por conta
                     da Primeira e da Segunda Guerra Mundial, respectivamente.
                         Lembra-se de quantas vezes voc j tomou remdio? Os mdicos
                     exigem que o mesmo medicamento seja tomado em intervalos de tem-
                     pos iguais, ou seja, segundo uma seqncia numrica.
                        H muitas situaes em que as seqncias numricas contribuem
                     para organizar, sistematizar e resolver problemas. Prosseguindo nosso
                     estudo, vamos abordar a seqncia das copas do mundo, que foram e
                     so realizadas segundo um intervalo de tempo que representa uma se-
                     qncia matemtica.

94   Funes
                                                                                              Matemtica




                 ATIVIDADE

     Observe os anos de realizao das copas e responda: qual  o intervalo de tempo, em anos, entre
 as copas? Que operao voc utiliza para atingir este resultado?
    No estudo formal da Matemtica, o nmero que voc escreveu na resposta anterior tem uma deno-
 minao assumida historicamente. Investigue qual  essa denominao.



   Diante da resposta da questo anterior,  possvel descobrir quais
os anos futuros em que sero realizadas as prximas copas?




                 ATIVIDADE

     a) Quais os anos de realizao das prximas duas copas?
     b) Em que ano ser realizada a vigsima quinta (25) copa do mundo?




    H meios diferentes para responder a questo b.  provvel que,
para encontrar a resposta, muitos de vocs escreveram a seqncia at
o 25 termo.
    E quando, para a soluo de um problema, requisitar a procura de
termos cuja posio se encontra distante dos primeiros termos da se-
qncia?
    Para responder esses problemas, podemos abord-los por meio de
conceitos matemticos.  comum cada termo de uma seqncia re-
ceber uma denominao. Neste caso, os termos da seqncia (1930,
1934, 1938, ----, ----, 1950, 1954, 1958, 1962, 1966, 1970, 1974, 1978,
1982, 1986, 1990, 1994, 1998, 2002, ...), a iniciar pelo primeiro nme-
ro, chamaremos, a partir daqui, de a1, a2, a3, ..., an. Assim, a1 = 1930;
a2 = 1934; a3 = 1938; a4 = 1942; a5 = 1946; a6 = 1950. O a1, a2, a3, a4, ..., an
so denominados de termos da seqncia.
    Conhecendo que a1 = 1930; a2 = 1934 e sucessivamente, podemos
fazer alguns clculos matemticos.




                                                                                   Qualoprximonmero     95
       EnsinoMdio



                     ATIVIDADE

        a) a2  a1 =         a3  a2 =    a 4  a3 =
            O que voc deduz desses clculos?
        b) a15  a14 = a14  a13            a10  a9 = a8  a7
           O que voc deduz desses clculos?
        c) Ento, como calcular o 25 termo da seqncia em estudo de forma a no escrev-la por inteiro?


        Para responder tal problema, buscaremos o entendimento de conceitos matemticos que
     contribuem para construir uma resposta.

        a1 = 1930
        a2 = 1930 + 4 = 1934, ou seja,  o mesmo que a2 = a1 + 1 . 4 (um vezes quatro) Que rela-
        o existe entre a2, a1 e o coeficiente que multiplica o termo 4?
        a3 = 1930 + 4 + 4 = 1938.  o mesmo que a3 = a1 + 2 . 4 (dois vezes quatro). Que relao
        existe entre o termo a3, a1 e o coeficiente que multiplica o nmero 4?
        Tambm a3 = 1934 + 4, sendo o mesmo que a3 = a2 + 1 . 4. Que relao existe entre a3, a2
        e o coeficiente 1 que multiplica o 4?

        a4 = 1930 + 4 + 4 + 4 = 1942
        a4 = a1 + 3 . 4
        a4 = a2 + 2 . 4
        a4 = a3 + 1 . 4

        Observe atentamente o termo a4, o prximo termo aps o sinal de igual e o coeficiente que
     multiplica o nmero 4. Que concluses voc chega?

        Observe a5 = 1930 + 4 + 4 + 4 + 4 = 1946. Anote as possibilidades de escrever o termo a5
        em funo dos termos anteriores conhecidos.

        a6 = a1 + 5 . 4
        a6 = a2 + 4 . 4
        a6 = a3 + 3 . 4
        a6 = a4 + 2 . 4
        a6 = a5 + 1 . 4

        Percebe-se que h algumas maneiras de escrever e encontrar o termo a6. Formule e escre-
     va sua idia sobre os meios pelos quais podemos calcular o termo a6.

96   Funes
                                                                                         Matemtica


     Abordamos as possibilidades de encontrarmos um termo de uma seqncia desde que co-
 nhea os termos anteriores. Portanto, voltando ao item c, Ento, como calcular o 25 termo da
 seqncia em estudo, de forma a no escrev-la por inteiro? J temos possibilidades de ela-
 borar uma resposta. Escreva 5 maneiras de encontrarmos o 25 termo da seqncia e desco-
 brirmos em que ano ser realizada a vigsima quinta copa do mundo.




                 DEBATE

     a) Na seqncia que estamos estudando, podemos encontrar um termo qualquer desde que co-
        nheamos os termos anteriores. Para encontrar o termo x, no mnimo, quantos termos anterio-
        res devemos conhecer?
     b) Investiguem e descubram uma regra geral para calcular termos de uma seqncia matemtica
        semelhante a que estamos estudando.
     Registre por escrito suas idias.



    Percebemos que a seqncia at aqui estudada possui uma regula-
ridade, ou seja, h uma constante na sua construo, cujos termos so
escritos em intervalos iguais. So os perodos que separam uma copa
do mundo da outra. Entretanto, nem todas as seqncias matemticas
so escritas segundo a regularidade observada, quem traz esse fato ao
nosso conhecimento  Leonardo de Pisa.
    Em 1202 Leonardo de Pisa chamado Fibonacci, um mercador italia-
no, viajou pelo oriente e obteve informaes sobre assuntos relaciona-
dos com Aritmtica e lgebra. No regresso escreveu a obra chamada
Liber Abaci, cujo significado  Livro dos bacos, ilustrada com muitos
problemas que representaram, para aquele momento, novidades no
conhecimento matemtico. Foi por meio deste livro que os europeus
conheceram os algarismos hindus, tambm denominados arbicos, fa-
to que, posteriormente, contribuiu para o desenvolvimento matemti-
co na Europa.
    O enunciado de um dos problemas que caracteriza a srie de Fibo-
nacci : "quantos casais de coelhos podem ser produzidos a partir de
um nico casal durante um ano se a) cada casal originar um novo ca-
sal em cada ms, o qual se torna frtil a partir do segundo ms; e b)
no ocorrerem mortes?" (STRUIK, 1997, p. 139). Esse problema, possivelmen-
te, foi inventado pelo prprio Fibonacci. Entendemos ser um proble-
ma bastante superficial, pois parte de uma situao, que dificilmente
acontece. Todavia, vale consider-lo para nosso estudo, uma vez que o
mesmo abriu caminhos para avanos no conhecimento matemtico.


                                                                             Qualoprximonmero      97
        EnsinoMdio

                                        Considera-se, tambm, que na natureza, em algumas espcies de
                                     seres vivos e em fenmenos fsicos, a regularidade dessa seqncia
                                     ocorre com preciso.

                                         Procurando entender
                                         Vamos resolver o problema elaborado por Fibonacci em 1202?  in-
                                     teressante resolv-lo de duas maneiras: uma  representada na figura 1
                                     e a outra  por meio do desenvolvimento da seqncia.


                                                                              1- Por meio de um desenho,
                                                                                  representado na figura 1,
                                                                                  podemos formular idias
                                                                                  sobre a reproduo de coe-
                                                                                  lhos.
                                                                              2- Tal situao problema re-
                                                                                  sulta numa seqncia nu-
                                                                                  mrica que representa o
                                                                                  nmero de coelhos que
                                                                                  nascem por meio de uma
                                                                                  seqncia numrica.




      Figura 1: Esquema represen-
      tativo da reproduo de coe-
      lhos segundo o problema de         Vamos partir do princpio que o tempo 0 (zero)  o momento que
      Fibonacci                      o primeiro casal se une, ou seja, 30 dias antes de nascer o primeiro ca-
                                     sal, momento que consideraremos o incio do segundo ms.
                                         Partindo deste clculo, no incio do 2 ms existiro dois pares de
                                     coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos recm-nascidos,
                                     ou seja, 2 pares: 1 par adulto + 1 par recm-nascidos. Se desenharmos
                                     uma seqncia matemtica, teremos:

                                        Ms        0         1         2        3        4        5
                                      Pares de     1          1         2         ...       ...        ...
                                      coelhos




98   Funes
                                                                                              Matemtica

   No incio do 3 ms, o casal adulto ter produzido mais um casal
enquanto o par jovem ter completado um ms de vida no tendo re-
produzido. Dessa forma, no incio do terceiro ms existiro trs pares
de coelhos. Assim: 3 pares = 1 adulto + 1 com um ms de idade + 1
recm nascido. A seqncia ganha mais um elemento, ficando da se-
guinte forma:

   Ms         0          1          2         3         4         5
 Pares de      1           1          2          3          ...         ...
 coelhos

    No incio de 4 ms, existiro dois pares adultos que j produziu
um novo casal e outro casal j completou um ms. Ento temos 5 pa-
res: 2 adultos + 1 com um ms + 2 recm-nascido. Temos a seguinte
seqncia:

   Ms         0          1          2         3         4         5
 Pares de      1           1          2          3           5          ...
 coelhos

   Investigando

   Observando a descrio das possibilidades de formao de pares
de coelhos no 2 , 3 e 4 meses, descreva as situaes possveis para
o 5 e 6 meses.


                  ATIVIDADE

     Agora  com voc
     a) Encontre a resposta do problema que Fibonacci elaborou em 1202, completando a seqncia:


     b) Diante da resposta do item a,  possvel perceber uma regularidade matemtica que ocorre a
        partir do terceiro termo da seqncia tendo em vista, sempre, os dois termos anteriores. Que re-
        gularidade  essa?

    Ser que esta seqncia de Fibonacci pode ser interpretada em outras
situaes que sejam naturais? A resposta  sim, sendo que na natureza 
possvel perceber a seqncia de Fibonacci na formao de alguns vege-
tais, como nos arranjos dos troncos de rvores e na formao de frutos.
    Em animais tambm  possvel estabelecer a relao da natureza
com a seqncia matemtica em estudo, percebendo, por exemplo, a
regularidade na formao espiral da concha do Nautilus marinho. Ob-
serve as figuras 2, 3 e 4 e note que as curvas desse molusco se desen-
volvem numa concordncia em espiral, que podemos transpor para
uma situao matemtica, formando uma seqncia de Fibonacci.

                                                                               Qualoprximonmero         99
      EnsinoMdio




              Fig. 2                               Fig. 3                                   Fig. 4



                    DEBATE

        Observe a seqncia das figuras 2, 3 e 4. Com colegas e professor, investigue e escreva sobre a
    regularidade matemtica que ocorre entre as curvas da casa do Nautilus marinho e as figuras quadran-
    gulares, at a seqncia formada na figura 4.




      Na Botnica, campo da Biologia que po-
   demos conceituar como estudo cientfico de
   plantas, fungos e algas que envolvem outras
   disciplinas cientficas, cujo objeto de estudo
   pauta-se em investigar sobre crescimento, re-
   produo, metabolismo, doenas e evoluo
   dos vegetais, encontramos desenvolvimento
   de galhos, folhas, flores, etc. que ocorre se-
   gundo a seqncia de Fibonacci.
      O crescimento dos galhos da planta Achllea
   ptarmica se d segundo certas caractersticas.


                                                                 Figura 5: Vegetal Achllea ptarmica



                    ATIVIDADE

       Observe a figura 5, constate e escreva, em forma de uma seqncia numrica, o nme-
    ro de galhos que so criados. Tome como referncia os galhos que se originam em cima
    dos segmentos de retas. Inicie sua observao partindo do primeiro segmento logo acima
    do vaso.


100 Funes
                                                                                             Matemtica



                    ATIVIDADE

    Procure figuras de vegetais em revistas, livros e internet, ou, caso possua uma cmara fotogrfica,
 poder tirar fotos. Prepare um painel com as figuras e, ou fotos e constate se, em algumas delas, h a
 presena da seqncia de Fibonacci.
     Sugere-se: copa do pinheiro, p de milho e flor do girassol.
     Que semelhana se percebe entre a seqncia formada pelo desenvolvimento dos galhos da Achl-
 lea ptarmica e a seqncia formada pela reproduo dos coelhos e o desenvolvimento das curvas da
 concha do Nautilus marinho?



                                                          No caso do abacaxi - figura 6 -, fruta ori-
                                                      ginria da Amrica Central e Mxico, rica em
                                                      vitamina C e sais minerais como clcio, ferro
                                                      e fsforo, cujo nome cientfico  Ananas co-
                                                      mosus pertencente  famlia Bromeliaceae, a
                                                      planta adulta  constituda por razes fascicu-
                                                      lares superficiais e um talo (caule) em forma
                                                      de clava curta. Possui folhas (brctea) longas
                                                      e duras em forma de calhas inseridas no talo,
                                                      formando uma densa espiral que, partindo da
                                                      base, formam uma roseta. O abacaxi  um fru-
                                                      to composto, resultado do fenmeno da inflo-
                                                      rescncia da qual origina-se de 100 a 200 fru-
    Figura 6  Vegetal Ananas Comosus
                                                      tos simples ("gomos").



   Cada "gomo" lembra a forma aproximada de um hexgono e participa de trs espirais que
se cruzam. As espirais formam um ngulo de inclinao com o eixo do abacaxi e, de acordo
com esse ngulo formado com o eixo, as disposies dos gomos, visveis na casca, formam
uma seqncia de Fibonacci.




                    ATIVIDADE

     Em grupo, traga para sala de aula alguns abacaxis e procure constatar a presena da seqncia de
 Fibonacci na disposio dos frutilhos ("gomos").




                                                                              Qualoprximonmero 101
      EnsinoMdio

                                 Os nmeros de Fibonacci aparecem em situaes presenciadas na
                             ptica, contedo estudado na disciplina de Fsica. Quando um raio de
                             luz incide numa superfcie que separa dois meios, pode ocorrer, o fe-
                             nmeno da reflexo da luz. A figura 7 representa o comportamento de
                             um raio de luz que, ao incidir numa superfcie plana segundo um n-
                             gulo entre a normal e a superfcie, pode ser refletido pela superfcie
                             ao meio incidente. O ngulo refletido pela superfcie  igual ao ngu-
                             lo incidente.




                                                                    Figura 7 - Representao da reflexo de raio de luz


                                Uma situao que se obtm resultados interessantes  o nmero de
                             caminhos possveis que um raio de luz, ao bater numa superfcie em
                             duas placas de vidros postas uma sobre a outra com ndices de refra-
                             o diferentes, produz reflexo.


                    ATIVIDADE

        possvel contar o nmero de caminhos permitidos que um raio de luz percorre diante das possibili-
    dades de ocorrncia de reflexes. No exemplo abaixo, o desenho representa duas placas de vidro uma
    sobre a outra. Um raio de luz incide sobre essas placas e produz reflexes.
        Lembre-se de que a reflexo ocorre quando o raio bate numa superfcie e retorna segundo um n-
    gulo que se forma. Nas ilustraes abaixo, o nmero de reflexes  representado pela trajetria que vai
    de uma letra a outra. O desafio  contar quantos so os nmeros de caminhos possveis.




                                                 Neste caso, quantas so as reflexes?



                                                                   Nesta situao:
                                                                   a) Quantas so as reflexes?
                                                                   b) Quantos so os caminhos poss-
                                                                      veis de produo de reflexo?

102 Funes
                                                                                          Matemtica


                                                Nesse exemplo, quantos so:
                                                a) Os nmeros de reflexes?
                                                b) Os caminhos que ocorrem reflexo?




 No desenho acima:
 a) Quantos so os caminhos possveis de produo de reflexo?.
 b) Qual  o nmero de reflexes?




               ATIVIDADE

   Escreva a seqncia obtida por meio das respostas de cada item b dos exemplos anteriores.
   Compare esta seqncia com a que representa a reproduo de coelhos, a formao dos galhos
da Achllea ptarmica, a concordncia das curvas da concha do Nautilus marinho e a disposio dos go-
mos do abacaxi.
   So iguais? ( ) SIM ( ) NO. Justifique.




               ATIVIDADE

    Ao apontarmos para uma concluso desse nosso estudo, vamos, juntamente com colegas e pro-
fessor, buscar uma sistematizao atravs de um modelo formal que seja vlido.
    Partiremos de um exemplo que representa uma seqncia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 233, 377, ... . Mostre, matematicamente, que a expresso que d o nmero de
Fibonacci de ordem n, nessa e nas outras seqncias de Fibonacci abordadas nessa produo, :
F(n) = F (n  1) + F (n  2).




                                                                            Qualoprximonmero 103
      EnsinoMdio

                     RefernciasBibliogrficas
                     STRUIK, D. J. Histria concisa das Matemticas. Traduo: GUERREIRO,
                               .
                     J. C. S. 3a ed. Lisboa: Gradiva, 1997.


                     ObrasConsultadas
                     ALENCAR, M. E. G. O nmero phi e a seqncia de Fibonacci. Fsica na
                     escola, v. 5, no 2, 2004.
                                    ..
                     RAVEN, P. H.; EVERT, R. F.; CURTIS, H. Biologia vegetal. Rio de Janeiro:
                     Guanabara Koogan, 1996.
                     RUPPERT, E. E.; BARNES, R. D. Zoologia dos Invertebrados. So Paulo:
                     Roca, 1996.
                     OLIVEIRA, E. C. Introduo  biologia vegetal. So Paulo: Edusp,
                     1996.


                     DocumentosConsultadosONLINE
                     SODR, U.; TOFFOLI, S. F. L. Retngulo ureo e o nautilus. Disponvel
                     em: < http://pessoal.sercomtel.com.br>. Acesso em: 14 mar. 2006.
                     SODR, U.; TOFFOLI, S. F. L. Ramos de troncos em rvores. Disponvel
                     em: < http://pessoal.sercomtel.com.br>. Acesso em: 18 jan. 2006.
                     SODR, U.; TOFFOLI, S. F. L. . Nmeros de Fibonacci: Problema dos pares
                     de coelhos (paria coniculorum). Disponvel em: < http://pessoal.sercomtel.
                     com.br>. Acesso em: 21 jan. 2006.




104 Funes
                       Matemtica



ANOTAES




            Qualoprximonmero 105
      EnsinoMdio




106 Funes
                                                                                            Matemtica




                                                                                        8
                                                          A REDE E O SER
                                                                            Donizete Gonalves da Cruz 1



                                                                     oc j recebeu alguma pro-
                                                                    posta para trabalhar em casa
                                                                 ganhando muito dinheiro? J leu
                                                              em outdoors frase do tipo ganhe
                                                           dinheiro fcil? J recebeu convite para
                                                        participar de algum negcio em rede com
                                                        a promessa de ter o dinheiro investido
                                                        em pouco tempo e em maior quantidade?
                                                         possvel algum ganhar dinheiro dessa
                                                        maneira? Conhece algum que ganhou
                                                        dinheiro com este tipo de negcio?

                                                        Enfim.....
                                                        Negcio em rede  um grande negcio?
                                                        Se , para quem?




1
 Colgio Estadual Santa Cndida - EFM - Curitiba - PR


                                                                                       ARedeeoSer 107
      EnsinoMdio

                        A matemtica  uma cincia fantstica que resolve problemas e des-
                    mente a falcia de espertalhes que tentam ganhar dinheiro fcil. Um
                    exemplo  o fato de pessoas que detm conhecimentos matemticos e,
                    por meio de clculos e discusses, esclarecem outras pessoas e contri-
                    bui para informar sobre mecanismos de funcionamento de, por exem-
                    plo, redes de negcios.
                        Pense na oportunidade de ganhar dinheiro comprando um ttulo de
                    um comrcio que funciona baseado numa proposta de Marketing de
                    Rede. Hoje  um negcio que est no nosso meio e pode ser que vo-
                    c tenha recebido propostas de entrar nesse meio de ganhar dinheiro.
                    Para muitos,  tentador. Um meio para divulgar informaes  a Inter-
                    net. No dia 24/11/05, ao digitar no Google o termo Marketing de Rede,
                    constatei que existem, aproximadamente, 1 580 000 pginas em portu-
                    gus que tratam desse assunto.
                        O marketing de rede  uma forma de vender produtos e servios
                    diretamente aos consumidores sem intermedirios, dispensando cam-
                    panhas publicitrias. O mtodo  montar uma estrutura disposta em
                    camadas de distribuidores independentes que, alm de vender, distri-
                    buem os produtos a outras camadas de pessoas, sendo que, cada pes-
                    soa que adquire um destes ttulos, tem como meta conquistar mais
                    pessoas, normalmente um nmero mnimo exigido, para entrarem no
                    negcio. Assim, cria-se uma organizao de vendedores independen-
                    tes com o sonho de multiplicar seus ganhos salariais, uma vez que,
                    sempre que ocorrem vendas, h pessoas ganhando comisses e, quan-
                    to mais voc vender, mais ganha comisso, ou seja, dinheiro.
                        Segundo o socilogo Castells (1999), esses arranjos aparecem, de-
                    saparecem e reaparecem de acordo com as variaes do mercado.
                    Muitas vezes, em pocas diferentes, a mesma pessoa  empresrio e
                    trabalhador assalariado. O que determina se ser empresrio ou em-
                    pregado so as circunstncias do ciclo de negcios e amplitude da re-
                    de de relaes estabelecidas por essa pessoa, ou seja, quanto maior a
                    rede de relaes sociais ou de pessoas inseridas na rede, maior a pro-
                    babilidade de vendas e negcios a serem realizados.
                        No se sabe ao certo como empresas que oferecem vendas em re-
                    des obtm alvars para mercantilizar seus produtos. Entretanto, para
                    que as pessoas decidam entrar numa dessas organizaes de vendas,
                    normalmente, exigem que assine um contrato e assumam o compro-
                    misso de levar o negcio adiante para que o funcionamento em rede e
                    a lucratividade no sejam prejudicados. H muitas promessas para os
                    iniciantes no negcio que apontam vantagens que, imediatamente, po-
                    dem no ser to perceptveis e at pouco lucrativas, mas se houver de-
                    dicao nas vendas e um trabalho rduo e esforo pessoal persistente,
                    resultados significativos aparecero e, num futuro prximo, estar re-
                    cebendo grandes quantidades de dinheiro.



108 Funes
                                                                            Matemtica

  Vamosentendercomofuncionaessenegcio?
    A idia  a seguinte: voc decide montar um negcio em rede, en-
to, de incio, convence trs pessoas a comprar um produto de sua
empresa. Cada uma dessas pessoas, num perodo de tempo determi-
nado, deve vender trs desses produtos. Cada pessoa que comprou do
seu comprador deve, no mesmo perodo de tempo, vender trs produ-
tos. E assim, sucessivamente.
    Como se ganha dinheiro com esse negcio?
    Parte-se da hiptese que trs pessoas compram o produto que vo-
c vende, sendo que voc, pelos trs produtos, recebe R$ 300,00. A co-
misso que cada vendedor recebe  de 10% sobre o valor da venda. O
proprietrio do produto, evidentemente, recebe, tambm, o ganho re-
al do produto.
    Tomemos que a meta a ser cumprida  conseguir vender, pelo me-
nos, para uma pessoa no perodo de um ms.
    Um esquema poder ajud-lo na continuidade da leitura e contri-
buir para uma melhor compreenso.




                         Esquema de venda da empresa X


    O esquema anterior expressa a idia da venda em rede, em que o
vendedor 1 vende para o 2, 3 e 4. O vendedor 2 vende para o 5, 6 e7.
O vendedor 3 distribui para o 8, 9 e 10 e a pessoa 4, que compra do 1,
fornece para o 11, 12 e 13. Assim, segue a venda sucessivamente, sen-
do que o 5 vai vender para mais trs, o mesmo acontecendo com o 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13.




                                                                         ARedeeoSer 109
      EnsinoMdio



                    ATIVIDADE

       Desafio 1
       De acordo com as normas da empresa X, cada pessoa que vende produtos recebe uma porcen-
    tagem de 10% sobre o que vendeu. Procure descobrir quanto cada pessoa representada no esquema
    receber pela venda.


                              Note que a venda dos produtos da empresa X pode ser representado
                           por uma seqncia numrica: (1, 3, 9, ...). Neste tipo de negcio, exis-
                           tem metas a serem seguidas, isto , cada pessoa que aderir ao negcio,
                           obrigatoriamente, a cada ms, vai vender para mais trs pessoas.
                              Sendo assim, uma seqncia numrica que, potencialmente, repre-
                           senta a quantidade de pessoas que estaro envolvidas no negcio no
                           decorrer dos meses, pode ser expressa da seguinte maneira:
                              (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19 683, 59 049, ...).
                              A seqncia acima expressa o que poder ocorrer, ms a ms at
                           o dcimo primeiro ms, caso as pessoas cumpram a meta de, a cada
                           ms, conseguir incluir trs pessoas na organizao da empresa.
                              Na seqncia acima, o nmero 1 representa o primeiro ms; o 3, o
                           segundo ms, o 9, terceiro ms; e assim sucessivamente.




                    ATIVIDADE

       Desafio 2
        Complete a seqncia at o vigsimo ms e responda as questes que seguem. Para fazer esses
    clculos pode usar a calculadora.
    a) A empresa contar com quantas pessoas no 15o ms? E no vigsimo ms?
    b) Qual o total de pessoas que entraram na organizao desta empresa at o vigsimo ms?




                              Diante do resultado encontrado no item b do desafio 2, podemos
                           formular algumas idias a respeito de entrar ou no entrar numa orga-
                           nizao em rede, cujo propsito  a venda de produtos e servios.




110 Funes
                                                                                           Matemtica



               ATIVIDADE

    Pelos clculos desenvolvidos no desafio 1, escreva sobre as possibilidades de ganho das pessoas.



    Sem dvida  um conceito de negcio que se presencia no mercado
e com foras que parecem invencveis. O exemplo citado  para caso
voc monte sua empresa e convena pessoas a comprar seu produto.
Entretanto, sabemos que a discusso  mais ampla e temos, com
este conceito de empresa, a formao de poderosos monoplios que
aglutinam colossais parcelas do mercado, cujo objetivo se caracteriza
por produzir e comercializar bens e servios. Conforme Castells (1999)
o conceito de monoplio se aplica aos meios de sobrevivncia de
pequenas e mdias empresas que, muitas vezes, ficam sob o controle
de sistemas de subcontratao ou sob o domnio de empresas de
grande porte que detm recursos financeiros e tecnolgicos. Aponta
o autor que, freqentemente, pequenas empresas tomam iniciativa
de estabelecer relaes em rede com empresas grandes, mdias
e at menores, pois procuram encontrar nichos de mercado e
empreendimentos cooperativos.
     So organizaes que detm o domnio de setores de produo da
economia no s de pases, como tambm, de continentes. So redes
que se formam e se orgulham de dizer que possuem o maior portflio
de produtos de algum segmento da economia. Castells (1999) escreve
que essa forma de praticar negcios remodela a base material da so-
ciedade num ritmo rpido (segmentos de alimentos, automobilsticos,
informtica, materiais esportivos e outros).
    Normalmente so mega redes internacionais que incorporam gran-
des volumes de capital, sufocam o mercado nacional, exploram a for-
a produtiva, suprimem fontes de trabalho pela otimizao dos meios
de produo, sobrando, para muitos, a oportunidade de entrar, nessas
e em outras redes, e tentar sobreviver das comisses, ou seja, das mi-
galhas do capital transnacionalizado.
    Nos parece que este tipo de negcio cria outra linguagem. Enquan-
to, na nossa cultura, falamos em conta corrente e poupana, esses se-
tores, em se tratando de economia, proporcionam descrever uma re-
alidade diferente e distante da grande maioria da populao.  muito
comum, no meio deles e na mdia, retratar os investimentos em aes
negociadas nas bolsas de valores, tais como a de So Paulo  Bovespa
- e Nova York  NYSE.




                                                                                       ARedeeoSer 111
      EnsinoMdio

                        Este conceito de empresa se fundamenta no discurso que junes
                    de empresas representantes de um certo segmento da economia traz
                    posio de liderana e isto  fundamental para os produtos serem com-
                    petitivos com outros produzidos por outras redes gigantes do setor.
                        Se orgulham em falar que a fuso garante liderana e participao
                    crescente no mercado, pois investem em tecnologias, de forma que
                    produtos e servios sejam executados e ofertados com qualidade.
                        Ainda falam que este conceito de empresa proporciona divisas pa-
                    ra o pas onde se encontram instaladas, uma vez que tais organizaes
                    possuem foras capazes de ultrapassar as fronteiras do pas e difundir
                    as principais marcas nacionais em todas as partes do mundo.
                        Aqui escrevo uma passagem de Forrester (1997, p. 30). Servir para le-
                    vantarmos uma boa discusso.

                          Essas redes econmicas privadas, transnacionais, dominam ento cada vez
                          mais os poderes estatais; muito longe de ser controladas por eles, so eles que
                          controlam e formam, em suma, uma espcie de nao que, fora de qualquer
                          territrio, de qualquer instituio governamental, comanda cada vez mais as
                          instituies dos diversos pases, suas polticas, geralmente por meio de organi-
                          zaes considerveis como o banco mundial, o FMI ou a OCDE.


                        No nos restam dvidas que seus princpios e metodologia acu-
                    mulam capital em progresso que, s vezes, fogem de nossa realida-
                    de de leitura. Seus lucros ultrapassam a casa dos milhes, chegando a
                    bilhes e, na maioria dos casos, avaliados em dlares. Outra situao
                    passvel de debate, ou seja, a moeda do pas nacional se torna supr-
                    flua nas transaes comerciais.  a supresso dos bens culturais de um
                    pas   a soberania nacional em cheque.
                        Sobre as economias mundializadas, salienta Forrester (1997, p. 27).
                          Eles governam a economia mundializada por cima de todas as fronteiras e
                          todos os governos. Os pases, para eles, fazem o papel de municipalidades.
                          (...) Para obter a faculdade de viver, para ter os meios para isso,  preciso
                          responder s necessidades das redes que regem o planeta, as redes de mer-
                          cado. (...) A vida, portanto no  mais `legtima', mas tolerada.


                       Dependendo da forma de uso do capital ocorre a degradao e
                    anulao do ser humano.
                          Quando jovem, uma energia que  imediata e incessantemente desprezada,
                          castrada; quando velho, uma fadiga que no encontra lugar de repouso, o m-
                          nimo bem estar, nem a menor considerao. (...) Cada um  prisioneiro do cor-
                          po a alimentar, abrigar, cuidar, fazer existir e que incomoda dolorosamente.
                          (...) E no h pior horror que o fim de si prprio quando ocorre bem antes da
                          morte e se deve arrastar enquanto vivo (FORRESTER, 1997, p. 36-37).




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                                                                                          Matemtica



                DEBATE

     Dizem que as empresas que funcionam em rede produzem produtos com preos competitivos.
 Estes produtos esto ao alcance da populao? E os lucros gerados por estas empresas, de que
 forma cooperam com a sociedade?



    Para ilustrar ainda mais nosso estudo que aborda progresses, po-
demos trabalhar com um campo do conhecimento que h muito nos
chama a ateno. Afinal, quem no gosta de msica? Nos pargra-
fos anteriores, partindo da pergunta Enfim.....Negcio em rede  um
grande negcio? Se , para quem?, levantamos uma discusso interes-
santssima que pode contribuir significativamente para formao de
opinies.
    Tal como a discusso levantada  interessante, a msica tambm
exerce um papel importantssimo na formao de opinies e na edu-
cao de uma sociedade. Normalmente, as lutas que objetivam minimi-
zar problemas de ordem social, encontram sentido em alguma msica
e a adota como bandeira de luta. Foi assim que muitos jovens do nosso
pas ganharam as ruas, lutando contra, por exemplo, o regime militar.
    Algum se lembra da msica Para no dizer que no falei das flores,
de Geraldo Vandr? Converse com colegas e professor e procure des-
cobrir o que esta msica representou para a juventude que viveu aque-
le momento.




                ATIVIDADE

    Oua a msica Para no dizer que no falei das flores.  uma msica que faz parte da histria do
 nosso pas.
    Que questionamentos ela trouxe para sociedade brasileira da poca e o que aconteceu com
 Geraldo Vandr?




    A msica se expressa por meio de vrias significaes na nossa vi-
da. Sem dvida,  uma manifestao interessante e criativa do espri-
to inventivo humano. H diferenas entre tipos de msicas, tais como,




                                                                                      ARedeeoSer 113
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                    a msica de uma orquestra sinfnica, de um grupo de rock e de um
                    grupo que canta msica popular brasileira  MPB. No entanto, todas
                    possuem a mesma base, ou seja, so formadas pela seqncia d, r,
                    m, f, sol, l, s, d, que se fazem e se expressam por meio de rela-
                    es matemticas.

                         Para pensar:
                        Mas o que tem haver o nosso tema de estudo com a msica de Geraldo
                     Vandr e com outras tantas msicas?
                         J ouviu falar de escalas musicais?
                         J pensou como  elaborada a melodia de uma msica?



                        Quando ouvimos uma msica, quer seja num CD ou no rdio, 
                    bem possvel que no paramos para pensar no processo que levou 
                    sua produo. Ou seja, algum escreveu a letra. Possivelmente outro
                    profissional a leu e procurou dar a primeira cara, isto , pensou no
                    ritmo, na melodia e na harmonia.  bem provvel que outro profissio-
                    nal pensou nos acordes e na formao dos acordes que se encaixa na-
                    quela letra.  provvel, ainda, que a qualidade do som envolveu outro
                    profissional. Enfim, nota-se que at ouvirmos uma msica h um tra-
                    balho que requer tempo e dedicao de vrios profissionais.
                        A msica, como toda obra de arte,  constituda pela realidade so-
                    cial, representa parte dela, transcendendo-a. Como obra de arte, tam-
                    bm, se constitui numa nova realidade que se insere na sociedade por
                    se configurar como expresso da atividade humana, produto do ima-
                    ginrio das pessoas, decorrentes de suas experincias vividas. Incor-
                    pora elementos da realidade, assumindo, dessa forma, um carter de
                    produto social (KOSIK, 2002).
                        Ao ouvirmos uma msica, a percepo que nossos ouvidos tm
                    do som depende do nmero de vibraes por segundo. Isto significa
                    que a nota  diferenciada pelo nmero de vibraes da corda ou ou-
                    tro instrumento sonoro, recebendo o nome de Freqncia. Ento, po-
                    de-se dizer que a escala musical corresponde ao conjunto de Freqn-
                    cias que caracteriza as vrias notas musicais. So as vibraes de uma
                    corda de violo, por exemplo, que produzem uma Freqncia que se
                    manifesta numa relao matemtica em progresso, definindo assim, o
                    som que vamos ouvir.




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                                                                                                          Matemtica

    Para uma boa qualidade do som, h necessidade que o instrumento
musical esteja bem preparado. Nos instrumentos de cordas, por exem-
plo, h necessidade das cordas estarem bem afinadas para produzirem
tima Freqncia sonora. O padro de esticamento  medido pela uni-
dade Hertz, que so pulsos de Freqncia sonora. A unidade Hertz (Hz)
determina o comprimento da onda sonora e envolve a Freqncia do
som. A audio normal  aquela que se situa entre 250 a 4 000 Hertz.
    Na msica, a nota l  utilizada como referncia e a Freqncia
produzida  equivalente a 440 Hz. Desse modo, estabelece-se a Freq-
ncia das outras notas musicais.
    Entendendo melhor:
    Vamos utilizar o exemplo da escala d. Ela inicia em d e termina
em d. Assim: d, r, mi, f, sol, l, si, d, configura-se numa oitava.
    Pelo motivo da repetio, uma nota de uma determinada escala 
chamada de oitava da mesma nota na escala anterior.
    A maioria das msicas ouvidas no ocidente, a escala musical  a
temperada ou cromtica e pode ser definida como uma seqncia ma-
temtica, cujo primeiro termo  a Freqncia da nota escolhida, ou se-
ja, nmero de oscilaes por segundo. Os msicos dividiram as oitavas
em doze intervalos. Em uma oitava, aps 12 intervalos, a Freqncia
dobra. Como dobra?
    Para entender melhor a informao acima:                                               Johann         Sebastian
    Na escala os intervalos so iguais. A nota posterior  obtida pela                     Bach comps a msica
multiplicao do nmero da nota anterior at que resulte igual a dois.                     O Cravo Bem Tempera-
Sabemos que os msicos dividiram as notas em 12 intervalos. Ento                          do no perodo de 1722 a
podemos escrever:                                                                          1744, utilizando o siste-
                                                                                           ma proposto por Mersen-
    i = intervalo
                                                                                           ne (1635) de afinamento
    i12 = 2   2 porque, em cada oitava, aps 12 intervalos, a Freqn-                     suave. Este sistema deno-
cia dobra.                                                                                 mina-se escala tempera-
    Ento perguntamos: qual o nmero que elevado a 12  igual a                            da composta por 12 in-
dois. Aplicando a operao inversa da potenciao  a radiciao, te-                      tervalos (ABDOUNUR,
           12
mos: i = 2 . Tambm podemos escrever assim: i = 21/12.                                     1999).
    Observe o quadro a seguir:

Quadro 1
                                                                                                          d escala
   Nota      d   d#      r     r#     mi       f     f#     sol     sol#     l      l#     si
                                                                                                           acima

Temperado     1   21/12   22/12   23/12   24/12   25/12   26/12   27/12   28/12   29/12   211/12 211/12     212/12

Freqncia 262    277     294     311     330     349     370     392     415     440     466     494        523




                                                                                                   ARedeeoSer 115
      EnsinoMdio



                      ATIVIDADE

       Em grupo, complete a coluna C e D. Pode fazer a diviso com a calculadora.
        Divida 1,0595 por 1,0000 e complete a clula de encontro da coluna C com a linha d; 1,1225 por
    1,0595 e complete a segunda clula da coluna C com a linha d#. Divida 277 por 262 e complete a
    clula de encontro da coluna D com a linha d. Continue a diviso do termo posterior pelo anterior at
    completar todas as clulas em branco.
       Considere, na coluna C, sempre, 4 casas decimais aps a vrgula. Na coluna D, sempre, duas ca-
    sas aps a vrgula. Fique atento que na coluna D requisita-se conceitos matemticos para arredonda-
    mento.
       Quadro 2

               Nota             Temperado               C             Freqncia               D
                 d                1,0000                                 262
                d#                1,0595                                 277
                 r                1,1225                                 294
                r#                1,1892                                 311
                 mi                1,2599                                 330
                 f                1,3348                                 349
                f#                1,4142                                 370
                sol                1,4983                                 392
                sol#               1,5874                                 415
                 l                1,6818                                 440
                l#                1,7818                                 466
                 si                1,8877                                 494
         d escala acima           2,0000                                 523




                      PESQUISA

       Agora responda:
    a) Na matemtica, o nmero encontrado na coluna C e na coluna D recebe uma denominao for-
       mal.
       Investigue nos livros de Matemtica qual  esta denominao.

      Pesquise sobre a funo sobre a funo que as progresses exercem na percepo que temos de
    uma msica.


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                                                                                             Matemtica

   Lembramos que tanto na seqncia do negcio em rede como nas
seqncias formadas pela vibrao das cordas de um violo, por exem-
plo, para responder as questes que aparecem nessa produo, pode-
mos atribuir outro tipo de tratamento matemtico.
    Vamos nos ater  seqncia do negcio em rede, (1, 3, 9, 27, 81,
243, 729, 2 187, 6 561, 19 683, 59 049...). Nela, o nmero 1 pode ser
chamado de a1, o nmero 3 de a2, o nmero 9 de a3, e assim sucessi-
vamente.




                 ATIVIDADE

      Ento, outras questes podem ser elaboradas. Antes de usarmos a notao que acabamos de ado-
 tar, vamos encontrar respostas para as questes que seguem:
    a) Na seqncia (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19 683, 59 049, ...), para encontrarmos
       o termo posterior h uma operao matemtica. Que operao  essa?
    b) Tambm  possvel perceber que partindo do 1 para chegarmos ao 3 e do trs para chegarmos
       ao 9, a operao que se realiza envolve um nmero. Que nmero  esse?
    c) J chamamos 1 de a1, a2 = 3, a3 = 9, a 4= 27 e a5 = 81. Agora faa alguns clculos:
        c1) a2  a1=;          a3  a2 =;             a4  a3 =;             a5  a4 =.
              a2                a3                    a4                     a5
        c2)      =;                =;                    =;                     =.
              a1                a2                    a3                     a4
    d) Qual a diferena encontrada nos clculos realizados entre c1 e c2? Expresse sua idia sobre a
       diferena constatada.




                 ATIVIDADE

    Agora que voc conhece os termos a1, a2, a3, a4 e os demais, discuta com seus colegas e pro-
 fessor como encontrar a resposta para a questo que procura o a15 e a soma de todos os termos
 desta seqncia, sem a necessidade de escrev-la por inteiro.
    Para alimentar essa discusso, vale algumas dicas:
    1) a2 = 1 . 3 = 3. Isto  o mesmo que a2 = 1 . 31?
    2) a3 = 1 . 3 . 3 = 9. Posso escrever a3 = 1 . 32?
    3) a6 = 1 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243.
    Posso escrever a6 = 1 . 35 ?


                                                                                          ARedeeoSer 117
      EnsinoMdio

       Como estamos denominando o nmero 1?
       Qual a relao que existe entre a6, a1 e o expoente 5?
       Pode ser a6 = 3 . 34?, ou seja, a6 = a2 . 34?
       Neste caso, qual a denominao do nmero 3?
       Qual a relao que existe entre a6, a2 e o expoente 4?
       E se for a6 = 9 . 33?  possvel?
       Neste caso, como denominamos o nmero 9?
       Qual a relao que existe entre a6, a3 e o expoente 3?
        possvel a6 = 27 . 32?
       Como denominamos o 27?
       Qual a relao que existe entre a6, a4 e o expoente 2?


       Com seus colegas, busque respostas para as questes abaixo:
       Esta produo tratou de progresses. Na matemtica temos progresso aritmtica e geomtrica.
       Esta produo tratou de:
       a) Uma progresso aritmtica? ( ) Sim ( ) No. Explique sua resposta.
       b) Uma progresso geomtrica? ( ) Sim ( ) No. Explique sua resposta.
       c) O que tem de geometria numa progresso geomtrica?




                    ATIVIDADE

       Investigue quais so as possveis maneiras de encontrar os termos e a soma dos termos de uma
    seqncia deste tipo.




                    DEBATE

       Depois de ter lido e trabalhado o conceito de progresso, expresse sua opinio sobre entrar ou no
    em negcio que se fundamenta no conceito de marketing de rede.




118 Funes
                                                                                           Matemtica

 RefernciasBibliogrficas
 ABDOUNUR, O. J. Matemtica e Msica: o pensamento analgico na construo de significados.
 So Paulo: escrituras editora, 1999. 333 p.
 FORRESTER, V. O horror econmico. Traduo: LORENCINI, A. 7a ed. So Paulo: UNESP, 1997.
                                                            .
 CASTELLS, M. A sociedade em rede. Traduo: MAJER, R. V. 3a ed. So Paulo: Paz e Terra, 1999.
                                                           .
 KOSIK. K. Dialtica do Concreto. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1976.


 ObrasConsultadas
 MARX, K.; FRIEDRICH, E. Marx e Engels: textos sobre educao e ensino. Traduo: FRIAS, R.
 E. 4. ed. So Paulo: Centauro, 2004.
 LIMA, E. L. et al. A matemtica do ensino mdio. 5a ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
                                                   .
 Matemtica, 2004. v. 2.
 DUSSEL, E. tica comunitria: a libertao na histria. 2a ed. Petrpolis: Vozes, 1987.
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 CRUZ, D. G. O estudo da abordagem metodolgica no livro didtico matemtica fundamental
 das funes de 1o e 2o graus numa viso histrico-crtica. Cascavel, 1997. 116 f. Monografia
 (Especializao em Cincias Exatas). Setor de cincias exatas, Universidade Estadual do Oeste do
 Paran.
 MANOSSO, M. V. B. O ensino de progresses: conceituao, manipulao e aplicao no ensino
 mdio. Curitiba, 2002. 55 f. Monografia (Especializao em Matemtica). Departamento de Matemtica,
 Universidade Federal do Paran.
 PAULA, C. A. Como fazer a cobra subir: Projeto Folhas. Curitiba: Seed, 2005.




                                                                                      ARedeeoSer 119
      EnsinoMdio




120 Funes
                                                                                                     Matemtica




                                                                                                  9
                                                       VENHA NAVEGAR POR
                                                           OUTROS MARES!
                                                                                  Neusa Idick Scherpinski Mucelin1




                                                                           uitos livros registram que foi
                                                                           Pedro lvares Cabral quem
                                                                          "descobriu" o Brasil.
                                                                         O Brasil foi mesmo "descoberto"?
                                                                           Independente de nossa opi-
                                                                           nio a esse respeito, sabemos
                                                                 que Cabral esteve aqui, e que isso acon-
                                                                 teceu em 1500.
                                                                 Como ele conseguiu localizar o Brasil
                                                                 para tomar posse das nossas terras?
                                                                 Como, naquela poca, os navegadores se
                                                                 orientavam em mar aberto?




1
 Colgio Estadual Joo Manoel Mondrone - EFM - Medianeira - PR

                                                                              VenhaNavegarPorOutrosMares! 121
        EnsinoMdio

                                           O problema da orientao para a navegao est relacionado de
                                       modo muito forte com a necessidade de medir distncias de objetos
    A palavra cosmologia              inacessveis. Isso acontece porque as rotas das navegaes eram traa-
   composta de duas outras:            das em funo da orientao do navio em relao s estrelas que eram
   cosmos, que significa mundo         consideradas "fixas" e usadas como pontos de referncia.
   ordenado e organizado, e lo-
                                           Astrnomos gregos, mais de trezentos anos antes de Cristo, j ti-
   gia, que vem da palavra lo-
   gos, que significa pensamen-        nham a necessidade de medir distncias entre dois lugares, um deles
   to racional, discurso racional,     estando inacessvel. Por exemplo, a distncia da Terra at a Lua, ou a
   conhecimento. Assim, a Filo-        distncia de um lado at o outro lado de um rio bastante largo.
   sofia nasce como conheci-               Na Antigidade j existia a preocupao com o movimento dos
   mento racional da ordem do          astros. Segundo a Histria da Filosofia, so os gregos que, inicial-
   mundo ou da Natureza, don-          mente, tentam explicar o movimento dos astros. O modelo astron-
   de, cosmologia.                     mico de Aristteles (384-322 a.C.), que era o geocntrico, baseou-se
   Marilena Chaui, Convite  Filo-     na cosmologia de Eudoxo (400-347 a.C), um discpulo de Plato (428-
   sofia.                              347 a.C.). Os modelos propostos pelos gregos eram geocntricos e o
                                       nico que props um modelo heliocntrico foi o Aristarco de Samos
    Inquisio  um termo que          (310-230 a.C.).
   deriva do ato judicial de in-          No sculo XVI, Nicolau Coprnico (1473-1543) publicou uma obra
   quirir, que significa perguntar,   que propunha a teoria heliocntrica, esse perodo foi marcado pela
   averiguar e foi uma instituio     Inquisio e sua teoria teve pouca repercusso, posteriormente Ga-
   da Igreja Catlica para comba-      lileu (1564-1642) e Kepler (1571-1630) retomaram esses estudos de
   ter a heresia. Heresia  qual-      forma mais marcante na histria.
   quer doutrina contrria aos
                                           Eratstenes (276-196 a.C.) estimou a medida da circunferncia da
   dogmas da Igreja Catlica.
                                       Terra com uma boa aproximao para a medida que conhecemos ho-
   Fonte: http://pt.wikipedia.org/
                                       je (VILA, 1982).



                            PESQUISA

       Alis, voc qual  a medida da circunferncia da terra? Como ela  medida hoje? Procure pesquisar
    essa resposta e trazer para a sala de aula; devemos tentar descobrir quo prximo esteve Eratstenes
    do valor adotado hoje. Mas voc sabe quem foi Eratstenes?


                                           Espere um momento: acabamos de comentar que um grego calcu-
                                       lou a "circunferncia da Terra". Isso no quer dizer que eles achavam
                                       que a Terra era redonda? Mas como pode? Os marinheiros tinham me-
                                       do de acompanhar os grandes navegadores, Cristvo Colombo e Ca-
                                       bral, entre outros, porque acreditavam na idia que a terra era plana.
                                       Apesar dos gregos j possurem o conhecimento de que a terra era re-
                                       donda, h mais de 2000 anos, grande parte dos estudos sobre esse as-
                                       sunto, se perdeu aps desestruturao do imprio romano do ociden-
                                       te, no sculo VII. Nesse perodo, propagavam-se idias oriundas de
                                       interpretaes literais da bblia, onde a hiptese da esferecidade da ter-
                                       ra, era considerado um conhecimento pago.

122 Funes
                                                                                              Matemtica

    Alm da civilizao ocidental, outros povos, como os chineses, tam-
bm acreditavam que a terra era plana, passando a discutir o fato de
que a terra era redonda, somente a partir do sculo XVII. Sabemos ho-
je que a terra tem o formato esfrico, achatada nos plos, ou seja, tem
um formato geide.
    Estabelecer distncias muito grandes, como entre a terra e a lua e
o raio da terra, por exemplo, caracterizou-se um grande desafio para
muitos estudiosos ao longo da histria das civilizaes, pois tratam-se
de distncias entre pontos que no esto acessveis.
    A trigonometria, que relaciona as medidas dos ngulos de um tri-
ngulo com as medidas dos seus lados, trouxe importantes contribui-
es para que o homem pudesse resolver clculos envolvendo gran-
des distncias.
    No se sabe ao certo, a origem da trigonometria, mas pode-se di-
zer que seus conceitos fundamentais surgiram em funo da necessi-
dade de resolver problemas associados, principalmente,  Astronomia,            Curiosidade: Nos navios
aproximadamente no V a.C.                                                      era comum a presena de
    Na antiguidade, clculos envolvendo grandes distncias, como a             um matemtico para auxiliar
medida da terra a lua, por exemplo, era realizado por triangulao, uti-       nos clculos das rotas de na-
                                                                               vegao e na localizao em
lizando o dimetro da terra como linha base. Hoje, sabe-se que esse ti-
                                                                               alto mar.
po de clculo,  feito atravs de radar.
    No perodo que envolveu as grandes navegaes, como a chegada
dos portugueses ao Brasil, pode-se dizer que a trigonometria teve um
papel fundamental, fornecendo um suporte matemtico para que os
portugueses pudessem se lanar ao mar aberto.
    As questes ligadas  Astronomia eram de grande importncia na-
quela poca, pois a evoluo do comrcio entre povos distantes exi-
gia o domnio de tcnicas de navegao, e as rotas eram traadas ten-
do como referncia as estrelas.


                PESQUISA

     Voc sabe o que o termo trigonometria significa? Que tal fazer uma pesquisa e discutir com o seu
 professor?



     a partir das relaes entre as medidas dos ngulos e as medidas
dos lados de um tringulo que foi possvel realizar clculos de rotas,
com vistas a deslocamentos no nosso planeta. No mundo de hoje, es-
tas aplicaes podem ser percebidas em nosso cotidiano. Por exemplo,
quando um avio Boeing decola de Foz do Iguau com destino ao Ca-




                                                                     VenhaNavegarPorOutrosMares! 123
      EnsinoMdio

                           nad, so utilizados computadores para traar a rota, calcular o tempo,
                           a velocidade, as interferncias climticas, entre outras. No entanto, es-
                           tes computadores fazem os clculos atravs dos mesmos princpios tri-
                           gonomtricos, embora as novas tecnologias possibilitem clculos mais
                           precisos do que na poca das navegaes. Hoje so utilizados como
                           referncias o Sistema de Posio Global (GPS) e o sensoriamento re-
                           moto atravs de satlites, e no mais as estrelas.
                               Mas voc sabe o que  sensoriamento remoto e sistema de posi-
                           o global?
                               Vamos tentar desvendar alguns dos mistrios da trigonometria?

                                Suponha que voc  comandante de um navio em alto mar e que
                             o mesmo esteja navegando sempre no mesmo sentido (Norte); at
                             que, num determinado ponto, avista-se um farol em uma ilha.

                               Voc precisa saber qual  a distncia do seu navio at a ilha para
                           evitar colidir com arrecifes.
                               Como calcular esta distncia?
                               Voc pode, por exemplo, observar um ponto fixo na ilha. Que tal
                           o farol?
                               Atravs de um equipamento apropriado, voc descobre que o n-
                           gulo formado pela linha imaginria que une o navio ao farol com a di-
                           reo do navio (Norte)  60. O navio continua a navegar no mesmo
                           sentido, at que o ngulo formado pela sua trajetria em direo ao
                           Norte com a linha imaginria que o une ao farol seja igual a 90. Se at
                           este momento a distncia percorrida for de 20 km,  possvel determi-
                           nar a distncia entre o navio e o farol na ilha?



                    ATIVIDADE

       Observe a figura a seguir. Voc sabe como calcul-la? E se andasse mais 30 quilmetros?


                                                                        Norte




                                  Desenho: Patrcia Carla Mucelin




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                                                                                         Matemtica


     Um desenho pode contribuir para nossa leitura e compreenso. Ento observe o desenho anterior,
 ele pode ser adaptado de modo a simplificar a interpretao do problema:




    Quais so as relaes trigonomtricas vlidas para este tipo de tringulo?
    Tente fazer os clculos.



    Um dos mtodos utilizados para localizao e clculo de distncias
astronmicas  a paralaxe. A criao da noo de paralaxe  atribuda
a Apolnio (HOGBEN, 1970).
    Paralaxe  a mudana de posio aparente de um objeto em rela-
o a um segundo ponto de referncia mais distante, quando esse ob-
jeto  visto a partir de ngulos diferentes.
    Para voc entender de modo mais simples, vamos fazer uma expe-
rincia? Levante a ponta do polegar e, com um olho fechado, alinhe
a ponta do polegar entre o livro ou objetos sobre uma mesa. Agora,
sem mudar de posio, olhe para ponta do polegar fechando o olho
aberto e abrindo o outro olho. A ponta do polegar parecer estar nu-
ma posio diferente em relao ao segundo plano. O fundo, porm,
no parece sofrer esse "deslocamento". O aparente movimento varia
em funo da distncia entre a ponta do polegar e o olho. Quanto mais
prximo, mais a ponta do polegar parecer se mover. A metade do n-
gulo sob o qual  visto um objeto de dois pontos diferentes  chama-
da paralaxe desse objeto (SILVA, 2005).
    Veja a figura a seguir.




                                                                       VenhaNavegarPorOutrosMares! 125
      EnsinoMdio




                        Os astrnomos utilizam o mtodo de paralaxe para calcular a dis-
                    tncia da Terra a um astro. Mas como esses objetos esto muito distan-
                    tes,  necessrio escolher uma linha de base muito grande para mini-
                    mizar erros, como, por exemplo: para medir a distncia da Lua ou dos
                    planetas mais prximos, podemos utilizar o dimetro da Terra como li-
                    nha de base; e para medir a distncia de estrelas prximas, podemos
                    usar o dimetro da rbita da Terra.
                        Mas por que minimizar erros?

                        Observe na figura anterior que  medida que o ponto de base vai se
                    afastando, o ngulo fica cada vez menor. E, portanto, para distncias mui-
                    to grandes, este ngulo tende a ser muito pequeno e de difcil medio.
                        Como a paralaxe depende da altura do astro e da distncia  Terra,
                    sua aplicao s tem interesse prtico no caso de se observar o Sol ou
                    a Lua, Vnus ou Marte; para outros, muito mais afastados, o seu valor
                     desprezvel (BARROS, 2001).
                        Como  na prtica a aplicao deste mtodo?
                        Como calcular a distncia Terra-Lua?
                        Conhecidos o raio da Terra, podemos calcular a distncia entre dois
                    observadores situados em latitudes e longitudes dadas; basta, ento, a
                    determinao da paralaxe da Lua para obter a distncia entre a Terra
                    e a Lua (HOGBEN, 1952).
                        Na prtica, podemos nos basear na comparao de observaes da
                    Lua com uma estrela que esteja prxima a ela num determinado ins-
                    tante. Dois observadores em pontos extremos da Terra (A e B) vem a
                    Lua em posies diferentes em relao a estrela.




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                                                                                 Matemtica

   Veja a figura a seguir.




    O observador A v a Lua numa posio aparentemente diferente da
posio vista pelo observador B. Cada observador tem uma viso ligei-
ramente diferente do cu. Esta situao pode ser representada na figu-
ra a seguir, quando  projetada a posio da Lua com relao a estre-
la, vistas dos pontos extremos da terra (A e B).




                                                               VenhaNavegarPorOutrosMares! 127
      EnsinoMdio

                        Os dois observadores ao fotografarem a Lua nas suas posies, ob-
                    tero uma medida de ngulo p, que  o ngulo formado na estrela en-
                    tre o observador e a Terra. Ao compararem suas fotos com um bom
                    atlas celeste, podero obter a medida do ngulo 2p, conforme indica
                    a figura anterior.
                        Agora, utilizando as relaes trigonomtricas no tringulo retngu-
                    lo,  fcil ver que o seno de p (um valor conhecido) ser igual ao raio
                    da Terra (tambm conhecido) dividido pela distncia do centro da Ter-
                    ra at a Lua (a incgnita). Veja a figura:
                                                        L

                                                      pp




                                                            D



                                 A                                           B




                                                       C

                       Conforme a figura podemos observar que:
                       -o raio da terra AC  o cateto oposto a p
                       -AL ou BL  a distncia do observador A ou B at Lua
                       -CD = AC  o raio da terra
                       -CL  a distncia do centro da Terra at a Lua

                       Lembrando que

                                                    cateto oposto a p
                                 sen p =
                                                       hipotenusa
                           teremos:

                                 AC                             raio Terra
                       sen p =         ou sen p =
                                 CL                 distncia do centro da Terra a Lua



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                                                                                         Matemtica

                                     ou

                                  raio Terra
   Distncia da Terra a Lua =
                                    sen p

   Para calcularmos a distncia de um determinado ponto da Terra,
ortogonal  posio da Lua (ponto D), teremos que subtrair o segmen-
to CD, ou seja o raio da Terra.

              raio Terra
   Assim,                   - raio da terra
                sen p


                PESQUISA

    Realize uma pesquisa de como Hiparco (190-120 a.C.) calculou a distncia da Terra-Lua. Voc po-
 de utilizar o site http://www.zenite.nu.



   E que tal agora calcular o raio da terra? Vai ser moleza! A monta-
nha onde est o Cristo Redentor no Rio de Janeiro tem aproximada-
mente 703 m de altura (h) em relao ao nvel do mar (N). L de ci-
ma do Cristo Redentor, utilizando um teodolito (instrumento de medir
ngulos), um observador (C) v no horizonte o mar (H) segundo um
ngulo de 0,85 com o plano horizontal. Encontre uma medida apro-
ximada para o raio da terra (R), pesquise, nos livros de fsica ou geo-
grafia, qual  o raio da terra e compare com a medida encontrada por
voc (LIMA, 2005).
   Para comear, se voc fizer um desenho, ir ajudar a compreender
melhor este problema.




                                                                   VenhaNavegarPorOutrosMares! 129
      EnsinoMdio
                                                                                  ^
                              Como o tringulo OCH  retngulo (com CHO=90o), voc pode
                           calcular cos .
                                                                                 cateto adjacente a
                               Est bom! Vou lhe dar uma chance! cos         =                        ,
                                                                                       hipotenusa
                                               R
                           ou seja, cos   =
                                              R+h


                               Substitua por 0,85 e h por 0,703 km. Agora as contas so com voc!
                               Afinal, qual foi a medida que voc calculou? Ela  muito diferen-
                           te da medida do raio da terra utilizada hoje?



                    DEBATE

       Uma pessoa no interior de um barco, que navegava em guas calmas, sem olhar para fora, se
    perguntava: o navio est se movendo? Ou est em repouso? Como posso perceber o movimento
    do barco em relao ao nosso planeta?




                    PESQUISA

       Realize uma pesquisa sobre as leis de Kepler, descrevendo cada uma.


                               As leis de Johannes Kepler (1571-1630) no explicavam a razo das
                           trajetrias dos planetas; assim, Issac Newton (1642-1727) publicou, em
                           1687, os "Princpios Matemticos da Filosofia Natural", que abordavam
                           as bases da Fsica Clssica, com a lei de atrao gravitacional que ex-
                           plicava os movimentos dos planetas em torno do Sol.


                              Quetaldescobrirumpoucomaissobrea
                              cinciaportrsdosdescobrimentos?
                               No sculo XIV, com a expanso da navegao ocenica, as frontei-
                           ras do mundo moderno se alargaram. A superioridade tecnolgica eu-
                           ropia favoreceu a conquista de outras terras e o contato com outros
                           povos. Com isto, a integrao de culturas se fez a ferro e fogo, sempre
                           a merc do dominador.
                               O aperfeioamento dos barcos, a incorporao da trigonometria
                           para o planejamento das rotas em mar aberto e o uso de mapas mais

130 Funes
                                                                                             Matemtica

precisos possibilitaram a Portugal o desenvolvimento da navegao. Rompendo com as con-
venes medievais, as exploraes e as observaes do mundo real levaram a cartografia por-
tuguesa a destacar-se dentro da Europa. A superioridade da tcnica portuguesa deu-se devido
ao incentivo ao estudo da matemtica e filosofia natural nas universidades. Portanto, o suces-
so obtido por Portugal foi conseqncia direta do esforo, do aperfeioamento de tcnicas de
construo naval, do desenvolvimento da trigonometria para o avano na orientao astron-
mica e do mapeamento cartogrfico (MELO, 2000).
    A interrupo progressiva do investimento nas reas do conhecimento e a progressiva as-
fixia da liberdade de investigao e do esprito do livre debate foram as causas da eliminao
das vantagens que eram asseguradas pela tecnologia portuguesa, e que acabou por levar ao
declnio deste perodo de expanso do reino portugus. Aliado a isto, a inquisio tambm in-
terferiu no desenvolvimento cientfico e tecnolgico daquela poca, visto que a Igreja perse-
guia os estudiosos e, se necessrio, queimava os escritos na fogueira.
    At agora vimos vrias aplicaes sobre trigonometria, como a localizao em alto mar e as
distncias astronmicas, mas muitas vezes, quando tratamos de situaes prticas, nem sem-
pre encontramos tringulos retngulos. Como, por exemplo, no problema de localizao em
alto mar.

   Voc sabia que as leis do seno e cosseno so aplicadas quando conhecemos trs ele-
 mentos de um tringulo qualquer, sendo pelo menos um dos elementos o lado?



                ATIVIDADE

     Suponha que o navio que voc comanda, desde o ponto inicial na posio conforme mostra o de-
 senho, em direo ao norte, percorra 10 quilmetros. O navio avista no ponto inicial e no final dos 10
 quilmetros, a torre do farol em uma ilha, sob um mesmo ngulo de 75. Estes ngulos de 75 consti-
 tuem os ngulos internos de um tringulo. O desenho mostra a situao descrita. A que distncia o seu
 navio est do farol aps percorrer os 10 quilmetros?


                                                                                Norte




                      Desenho: Patrcia Carla Mucelin




                                                                      VenhaNavegarPorOutrosMares! 131
      EnsinoMdio


       Desenhe um tringulo para representar a situao acima ilustrada.
       Que tipo de tringulo voc obtm?
       Quais so as relaes trigonomtricas vlidas para este problema?
         Ento, a que distncia o navio est do farol? Calcule usando uma das relaes trigonomtricas pa-
    ra tringulos quaisquer (lei do seno). Mos a obra!




                    ATIVIDADE

       Desafio voc a resolver outro problema de medio de pontos inacessveis.
       Suponha que voc esteja numa praia deserta, e que desta praia seja possvel ver duas ilhas: M e N.
    Voc marca dois pontos na praia distantes 100 m e, com um instrumento de medir ngulos (teodolito),
    mede os ngulos conforme a figura.
       Qual  a distncia entre as ilhas M e N?




                                              Ilha M                   Ilha N




                                             64o                                   55o
                                               54o                              43o

                                         A                     100 m                     B
                             Desenho: Patrcia Carla Mucelin



                                Segundo Crossfield (2004), o clculo de distncias inacessveis era
                             um problema comum apresentado nos livros de ensino da matemti-
                             ca do incio do sculo XIX. Naquela, poca os estudantes aprendiam
                             um tipo de trigonometria chamado Alturas e Distncias, ou "Altimetry
                             e Longimetry".
                                Vamos trabalhar com um problema relacionado a este assunto?




132 Funes
                                                                                          Matemtica



                ATIVIDADE

    Do topo do mastro de um navio, que estava a 80 ps acima da gua, se avista um outro navio sob
 um ngulo de 20 com o nvel da gua.
    Qual  a distncia, em metros, entre eles?

                                                                                   1 p = 30,48 cm




                         Desenho: Patrcia Carla Mucelin



    A trigonometria possibilitou ao homem calcular grandes distncias
na superfcie do planeta e construir mapas mais precisos. A trigono-
metria no se limitou ao estudo da astronomia. Ao longo da Histria
at os dias atuais, so encontradas inmeras aplicaes da trigonome-
tria nas mais diversas reas do conhecimento, como, por exemplo: na
Engenharia, na Mecnica, na Eletricidade, na Acstica, na Medicina e
at na Msica.


  RefernciasBibliogrficas
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   Antiga. Revista do professor de matemtica, n. 1., p. 9-13, 2 Semestre
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   traduo: Paulo Moreira da Silva, Roberto Bins e Henrique Carlos Pfeifer.

   TIPLER, P. A. Fsica. v. 2, Rio de Janeiro: Ganabara, 1984. 587 p.




                                                                        VenhaNavegarPorOutrosMares! 133
      EnsinoMdio



                     ObrasConsultadas
                     ARANHA, M. L. A.; MARTINS, M. H. P. Filosofando: introduo  filosofia.
                      .
                     2a ed. So Paulo: Moderna, 1993.

                     CROSSFIELD, D.; STEIN, R.; SHEPERD, C.; WILLIAMS, G. Historical
                     Modules Project: Trigonometry. Washington - DC: MAA, 2004. 191 p.

                     IEZZI, G. Fundamentos da matemtica elementar. v. 3, So Paulo:
                     Atual, 2004. 226 p.



                     DocumentosConsultadosONLINE
                     BEBER, D. C. Projeto Trigonometria! Disponvel em: <http://www.ceap.
                     g12.br>. Acesso em: 20 ago. 2005.

                     FERRAZ NETTO, L. Feiras de cincia. Disponvel em: <http://www.
                     feiradeciencias. com.br> Acesso em: 15 set. 2005.

                     LIMA, E. L. Matemtica do ensino mdio. Disponvel em: <http://www.
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                     MELO, C. P. De. A cincia dos descobrimentos. In: SEMINRIO DE
                     TROPICOLOGIA: O Brasil no limiar do sculo XXI. Disponvel em : http://
                     www.tropicologia.org.BR> Acesso em: 12 dez. 2005.

                     OLIVEIRA FILHO, K. S.; SARAIVA, M. F. O. Astronomia e Astrofsica.
                     Disponvel em: http://astro.if.UFRGS.BR/. Acesso em: 10 set. 2005.

                     PHILIPS J. Eratstenes. Disponvel em: <http://geodesia.ufsc.br>. Acesso
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                     SILVA, L. C. M. Sala de fsica. Disponvel em: <http://geocities.yahoo.com.
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                     TRIGONOMETRIA: ontem e hoje. A Trigonometria e os problemas da
                     latitude e longitude. Disponvel em: <http://www.mat.ufrgs.br> . Acesso
                     em: 16 ago. 2005.

                     ZNITE. Como medir distncias no espao. Disponvel em: <http://
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                     WIKIPDIA. Inquisio. Disponvel em: http://pt.wikipedia.org>. Acesso em:
                     15 mai. 2006.




134 Funes
                              Matemtica



ANOTAES




            VenhaNavegarPorOutrosMares! 135
      EnsinoMdio




136 Funes
                                                                                                               Matemtica




                                                                                                         10
                                                                  RODANDO A RODA            Neusa Idick Scherpinski Mucelin1


                                                                              izem que a roda foi a maior inveno do
                                                                               homem antes da escrita. Desde tempos
                                                                               remotos at os dias de hoje ela continua
                                                                              fazendo parte do nosso cotidiano.
                                                                             O movimento giratrio tornou-se funda-
                                                                          mental para o homem se locomover e trans-
                                                                      portar coisas. Do carro de boi at o mais moderno
                                                          avio, a roda est sempre presente ajudando a colocar a vida
                                                          em movimento.
                                                          A roda passou a ser parte integrante de muitas mquinas que
                                                          auxiliam a vida funcional do homem, como: levantar pesos,
                                                          fabricar tecidos, entre outras. Algumas fontes de energia que o
                                                          homem utiliza esto de alguma forma, associadas  roda, por
                                                          exemplo, a gua.
                                                          O movimento de uma roda, alm de muito til para o nosso
                                                          dia a dia, tambm pode ser muito divertido. Quem nunca fi-
                                                          cou encantado num passeio de roda gigante? Voc j andou
                                                          numa roda gigante? Imagine que voc est dentro de uma
                                                          nesse momento. E que ela vai girar pelo menos dez vezes.
                                                          Voc imagina que vai passar pelo ponto mais alto, e pelo
                                                          mais baixo, pelo menos quantas vezes?
                                                          Como  o movimento da roda gigante? Voc consegue des-
                                                          crever o movimento da roda gigante em funo do nmero
                                                          de voltas na forma de um grfico?
                                                            E como varia a distncia, em relao ao solo, de um passageiro
                                                                         durante um passeio de roda gigante?




1
 Colgio Estadual Joo Manoel Mondrone - EFM - Medianeira - PR


                                                                                                         RodandoaRoda 137
      EnsinoMdio

                               Situaes que apresentam movimentos peridicos, oscilatrios ou
                            vibratrios so descritas por funes trigonomtricas. A importncia do
                            estudo das funes trigonomtricas se deve ao enorme campo de apli-
                            caes na Matemtica, Fsica, Biologia e Qumica.
                                A trigonometria surgiu h mais de dois mil anos. Tratava inicialmen-
                            te de resolver problemas relacionados  astronomia, como, por exem-
                            plo, o clculo de distncia entre planetas e determinao de distncias
                            inacessveis, ou seja, calcular distncias que no podem ser medidas
                            de modo convencional. A base terica na qual se fundamentou origi-
                            nalmente a trigonometria foi a semelhana de tringulos.
                               O astrnomo Hiparco (180-125 a.C.) fez contribuies importantes
                            para cincia desenvolvendo os conceitos de trigonometria. Utilizando
                            os conhecimentos obtidos por astrnomos mais antigos, desenvolveu
                            a base da trigonometria (SEDGWICK & TYLER, 1952).
                                Esta trigonometria evoluiu e tornou-se um contedo independen-
                            te da astronomia com o surgimento do Clculo Infinitesimal e da An-
                            lise Matemtica, dando uma nova dimenso s noes bsicas da Tri-
                            gonometria.
                               Nesta nova abordagem  necessrio falar das funes cosseno e se-
                            no definidas para todo nmero real. Ou seja,  necessrio tratar seno
                            e cosseno como nmeros.
                              Mas por que tratar a funo como uma varivel real e no mais co-
                            mo ngulo?
                                Como  possvel fazer isso?
                                Uma das maneiras foi sugerida por Leonhard Euler (1707  1783).
                            Ele atribuiu a medida de um radiano ao ngulo central de um crculo
                            cuja medida do arco correspondente  a mesma do raio deste crculo.
                            Isso possibilitou encontrar seno e cosseno de ngulos como funo de
                            uma varivel real, j que agora eram representados por nmeros reais,
                            abrindo assim as portas da Anlise Matemtica e de inmeras aplica-
                            es s Cincias Fsicas (NILCE, 2003).




                    ATIVIDADE

       Suponha que voc  comandante de um navio em alto mar. De repente avista um farol em uma ilha.
    Considere que o navio navega sempre na direo Norte.
       Como calcular a distncia do navio at a ilha?
       Como calcular a distncia do navio at a ilha supondo que o ngulo formado pela linha imaginria
    que une o navio ao farol com a direo do navio (Norte) seja 60?



138 Funes
                                                                                                 Matemtica


    E se fosse 75? Ou quem sabe 103 ou 150?



                                                                                  Norte




                     Desenho: Patrcia Carla Mucelin

    Complete a tabela, utilizando a calculadora para auxiliar.
   ngulo     30o        45o         60o        75o    90o   105o   120o   135o    150o   165o     179o
  Seno do
   ngulo


    Conforme o navio se distancia do farol, a medida do ngulo fica cada vez mais prxima de 180.
 Neste caso, dizemos que o limite  180, pois o navio se desloca sempre na direo Norte.
    O que est ocorrendo com os valores do seno dos ngulos?
    Por que o seno do ngulo de 120  igual a 60?
    Olhando para a tabela, voc pode me dizer que tipo de variao esta ocorrendo?
    O que ocorre com o valor do seno quando o ngulo vai se aproximando de 180?
    Mas voc percebeu que h uma variao bem grande de situaes envolvendo tringulos?
    Voc saberia dar alguns exemplos?



    Para generalizar estas relaes envolvendo tringulos  que coloca-
mos os tringulos dentro de uma circunferncia.
    Mas por que colocar os tringulos dentro de uma circunferncia?
    Os gregos pensaram que a Terra era o centro do universo, como re-
gistrado por Eudoxus (408-335 a.C). As estrelas foram firmadas a uma
imensa esfera cristalina, a qual os gregos consideravam ser a forma
perfeita: o Sol, a Lua, e os cinco planetas visveis tambm eram presos
a esfera. Ou seja, todos os corpos celestes formavam grandes crculos
ao redor da Terra.




                                                                                          RodandoaRoda 139
      EnsinoMdio

                                Hiparco (180-125 a.C) era um dos astrnomos da antiguidade; tra-
                            balhou com tringulos que foram inscritos em crculos. Como ele esta-
                            va lidando freqentemente com tringulos na esfera divina, foi chama-
                            do "o pai da trigonometria".
                                Um problema bsico era avaliar os trs ngulos e trs lados do tri-
                            ngulo inscrito. O problema era: dado um ngulo central AOB, ache o
                            comprimento da corda AB.




                                Hiparco construiu tabelas de cordas que relacionava as medidas
                            dos lados de um tringulo com a corda de um ngulo. Estas tabelas
                            eram elaboradas a fim de facilitar o clculo de problemas reais daquela
                            poca, como a distncia entre pontos inacessveis na astronomia.
                                As tabelas de cordas evoluram para o formato atual, que indica a
                            relao entre o seno de um ngulo agudo e a razo entre as medidas
                            de dois lados de um tringulo retngulo. Ou seja, para um ngulo agu-
                            do de um tringulo retngulo, o seno deste ngulo  a razo entre a
                            medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa, conceito desen-
                            volvido por Rheticus (1514-1574) (CROSSFIELD et al., 2004).
                                Historicamente, o seno e o cosseno foram introduzidos como razes
                            entre lados de um tringulo retngulo. Entretanto, de um ponto de vista
                            funcional moderno,  mais natural considerar as funes seno e cosseno
                            como as funes definidas no crculo unitrio (WU-YI HSIANG, 1993).




                 PESQUISA

      Mas voc sabe o que  um ciclo trigonomtrico?
      Que tal estudar um pouco a respeito e discutirmos na prxima aula...




140 Funes
                                                                              Matemtica

   Uma aplicao interessante de funo trigonomtrica  o passeio nu-
ma roda gigante. O movimento da roda gigante  peridico e possibilita
aos passageiros uma vista espetacular quando atinge o ponto mais alto.
   Vamos supor que a roda possui 12 cadeiras igualmente espaadas
ao longo do seu permetro, que o raio seja igual a 10 metros e o ponto
mais baixo da roda esteja a meio metro do solo. Devemos considerar
que a roda leva aproximadamente 36 segundos para efetuar uma volta
completa em velocidade constante. Veja a figura a seguir.




   Atravs da figura acima que representa uma roda gigante com suas
cadeiras, podemos explorar duas situaes de aprendizagem: a) uma,
 abordar possveis velocidades que esta roda gigante pode adquirir
quando se encontra realizando movimento circular uniforme, e b) a
outra  explorar os movimentos da roda gigante e encontrar a variao
do espao da posio que a pessoa ocupa durante a trajetria circular
desenvolvida pela roda gigante em relao ao solo.


  Vamosaotrabalho!!!Qualacaractersticado
  movimentodarodagigante?
   Esse movimento  denominado movimento circular uniforme.


  Vamosconheceromovimentocircularuniforme?
    um movimento que percorre uma circunferncia com velocidade
escalar constante. Para que possamos entender, tomamos como exem-
plo o ponto material P que se desloca sobre a circunferncia de raio r.
Depois de um intervalo T, passa novamente por P, o que se repete nos
tempos 2T, 3T, 4T, etc.


                                                                          RodandoaRoda 141
      EnsinoMdio




                        Quando o ponto material passar por P, num determinado intervalo
                    de tempo T, realizou uma volta completa. Nesse caso, caracterizou o
                    que chamamos de perodo. Outro elemento importante do movimen-
                    to circular uniforme  a freqncia.


                      Entendendomelhoroquefreqncia
                       Vamos considerar que o perodo seja igual a um quarto de segun-
                    do. Aps o tempo de 1 s, o ponto material ter passado quatro vezes
                    pela posio P. Para essa situao, dizemos que a freqncia do movi-
                    mento realizado pelo ponto material  de quatro rotaes por segun-
                    do. Se o perodo for de 1 s, como resultado, teremos a freqncia de
                    uma rotao por segundo. Se o perodo for de 3 s, a freqncia en-
                    contrada ser um tero de rotao por segundo. Esse resultado se de-
                    ve pelo fato de que, em 1 s, o ponto conseguir percorrer exatamente
                    um tero da volta completa.
                       Assim, indicamos o clculo da freqncia (f) pelo clculo Inverso do
                    perodo (T) representado na frmula abaixo. Por essa frmula, exprimi-
                    mos que a freqncia  conceituada como "o nmero de rotaes que o
                    ponto material realiza numa unidade de tempo" (AMALDI, 1992, p. 57).
                                                        1
                                                   f=
                                                        T

                        Sendo a unidade de medida de tempo o segundo, medimos a fre-
                    qncia em hertz. O hertz, que se indica por Hz,  a unidade de me-
                    dida considerada pelo Sistema Internacional e corresponde a uma ro-
                    tao por segundo (rps), ou seja,  a freqncia de um movimento
                    circular que tem perodo de 1 s.
                        Assim, ao se conhecer a freqncia, podemos determinar o pero-
                    do pela frmula:
                                                       1
                                                   T=
                                                        f




142 Funes
                                                                                              Matemtica

    Para entender melhor, podemos exemplificar com uma situao:
quando um movimento circular uniforme tem freqncia de 100 Hz, es-
tamos dizendo que seu perodo  igual a um centsimo de segundo.
    No movimento circular uniforme, temos a velocidade escalar. Esta
velocidade permanece constante. Ela  obtida quando dividimos o com-
primento de qualquer medida delimitada por um arco da circunfern-
cia pelo tempo gasto por um ponto para percorr-lo. Sabemos que o
comprimento da circunferncia  dado por 2 r, onde r  o raio. O pon-
to material percorre esse comprimento num dado intervalo de tempo
                                                                   2 r
que corresponde ao perodo. Assim, a velocidade escalar v : v =       .
                                                                    T
Essa  a mesma frmula que corresponde, no movimento retilneo, 
               s
frmula v =      , ou seja, variao do espao dividido por variao do
               t
tempo. Essa frmula possibilita calcular a velocidade escalar quando co-
nhecemos o perodo e o raio.




                 ATIVIDADE

     Vamos calcular a velocidade da roda durante o seu movimento. Como j dissemos, partimos de
 uma situao hipottica em que o raio da roda  igual a 10 metros e a roda leva 36 segundos para efe-
                                                                                2 r
 tuar uma volta completa em velocidade constante. Portanto, use a frmula v =        e calcule a veloci-
                                                                                 T
 dade para as possveis medidas de raio e perodo expressas na tabela abaixo:

     r      10       11      12       13      14       15      16       17       18      19       20
    T       24       30      36       42      48       54      60       66       72      78       84
     v

 Lembre-se de que, nesse caso, a velocidade  medida em m/s (metros por segundos).




                 PESQUISA

    At que velocidade em m/s o ser humano suporta de forma que ele desa da roda gigante sem a
 sensao de tontura?




                                                                                        RodandoaRoda 143
      EnsinoMdio

                                Agora, passaremos a explorar os movimentos da roda gigante e en-
                             contrar a variao do espao que a pessoa pode se encontrar em re-
                             lao ao solo.


                               Comovariaadistncia,emrelaoaosolo,deum
                               passageiroduranteotempodopasseio?
                                 No desenho da pgina 123, fica claro que, na posio n 1, o pas-
                             sageiro est 0,5 m do solo. Como encontrar a altura da cadeira na po-
                             sio 5?



                    ATIVIDADE

       Complete a tabela que relaciona a variao da distncia da posio que se encontra o passageiro
    do solo em funo do tempo. Considere que a roda gira no sentido anti-horrio.

      Tempo       1      3      6     9     12     15     18      21    24   27     30    33     36

     Distncia
                 0,5                 10,5                20,5                10,5                0,5
      do solo

       Como calcular as distncias nas posies intermedirias?
       Agora represente num plano cartesiano os pontos da tabela anterior.
       Que tipo de variao ocorre com a distncia em funo do tempo?
       Observe que o grfico tem a forma de uma senide (funo seno). Como determinar a distncia que
    o passageiro est do solo no tempo igual a 1 segundo? E no tempo em 11 segundos de passeio? E
    em cada instante t do passeio?




                                 Portanto, o movimento da roda gigante  peridico. Determinada
                             a lei desta funo trigonomtrica, poderemos ento calcular a que dis-
                             tncia o passageiro est do solo para qualquer posio durante o pas-
                             seio. Mas como fazer isso?
                                 A roda gigante apresenta forma semelhante ao do ciclo trigono-
                             mtrico. Para simplificar os clculos, considere o ponto inicial t = 0 s
                             quando o passageiro se encontrar na posio 4 e, portanto, estar a
                             10,5 m de distncia do solo. No tempo t = 3 s a distncia do passagei-
                             ro ao solo ser 10,5 m mais d1. Veja as figuras:




144 Funes
                                                                                           Matemtica




 Para t = 3, temos a distncia do solo = 0,5 +10 + d1, isso significa que:
             d
 sen      = 1 assim d1 = 10 . sen          ,
      6      10                         6
 ento a distncia do solo = 0,5 + 10 + 10 . sen    .
                                                  6
 Para t = 9, temos a distncia do solo = 0,5 +10 + d2 ,
                                    d2
 isso significa que: sen        =      assim d2 = 10 . sen   ,
                           3        10                     3
 ento a distncia do solo = 0,5 + 10 + 10 . sen
                                               3
 e dessa forma sucessivamente para os demais arcos.
 Ento, como pode ser expressa a lei da funo?




               ATIVIDADE

    Observe que  distncia do passageiro ao solo depender da amplitude do arco que ele j descre-
veu. Como a medida do arco  dado em radiano,  necessrio fazer uma relao entre a amplitude dos
arcos com os tempos de movimento da roda. Uma adaptao  necessria para obtermos o tempo em
funo do arco. Complete a tabela a seguir:

                                                                             3
   Arco       0                                                                               2
                     6               2                                        2

  Tempo       0      3      6        9     12   15    18    21     24        27   30     33    36

 Distncia
             0,5                    10,5             20,5                10,5                 0,5
  do solo




                                                                                       RodandoaRoda 145
      EnsinoMdio


       J descobriu qual  a relao do arco em funo do tempo?
       Se uma volta na roda gigante leva 36 s e corresponde a 2 rad, ento 1 s corresponde a um arco
    de quantos radianos?
       Ento, qual  a funo da distncia a que se encontra um passageiro do solo, durante o tempo do
    passeio?

        Levando em considerao que a volta comea na cadeira no 1 e em relao  cadeira no 4 est
                                                                                                    2
    rad abaixo, como fica a expresso matemtica para esta funo subtraindo este valor do arco?

       E, desse modo, determinamos uma expresso que permite calcular a distncia do solo (em metros) a
    que se encontra um determinado passageiro em cada instante t do passeio. Agora determine a distncia
    que o passageiro est do solo no tempo igual a 1 segundo e no tempo em 11 segundos de passeio.
        Se a roda gigante apresenta um perodo de 36 segundos (tempo de uma volta), quantas voltas com-
    pletas um passageiro d em um passeio de 3 minutos?
       Qual  a distncia percorrida para este passeio?
       Qual  a velocidade (supondo que ela  constante)?
       Faa um grfico para representar a distncia do solo (em metros) a que se encontra um determina-
    do passageiro neste passeio de 3 minutos.
       Qual  o perodo desta funo?
       Qual  a imagem? E o domnio?




                    ATIVIDADE

        Um bilhete d direito a 5 minutos de viagem na roda gigante, o passeio inicia quando o passageiro
    entra na roda gigante, ocupando a cadeira que est na posio 1, ou seja, distante 0,5 m do solo. Con-
    sidere que a primeira e a ltima volta tem durao de 1 minuto cada - para que os passageiros possam
    entrar e sair da roda gigante; j as demais voltas tm durao de 30 segundos cada. O raio  de 10 m e
    as cadeiras esto  mesma distncia entre si.
       Determine a altura em funo do tempo durante o passeio e represente graficamente.



                                Uma outra aplicao de funo trigonomtrica ocorre no nosso sis-
                             tema respiratrio, pois a nossa respirao  cclica, com perodos alter-
                             nados de expirao e inspirao. Um ciclo respiratrio completo dura
                             cerca de 5 segundos, numa pessoa adulta em condies normais.
                                Profissionais da rea de sade mediram a velocidade do fluxo de
                             ar dentro dos pulmes a cada instante e obtiveram uma curva aproxi-
                             madamente senoidal. O grfico seguinte expressa a velocidade do ar,



146 Funes
                                                                                               Matemtica

em litros/seg, em funo do tempo em segundos, decorrido a partir
do incio de uma inspirao. A velocidade  considerada positiva nos
momentos em que o ar entra nos pulmes, e  considerada negativa
quando o ar sair dos pulmes.




                 ATIVIDADE

     Quais so os pontos de velocidade mxima e mnima do ciclo respiratrio e a amplitude da velocidade?
     Qual  a expresso matemtica que representa a lei desta funo?



    Vamos aprender um pouco mais sobre a nossa respirao? Voc sa-
bia que a nossa respirao consiste no intercmbio de gases entre e or-
ganismo e o meio externo? As trocas entre o ar pulmonar e o sangue,
pelas quais perde dixido carbnico (CO2), e ganha oxignio (O2),
constituem a respirao externa ou respirao pulmonar, enquanto
que as trocas em nveis celulares, ou seja, entre o sangue e os tecidos,
formam a respirao interna ou respirao celular (TUBINO, 1984).
    A trigonometria que teve sua origem na Agrimensura e Astronomia
transformou-se numa parte importante da Anlise Matemtica, auxi-
liando o estudo fsico do movimento peridico e a transmisso do ca-
lor. Tambm  utilizada para expressar relaes entre nmeros com-
plexos sem necessidade de recorrer a arcos e ngulos. Mas esta  uma
outra histria, a histria dos nmeros complexos!



                                                                                         RodandoaRoda 147
      EnsinoMdio

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                     TIPLER, P. A. Fsica. v. 2, Rio de Janeiro: Guanabara, 1984. 587 p.



148 Funes
                                                                                 Matemtica

 DocumentosConsultadosONLINE
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             ANOTAES




                                                                             RodandoaRoda 149
       EnsinoMdio




            I
                       Geometrias
            n            Desde a infncia nos deparamos com situaes que lembram no-
                     es de espao e formas dos objetos. Desta maneira, vamos adquirin-


            t        do conhecimentos sobre Geometria. A Geometria  a cincia que tem
                     por objetivo analisar, organizar e sistematizar o conhecimento espacial.
                     As representaes geomtricas esto a nossa volta em forma de grfi-
                     cos, figuras planas e espaciais.


            r            O ensino de geometria deve se ater para questes que expressem
                     o pensamento geomtrico, ou seja, o ensino precisa permitir que vo-
                     c, estudante, realize uma leitura que exija a percepo geomtrica, ra-
                     ciocnio geomtrico e linguagem geomtrica, fatores estes que influen-


            o
                     ciam diretamente na relao que envolve a construo e apropriao
                     de conceitos abstratos e aqueles que se referem ao objeto geomtri-
                     co em si.
                         Nos Folhas que compem este captulo, buscamos maneiras pelas


            d
                     quais voc, aluno, possa vivenciar um aprendizado de Geometria com
                     um novo significado, ou seja, apropriar-se do conhecimento geomtri-
                     co por meio de um processo de aprendizagem investigativo. Portan-
                     to, veja cada produo com um olhar de curiosidade, busque novas


            u
                     perspectivas, pesquise! No aceite como verdade o que lhe propo-
                     mos, queremos aguar-lhe a curiosidade. So produes que lhe con-
                     vidam a pensar sobre as possibilidades de aprender. No existem to-
                     das as respostas, nem todos os caminhos... voc ter a oportunidade
                     de descobrir, por meio do seu esprito inventivo e criativo, as poss-

                    veis respostas.
                         Voc j se questionou sobre as mudanas no espao geogrfico, su-
                     as formas, sua beleza e sua organizao? Percebe a geometria presen-
                     te em nosso dia a dia? Este  o assunto abordado no Folhas A beleza

                    das formas.




            o
150 Introduo
                                                                           Matemtica




                                                                           M
    A Trigonometria, quando limitada ao contexto matemtico, pode-
r expressar to somente mais um dos contedos ensinados em nossas
                                                                           A
                                                                           T
escolas. Entretanto, tecida com fios de outras reas de conhecimento,
poder se constituir em um dos mais fascinantes captulos da Histria
da Matemtica. E este foi o contexto escolhido para se explorar o Teo-
rema de Tales. Este tema  abordado no Folhas Se ficar, o cupim come...
se tirar, a casa cai?
    No Folhas Qual Matemtica est presente no resgate do barco?, discu-
timos como conceitos de geometria analtica articulados com concei-
tos de Fsica podem contribuir para localizar objetos no espao plano.
                                                                           E
Realiza relao interdisciplinar, tambm, com Educao Fsica, ao cha-
mar o centro da circunferncia como o centro de equilbrio da mesma
e, por conseguinte, essa afirmao levanta um timo questionamento
sobre sua validade em outras circunferncias. Ainda, com a Disciplina
                                                                           M
Educao Fsica, explora o conceito de centro de gravidade corporal e
suas interferncias nas atividades corporais que executamos, quer seja
nas atividade do cotidiano ou nas atividades esportivas.                   
                                                                           T
                                                                           I
                                                                           C
                                                                           A
                                                                                        151
       EnsinoMdio




152 Geometrias
                                                                                                                                         Matemtica




                                                                                                                                11

                                                 A bELEZA DAS FORMAS                                                      Daisy Maria Rodrigues1


                                                 Observe as imagens e discuta as questes a seguir:




                                                                                             Sandro Botticelli. Nascimento de Vnus, 1484. Galeria Uffizi,
                                                                                             Florena, Itlia. 172,5x278,5cm. Tmpera sobre tela.




                                                  Pablo Picasso. O poeta (1910), 1,30 m x
                                                  89 cm. Museu Goggenheim, Veneza.


                                                 O que  belo? Quem determina os padres de beleza?
                                                 A beleza existe ou est nos olhos de quem v?




Colgio Estadual Antonio Martins de Mello  EFM - Ibaiti - PR
1




                                                                                                                          Abelezadasformas 153
       EnsinoMdio

                         Podemos observar a natureza e perceber uma infinidade de padres
                     que podem nos servir como elementos de referncia e inspirao pa-
                     ra a criao de novos padres. Por exemplo: os babilnios observavam
                     os fenmenos da natureza e eram capazes de registrar suas observaes
                     sobre a movimentao das estrelas, de modo que puderam estabelecer
                     tcnicas de plantio, que decorreram destas observaes.
                         Os gregos deram contribuies para a geometria e a astronomia,
                     estabelecendo relaes entre ngulos, tringulos e crculos, propondo
                     que a Terra no era achatada e sim esfrica. Hoje se sabe que a Terra
                     tem um formato chamado de geide, sendo levemente achatada nos
                     plos. H uma grande variedade de "formas" que podem ser encontra-
                     das na natureza. Um exemplo notvel  a teia de aranha, utilizada co-
                     mo meio de ataque e defesa.
                         Os formatos das teias so determinados pela herana gentica, sen-
                     do a mais comum a espiral.
                                                 Voc sabe como a aranha constri sua teia?
                                                 A construo comea com uma moldu-
                                             ra. Nela so presos os fios que se cruzam no
                                             centro. Sobre esses fios, que so a base des-
                                             ta construo,  traada uma espiral provisria
                                             de dentro para fora, em seguida, substituda
                                             por uma espiral viscosa, de fora para dentro.



                                                          PESQUISA

                                                  Observando a natureza conseguimos identi-
                                              ficar formas geomtricas?


                         O avano das tecnologias em vrias reas do conhecimento poten-
                     cializou ao homem observar o belo em outras perspectivas.
                         Existem algumas formas na natureza que chamam mais a ateno
                     do homem. Podemos encontrar formas que sugerem as geomtricas.
                     Mesmo no sendo muitas vezes exatas, podemos reconhecer a simila-
                     ridade de formas como a triangular, a arredondada e a quadrangular.
                     Elas podem ser observadas em alguns peixes de aqurios, como mos-
                     tra a imagem a seguir (GERDES, 1992).




                                                                           Fotos: http://www.sxc.hu

154 Geometrias
                                                                                             Matemtica

   J a figura hexagonal  encontrada na superfcie de muitos tecidos
celulares, como nos olhos da mosca ou na colnia de madreprola,
em formato de rede.



                 ATIVIDADE

    Os flocos de neve descrevem um padro geomtrico. No desenho encontra-se uma dessas repre-
 sentaes. Aborde as regularidades existentes nesse padro.




   O cristal de gelo pode chegar, s vezes, a
5mm ou mais em dimetro, em condies nor-
mais, os tamanhos variam de acordo com a tem-
peratura.                                                     0,5 mm
                                                                               2 a 4 mm de
                                                                                 dimetro


                 ATIVIDADE

    Voc se lembra o que  mcron?
     O mcron (m) ou micrmetro,  uma unidade de comprimento que corresponde  milsima parte do
 milmetro: 1 m = 10-6 m = 10-3 mm
     Se o cristal em evidncia possui um dimetro de 140 m, ento qual o tamanho em mm? Represen-
 te esse valor em nmeros decimais.
     No acervo do Ukichiro Nakaya Museu de Neve e Gelo, existem ima-
 gens de flocos de neve (cristais de neve) de forma hexagonal, mas po-
 dendo apresentar outras formas. Vale a pena conferir! Voc vai achar
 muita coisa interessante, visite o site: http://www.its.caltech.edu/~ph76a/
 japantour/part1/japantour.htm




                                                                                   Abelezadasformas 155
       EnsinoMdio

                                     Formasnanatureza
                                       Quando se estuda a organizao dos "seres vivos", em algumas re-
                                   as da Biologia, como a botnica e a zoologia, percebe-se que  comum
                                   a forma pentagonal. Um exemplo  a Estrela do Mar da classe Asteroi-
                                   dea que possui 5 braos ao redor de um disco central.
                                       Nas flores, por exemplo, observa-se que o nmero de ptalas, na
                                   maioria das vezes, corresponde a um dos termos da seqncia de Fibo-
        Fotos: http://www.sxc.hu   nacci que : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...; no entanto, o lrio apresenta 6 ptalas
                                   sendo uma exceo  regra. Por outro lado, a Fcsia que apresenta 4
                                   ptalas e o famoso Trevo da Sorte que tem 4 folhas, podem ser inseri-
                                   dos em outra seqncia, a de Lucas: 1, 3, 4, 7, 11,...
                                       Franois Edouard Anatole Lucas (1842-1891), matemtico francs,
                                   conhecido pelos seus resultados na Teoria dos Nmeros, em particular
                                   estudou a sucesso de Fibonacci e a associada sucesso de Lucas, as-
                                   sim nomeada em sua honra. Lucas tambm criou mtodos para testar
                                   a primalidade de nmeros.
                                       Embora o nmero de Fibonacci aparea em muitas situaes na na-
                                   tureza, no se pode afirmar que isso seja uma lei universal, pois po-
                                   dem aparecer seqncias anmalas, que em uma anlise biolgica
                                   seria, apenas diversidade. Isso configura uma fascinante tendncia pre-
                                   dominante.




                                                                              Flor de laranjeira, Lrio, Fcsia, Trevo


                                      Ao observar e estudar as formas encontradas na natureza, o ho-
                                   mem tem aprendido muitas coisas. Ele percebeu padres e regularida-
                                   des com as abelhas, por exemplo, e compreendeu que o formato dos
                                   favos de mel  muito bom para guardar objetos com grande aprovei-
                                   tamento de espao.

156 Geometrias
                                                                                              Matemtica



   Exemplos da aplicao do formato das col-
mias so os suportes de garrafas para o armaze-
namento de bebidas em adegas. A mesma forma
hexagonal  encontrada na cabea de um tipo
de parafuso chamado sextavado.




                PESQUISA

     Consegue averiguar onde e por que  utilizado este tipo de parafuso?
     Por que a cabea dos parafusos so sempre em forma de polgonos regulares?
     Para apertar ou desapertar parafusos, quanto seria preciso girar a chave se sua cabea fosse trian-
 gular? E quadrada, ou hexagonal?



    Isso vai depender do espao que o mecnico tem para trabalhar.
Em espaos pequenos, a variao de ir e vir da chave ter que ser me-
nor, ou seja, depende do ngulo central de cada polgono.
    Se for verdade, ento no seria mais fcil um parafuso de forma octogo-
nal? J viu alguma chave assim?
    Ou ainda com o nmero de lados maior que seis?
    Note bem: na natureza nos deparamos com padres e usamos for-
mas geomtricas para descrev-los. Mas tambm podemos criar pa-
dres, alguns deles que no possam ser encontrados na natureza (ou
que desejamos encontrar, quem sabe ainda no os tenhamos repara-
do...). Uma das maneiras pelas quais podemos criar padres utilizando
formas geomtricas  a construo de mosaicos.



                PESQUISA

     Mosaico  uma palavra de origem grega que significa pacincia. Por que pacincia?


    O mosaico teve origem em antigas civilizaes, como o Egito e a
Mesopotmia. O mais antigo de todos os mosaicos conhecidos perten-
ce ao ano de 3500 a.C., foi descoberto na antiga cidade de Ur. Pode
ser visto no Templo di Ur.
    Os romanos difundiram a arte do mosaico em todos os confins do
Imprio. Com o crescimento do Cristianismo, novos temas foram in-

                                                                                    Abelezadasformas 157
         EnsinoMdio

                                             troduzidos. Neste contexto o mosaico atingiu sua mais perfeita realiza-
                                             o, durante o governo do Imperador Justiniano, que reinou de 527 a
                                             565 (GRAA PROENA, 1999).




    Imperador Justiniano, 526-547.
    Igreja de So Vitale, Ravenna, Itlia.                                  Esquema dos trs crculos
    Mosaico.
                                                 Os mosaicos tambm esto
    Personalidade                            presentes em obras arquitetni-
    A figura do Imperador Justi-             cas, como nas fachadas de edi-
    niano  um detalhe do mo-                fcios, nas pastilhas decorativas
    saico da Igreja de So Vital,            para recobrir paredes. Traba-
    onde pode ser observada a                lhos como o do espanhol Anto-
    "aplicao do esquema de                 nio Gaudi (1852-1926) ou ainda o
    trs crculos", que consis-
                                             mosaico da fachada do Cemitrio
    te em 3 crculos concntri-
                                             Municipal de Curitiba.                                 Foto: Icone Audiovisual
    cos: o primeiro de raio igual
    ao comprimento do nariz, de-                 Uma maneira especial de construir mosaico  atravs do ladrilha-
    terminando as faces e a tes-             mento, a arte de cobrir superfcies com figuras regulares planas sem
    ta; o segundo, com o dobro               sobreposio e sem falhas entre elas.
    do raio, determinando o ca-
    belo e o queixo; e o terceiro,
    com raio igual a trs unida-                              ATIVIDADE
    des, que passa pela metade
    do pescoo e forma o ha-
    lo - como o poder e rique-                    Voc pode descobrir como revestir o cho de
    za expressam autoridade ab-               sua sala brincando com as figuras e desafiar sua
    soluta do imperador, chegou               criatividade!!! Realize uma experincia:
    a ser representado desta for-
                                              a) Em uma folha de papel desenhe um polgono
    ma, como a cabea aureola-
                                                 regular.
    da (PANOFSKY, 1976).
                                              b) Depois desenhe mais alguns idnticos ao pri-
                                                 meiro.
                                              c) Recorte todos os polgonos.                        Exemplo de um revestimento

                                              d) Encaixe os polgonos.
                                              e) O que se observa em relao ao tipo de polgono escolhido e o encai-
                                                 xe entre eles?
                                              f) Qual  o valor dos ngulos internos desse polgono?
                                              g)  possvel realizar o revestimento com dois ou mais tipos de polgonos?
                                                 Faa uma ilustrao.

158 Geometrias
                                                                                               Matemtica

    Recobrir uma superfcie plana com peas poligonais constitui uma             Se unirmos os centros dos
das atividades mais antigas realizadas pelo homem. Kepler foi o pri-            hexgonos, verificamos que
meiro a estudar pavimentaes do plano utilizando polgonos regula-             obtemos uma pavimentao
res. Em seus estudos, observou que polgonos regulares idnticos pa-            regular triangular e o con-
vimentam perfeitamente um plano se somente seus ngulos internos                trrio tambm se verifica, ou
forem um divisor de 360. As pavimentaes formadas apenas por la-              seja, se unirmos os centros
drilhos de mesmo formato chamam-se pavimentaes monodricas ou                 dos tringulos, obtemos uma
puras. Dentro das pavimentaes monodricas, temos as chamadas pa-              pavimentao regular hexa-
vimentaes regulares - aquelas em que o ladrilho  um polgono re-             gonal. Assim, cada uma das
                                                                                pavimentaes diz-se du-
gular.
                                                                                al da outra, uma vez que a
    Voc sabe quais so os polgonos regulares que pavimentam? E                pavimentao dual  aque-
quantas existem?                                                                la que se obtm unindo os
    As pavimentaes formadas utilizando-se mais de um tipo de po-              centros dos ladrilhos da pa-
lgonos regulares so chamadas pavimentaes arquimedianas ou se-                vimentao.
mi-regulares, e ainda de "Molcula de Arquimedes", cujos vrtices da
pavimentao so todos do mesmo tipo. Por isso, so descritas de
acordo com o tipo de vrtice. Isto significa que existem pavimentaes
semi-regulares compostas pelo mesmo tipo de polgonos que no so
idnticas (BARBEDO, 2005).


                ATIVIDADE

    Descubra essas molculas!
     Suponhamos que n, p e q  o nmero de lados de cada um dos distintos polgonos, como na figu-
 ra abaixo. Se n = 5, p = 6 e q = 8, pode ser representada por um nome constitudo por nmeros intei-
 ros: 5, 6 e 8.


    Ser que esta figura  uma "molcula de Arquimedes?"


    Voc pode terminar de completar a tabela?



   N de
               3                   5         6                   8                    10           11
   lados
   ngulo
              60        90                          128,57                140
   Interno



    Ser que  possvel saber para quantas pavimentaes semi-regulares
existem? Que tipo de pavimentao so as figuras a seguir?
    Pavimentaes como essas so chamadas de peridicas uma vez
que recobrem o plano repetindo um mesmo padro.


                                                                                   Abelezadasformas 159
       EnsinoMdio

                                                                Roger Penrose, um importante fsico-mate-
                                                            mtico, criou uma curiosa pavimentao ape-
                                                            ridica (no repete padres), que envolve po-
                                                            lgonos batizados de "pipa" e "seta". Este tipo
                                                            de pavimentao foi usado por uma fbrica de
                                                            papel higinico, cujo objetivo era a reduo de
                  Pavimentaes figuras regulares
                                                            15% de papel, no mesmo volume do rolo. O
                                                            caso foi parar nos tribunais, pelos direitos au-
                                                            torais do desenho.
                                                                Ser que voc consegue averiguar qual foi
                   Pavimentaes peridicas                 o desenho utilizado?
                                                                Quando estudamos Geometria, pensamos
                                 que a seqncia como ela  apresentada sempre foi a mesma e no
                                 nos damos conta das transformaes das idias dos grandes homens
                                 que a construram, dos caminhos percorridos, e das circunstncias em
                                 que estes conhecimentos surgiram.
                                       As civilizaes antigas que contriburam com a evoluo da Geo-
                                 metria foram: a chinesa, a indiana, a mediterrnea, a da Mesopotmia,
                                 e as do vale do rio Nilo. O desenvolvimento da Geometria se iniciou
                                 tomando como base, o conceito de que a terra era plana, mas isto no
                                 impediu sua evoluo.
                                       As origens da Geometria (do grego: medir a terra) parecem surgir
                                 das necessidades do dia a dia. Para medir, necessitavam de padres de
                                 medidas, assim foram surgindo: palmo, p, passo, braa, cbito, e is-
                                 to tudo por volta de 3.500 a.C., quando comearam a surgir os primei-
                                 ros templos, passando a adotar a longitude das partes do corpo de um
                                 nico homem, geralmente o rei.
                                       Dois papiros so relevantes contendo informaes referente  ma-
                                 temtica egpcia antiga: o papiro de Moscou (aprox. 1.850 a.C.) e o
                                 papiro Rhind ou Ahmes (aprox. 1.659 a.C.), contendo 26 problemas
                                 geomtricos, entre eles frmulas de mensurao necessria para clcu-
                                 lo de reas de terras e volumes de gros.



                     PESQUISA

        Aceita um desafio? Descubra o que puder sobre os papiros.


                                Um dos problemas que consta no papiro Rhind  quando se com-
                             para a rea do crculo e do quadrado circunscrito. Nesse papiro en-
                             controu-se o crculo de dimetro 9:64 setat, o quadrado de lado 9:81
                             setat.


160 Geometrias
                                                                                              Matemtica

    1 setat  khet ao quadrado.
    1 Khet = 100 cbitos. 1 cbito = 52,36cm
    Os problemas clssicos da Geometria grega contriburam para o de-
senvolvimento da matemtica, tendo em vista limitaes tcnicas pa-
ra sua resoluo (s se permitia o uso de uma rgua sem escalas e um
compasso).
 Duplicao do cubo: Dado um cubo, construir outro cubo com o do-
    bro do volume do anterior.
 Trisseco do ngulo: Dado um ngulo, construir um ngulo com um
    tero da medida.
 Quadratura do crculo: Dado um crculo, construir um quadrado com
    a mesma rea.
    Se tentarmos reproduzir a soluo destes problemas da mesma for-
ma como est nos papiros, teremos dificuldades na interpretao dos
dados. Esta  uma das maneiras de percebemos as transformaes pa-
ra o avano das cincias que ocorreram no decorrer da histria.

   J pensou qual ser sua contribuio, o seu legado, para a histria
da humanidade?


     No h na natureza, nada suficientemente          Por que prender a vida em conceitos e normas?
 pequeno ou insignificante, que no merea ser         O Belo o Feio... o Bom e o Mau... Dor e Prazer...
 visto pelo olho da geometria: h sim, uma `agra-
                                                       Tudo, afinal, so formas
 dvel geometria das criaes da natureza'. Difi-
                                                       E no degraus do ser!
 cilmente encontraremos algo que no se possa
                                                                                            Mrio Quintana
 relacionar com a geometria.
                                   Leonardo da Vinci



  RefernciasBibliogrficas
   BARBEDO, J. Uma tarefa de investigao para MATB: Molculas de
   Arquimedes. Disponvel em: <http://www.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec/pdf/
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   SANTOS, M. G. V. P. Histria da Arte. 13 ed. So Paulo: tica, 1999.
   PANOFSKY, E. Significado das Artes Visuais. So Paulo: Perspecti-
   va,1976.




                                                                                    Abelezadasformas 161
       EnsinoMdio



                      ObrasConsultadas
                      CAVANHA, A. O. A divina proporo, o nmero de ouro e a espiral lo-
                      gartmica no Universo. Curitiba: Vicentina, 2000.
                      DOCZI, G. O poder dos limites: harmonias e propores na nature-
                      za, arte e arquitetura. So Paulo: Mercuryo, 1990.
                      GHYKA, M. C. Esttica de las proporciones en la naturaleza y en las
                      artes. Buenos Aires: Editorial Poseidon, 1953.
                      GERDES. P. Sobre o despertar do pensamento Geomtrico. Curitiba:
                      Editora UFPR, 1992.


                      DocumentosConsultadosONLINE
                      KNOTT, Dr Ron Knott. Fibonacci Numbers and Nature. Disponvel em ht-
                      tp://www.mcs.surrey.ac.uk>. Acesso em: 17 out. 2005.
                      MELLO, J. L. P. Matemtica: pavimentaes e a matemtica do mal.
                      Folha de So Paulo. Disponvel em: http://www1.folha.uol.com.br>. Aces-
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                      ponvel em: http://www.its.caltech.edu>. Acesso em: 22 set. 2005.




162 Geometrias
                   Matemtica



ANOTAES




            Abelezadasformas 163
       EnsinoMdio




164 Geometrias
                                                                                               Matemtica




                                                                                         12
                                                       SE FICAR, O CUPIM
                                                      COME... SE TIRAR, A
                                                               CASA CAI?                  Mrian Longaretti1

                                                      Um velho pinheiro foi atacado por cupins e
                                                      ser preciso derrub-lo.
                                                      Acontece que a nica direo em que se pode
                                                      derrubar a rvore, existe uma casa, localizada
                                                      nas suas proximidades, em perigo, pois no se
                                                      sabe a altura da rvore. Como calcular a altura
                                                      do pinheiro?




                                                                                                   Cupinzeiro



Colgio Estadual Pedro Macedo - EFM - Curitiba - PR
1




                                                                  Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 165
       EnsinoMdio

                                 Voc sabia que a palavra "cupim"  ambgua? Sim, pois designa no
                              s o inseto como tambm o ninho que o mesmo constri.  por isso
                              que se diz: "o cupim corri o madeiramento"; "o cupim enfeia os pra-
                              dos".
           Cupim




                     PESQUISA

         Antes de continuarmos,  preciso perguntar-lhe: Voc tem alguma dvida quanto ao significado da
     palavra "ambgua"? E por falar em "ambgua", que maravilha  o dicionrio da Lngua Portuguesa, no 
     mesmo? Consult-lo, ento,  melhor ainda. E sem a inteno de fanatismo, cultivar o hbito de consul-
     tar um dicionrio  "tri-legal". A propsito, o que significa, para voc, a palavra "lxico"?

                                   Insetos sociais, pois h indivduos dos dois sexos, os cupins perten-
                              cem  ordem Ispteros, da famlia Termitidae. Observe: tambm para
                              estas palavras (Ispteros, Termitidae), o dicionrio  interessante. Afi-
                              nal, elas podem revelar "segredos" dos cupins. Mas, preste ateno ao
                              que vou lhe contar: existem castas de cupins assexuados. Sabe o por-
                              qu?  necessrio, pois quem faria determinadas tarefas? Serei mais
                              clara: os cupins assexuados apresentam o organismo adaptado para o
                              trabalho a que so destinados. Assim como alguns seres humanos de-
                              senvolvem o seu trabalho profissional em sua prpria casa, enquan-
                              to outros "trabalham fora", alguns cupins so adaptados para o traba-
                              lho externo e, outros, para o trabalho interno. E mais: h os cupins
                              que cuidam da defesa, so os guerreiros (nasuti, na terminologia cien-
                              tfica). Espero que voc esteja percebendo que, com este palavreado
                              - trabalho externo, trabalho interno, defesa  refiro-me aos "ninhos".
                              Enquanto na Amaznia, os "ninhos" so denominados "itapecuim" ou
                              "tapecuim", em Mato Grosso e no Rio Grande do Sul, diz-se "itacuru"
                              ou "tacuru". Alis, um "dicionrio etimolgico" pode contar o porqu
                              destes nomes.
                                   Segundo estudiosos sobre cupins, os ninhos so caractersticos pa-
                              ra cada espcie, sendo que a parte central  feita de madeira mastiga-
                              da, como se fosse "papier mach". Por falar em papier mach, como
                              vai o "seu francs"?
                                   Com certeza, voc est sentindo que  muito excitante essa neces-
                              sidade de se consultar dicionrios: da lngua portuguesa, etimolgico,
                              da lngua francesa, ...
                                   Continuando com nossa conversa, os ninhos so protegidos por
                              um invlucro de barro amassado com saliva, chegando a ser to resis-
                              tentes como o melhor tijolo, e suas dimenses podem atingir de dois
                              at quatro metros de altura.
                                   Neste momento, reflita: Pensa que acidentes s acontecem nas ci-
                              dades grandes? Pois se pensa, est cometendo um engano. Leia com

166 Geometrias
                                                                                             Matemtica

ateno o que segue: nos prados rio-grandenses, os tacurus so temi-
dos porque, meio destrudos e ocultos entre o capim, provocam a que-
da do animal quando, no galope, afunda nesses ninhos, quebrando a
perna.
    Algumas espcies de cupins habitam troncos de rvores ou o ma-
deiramento das construes. No litoral do Rio de Janeiro e em Santos,
por exemplo, a espcie Cornitermes sp chega a desvalorizar as casas
"onde moram", porque corroem, especialmente, as vigas do telhado.
H espcies que atacam as razes de um variado nmero de plantas ou
mudas, sendo que nada se percebe, pois os cupins cavam pequenos
tneis  que no so visveis  no solo.
    H situaes nas quais o cupim destri uma moradia, mesmo sem
corroer seu madeiramento. No, no, no se trata de truque, no. Tra-
ta-se de uma situao bem real. Tanto  real que convido voc a re-
fletir sobre a delicada situao daquele pinheiro atacado pelos cupins.
Talvez voc descubra alguma maneira de salv-lo. Mas, como deve-
mos estar preparados para tudo,  preciso contar com a possibilidade
de ter que derrub-lo. Portanto.... voc tem alguma idia de como cal-
cular a altura do pinheiro?


  Falandodecupins,pinheirose....pirmides,
  medirpreciso
   No sei se faz parte dos seus conhecimentos, mas, na Antigidade,
um matemtico grego conseguiu determinar a altura das pirmides do
Egito. Usando uma vara e duas sombras, o tal matemtico contribuiu
para o surgimento da Trigonometria.



                PESQUISA

      Seria interessante, "nesta altura" da nossa conversa, voc pesquisar o significado de "trigonome-
 tria"? Para isso, voc poderia utilizar um "bom" dicionrio da Lngua Portuguesa, ou uma enciclopdia.

   O termo "trigonometria", criado em 1595, pelo matemtico alemo
Bartholomus Pitiscus, deriva das palavras gregas trigono e metria. No
contexto da Matemtica, trigono significa trs ngulos e, metria, me-
dida.
   Quando falamos em Trigonometria, pensa-se em "tringulo". O ter-
mo tringulo vem do grego trigonos. Dito de outro modo, o termo tri-
ngulo significa "polgono de trs lados".
   Voc sabia que, para os antigos maias, o tringulo  o glifo do raio
do Sol, semelhante ao broto que forma o germe do milho, quando

                                                            Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 167
       EnsinoMdio

                              rompe a superfcie do solo, quatro dias aps o plantio do gro? Ligado
                              ao Sol e ao milho, o tringulo  duas vezes smbolo de fecundidade.
                                  Voc sabe o que significa "glifo"? Ah, eu sabia... voc j est fican-
                              do habituado a consultar o dicionrio do nosso belo idioma, no 
                              mesmo?
                                  Mas, continuando, o tringulo  freqentemente utilizado nos frisos
                              ornamentais, na ndia, na Grcia, em Roma, por exemplo, e seu signifi-
                              cado parece constante. O tringulo, com a ponta para cima, simboliza
                              o fogo e o sexo masculino; com a ponta para baixo, simboliza a gua
                              e o sexo feminino. O "selo de Salomo"  composto de dois tringu-
                              los invertidos e significa, principalmente, a sabedoria humana. O trin-
                              gulo equiltero, na tradio judaica, simboliza Deus, cujo nome no se
                              pode pronunciar. Ateno: pesquise sobre o "selo de Salomo", con-
                              versando com os colegas, professores e, tambm, recorrendo a livros e
                              a Internet. Voc ficar surpreso com o nmero de "respostas" diferen-
                              tes que ir conseguir.


                     PESQUISA

        Uma pausa:  evidente que voc j tem conhecimentos sobre "tringulo equiltero". Mas, caso te-
     nha se esquecido... pesquise.

      De novo, o tringulo. Alm de sua conhecida importncia no pitagorismo, o tringulo , na
   alquimia, o smbolo do fogo.



                     PESQUISA

         A propsito desta nossa conversa, voc sabe quem  Pitgoras, no  mesmo? E voc tambm
     sabe o que significa "alquimia"? Lembre-se: sempre  muito interessante deixar um dicionrio da Lngua
     Portuguesa bem prximo, nos momentos de leituras.
         Voc conhece a importncia atribuda pela maonaria ao tringulo? Sabe o significado do tringulo
     manico? Sabe alguma coisa a respeito da relao entre o tringulo de ponta para cima e o tringulo
     invertido? A obra Dicionrio de Smbolos (CHEVALIER & CHEERBRANT, 2001)  muito interessante para pesqui-
     sar sobre tringulos. Consulte-a, voc se encantar.


                                  Falemos, agora, um pouco sobre a "Trigonometria". Podemos co-
                              mear afirmando que "Trigonometria  um assunto de conversa". Que
                              tal, gostou? Continue lendo...
                                  Os primeiros trabalhos elementares, envolvendo conceitos trigo-
                              nomtricos, foram desenvolvidos pelos babilnios e antigos egpcios,



168 Geometrias
                                                                                      Matemtica

que realizavam estudos e clculos relativos a fenmenos astronmicos
e geogrficos, como a determinao de eclipses, fases da lua, distn-
cias inacessveis e rotas de navegao.
    Pausa para uma pergunta: voc tem dvidas sobre o que venha a ser
"conceito"? Em que voc pensa quando l a expresso "conceitos trigo-
nomtricos"? Caso voc no pense em nada... isto  preocupante.
    Voltemos aos babilnios. Deve-se, tambm, aos babilnios, a divi-
so da circunferncia, ainda, hoje em uso, ou seja, dividida em graus,
minutos e segundos.
    Entre os gregos, tambm  possvel encontrar trabalhos ligados  As-
tronomia. Nesses trabalhos aparecem conceitos trigonomtricos, como,
por exemplo, a expresso 1/2 < sen 30 < 1/18, usada no trabalho de-
nominado Das grandezas e das distncias ao Sol e  Lua. O autor deste
trabalho  Aristarco de Samos (310 a 250 a.C.).
    Voc j tem conhecimentos sobre "seno". Portanto no h motivos
para ficar perplexo ao ler "sen".
    Sugiro, caso, ainda, no saiba o significado de "1/2 < sen 30o < 1/18",
que pea auxlio ao seu professor. Mas, penso que ser muito tranqilo,
para voc, investigar, "sozinho", a respeito dessa expresso. Com certe-
za, ir se deparar com ela em seu prprio livro de Matemtica.
    Continuando, pode-se atribuir a Hiparco de Nicia (sculo II a.C.),
por muitos considerado o "Pai da Astronomia", o estabelecimento das
"bases da Trigonometria", bem como a construo das primeiras "tabe-
las trigonomtricas".
    Ei, o que se passa? No h motivos para espanto, no  mesmo?
Quando se constri algo, parte-se de uma "base", certo? Portanto, "ba-
ses da Trigonometria".
    Quanto  expresso "tabelas trigonomtricas", at mesmo um livro
de Matemtica destinado a alunos de 8a srie apresenta, trazendo co-
mentrios e ilustraes, uma tabela trigonomtrica com valores de se-
nos, co-senos e tangentes de um ngulo.
    Mas, e Ptolomeu (85 a 165 d.C.)? Inspirando-se no trabalho de Hi-
parco e ampliando-o, escreve uma obra intitulada Sintaxe matemti-
ca, resultando num "tratado sobre Trigonometria".
    Lembre-se: o dicionrio da Lngua Portuguesa deve ser consultado
sempre que uma dvida "atrapalhar" nossa leitura. Assim, por exem-
plo, conheo pessoas que tm dificuldade em explicar o que seja "um
tratado". Trigonometria, voc j sabe o que . Mas... o que  um "tra-
tado sobre Trigonometria?"
    At o sculo XII, os trabalhos sobre Trigonometria eram relacionados
 Astronomia. Entre os rabes, destacam-se as contribuies de Abulwa-
fa (940-998), do observatrio de Bagd, que construiu tbuas de senos
e tangentes, com relativa preciso. Os rabes deram, ainda, uma grande



                                                          Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 169
       EnsinoMdio

                             contribuio: traduziram a obra de Ptolomeu que era composta por tre-
                             ze livros, dando-lhe o ttulo de Almagesto ("o maior", "o magnfico").
                                 Inicialmente considerada uma extenso da Geometria, com o traba-
                             lho do rabe Nasir Edin (1201-1274), a Trigonometria recebe um trata-
                             mento independente.

                     PESQUISA

        Ateno, pergunte ao seu professor, ou pesquise, o que significa dizer que "uma cincia X, quando
     surgiu, era considerada como pertencendo ao domnio de uma outra cincia Y".

                                 A propsito, menciona-se, aqui, o italiano Leonardo de Pisa (1175-
                             1240), mais conhecido como Fibonacci.
                                 Fibonacci publicou, em 1202, o texto Liber Abaci, onde apresentava
                             trs formas de soluo para um mesmo problema: com o baco, com
                             o jogo dos dedos das mos e com os nmeros indo-arbicos.
                                 Muito popular no meio dos entendidos sobre criao de coelhos,
                             ele descobriu uma sucesso numrica que hoje  conhecida como "se-
                             qncia de Fibonacci". Nesta seqncia, qualquer nmero  a soma
                             dos dois anteriores, com exceo dos dois primeiros, que so unit-
                             rios: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
                                 O que h de interessante na seqncia de Fibonacci  que a razo
                             entre dois de seus termos consecutivos encontra-se com freqncia na
                             Natureza.
                                 As sementes da pinha  fruto do pinheiro  esto distribudas em
                             espirais, umas no sentido horrio, outras no sentido anti-horrio. Se
                             contarmos todas as sementes de duas espirais que se interseccionam,
                             observa-se que esses nmeros esto na razo "8 para 13". Com as pro-
                             tuberncias da casca do abacaxi, a razo  "5 para 8". Num girassol,
                             contando-se as sementes, nas espirais que tm origem numa mesma
                             semente, encontram-se nmeros que esto na razo "34 para 55".
                                 Isto quer dizer que se encontram, na Natureza, elementos que guar-
                             dam uma das razes da seqncia: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21,
                             21/34, 34/55... Veja que cada termo da "seqncia de Fibonacci" foi di-
                             vidido pelo seu sucessor.
                                 Graas  "seqncia de Fibonacci", pode-se resolver questes sobre
                             nmero de sementes da pinha, sementes de girassol, folhas das plantas
                             tipo milho, nmero de coelhos num tempo determinado, por exemplo.
                             Tem-se, assim, um estudo "l" da Idade Mdia, com aplicaes, hoje,
                             na Agricultura, na Indstria, incluindo-se, aqui, produo de leos, tin-
                             tas, carne, vesturio, calados...
                                 Veremos, agora, uma relao muito interessante: Matemtica e Bio-
                             logia, atravs da "seqncia de Fibonacci". Alis, um professor pode-
                             ria desafiar seus alunos questionando a possibilidade de uma criao
                             de coelhos desenvolver-se com planejamento prvio, por exemplo.
170 Geometrias
                                                                                                     Matemtica

Montaria um cenrio onde o aluno pudesse se imaginar um autnti-
co "criador de coelhos", propondo-lhe uma sociedade, dizendo: "Va-
mos imaginar que nossa criao comece com um casal de coelhos re-
cm-nascidos, e todos os casais que teremos iro procriar, todos os
meses, um novo casal, mas a partir do segundo ms de vida". O pro-
fessor poderia ir mais longe, ainda. Ele e seu "aluno scio", atravs de
situaes matemticas desafiadoras, assumiriam o compromisso de for-
necer "carne de coelho" para uma Instituio Beneficente que abriga                   No sculo XV, Johan Mul-
um total de "x" crianas, por exemplo. Como saber, aps determina-                   ler (1436-1476), mais co-
do tempo, com quantos casais de coelho poderiam contar, para hon-                    nhecido pelo nome de Re-
rar o compromisso que assumiram. Professor e alunos poderiam en-                     giomontanus, escreveu,
volver Nutrio e Animais, atravs de "n" atividades. Exemplifico: "um               em 1464, a obra De Trian-
levantamento sobre os nutrientes da carne de coelho"; "pesquisando                   gulus Omnomodis (O tratado
                                                                                     dos tringulos). Esta obra 
a relao alimento - construo do corpo"; "buscando, nas cincias da
                                                                                     considerada como o primeiro
sade, a relao entre sistema digestrio e sistema digestivo"; "relacio-
                                                                                     livro europeu que trata a Tri-
nando as fontes de vitamina B2 e B6 e as conseqncias da falta des-                 gonometria independente da
sas vitaminas". Mas, tudo inserido no cenrio do Sculo XXI.                         Astronomia. Ainda, no scu-
    Responda:  possvel associar a "seqncia de Fibonacci" com a                   lo XV, foi construda a primei-
ARTE?                                                                                ra tbua trigonomtrica, por
    A respeito da "seqncia de Fibonacci", tem impressionantes apli-                um matemtico alemo, nas-
caes em Fsica, onde os nmeros de Fibonacci surgem por constru-                   cido na Baviera, chamado
                                                                                     Peurbach.
o proposital e do resultados interessantes, como, por exemplo, em
ptica.
    Mas, por falar em Fsica, voc j ouviu falar em "microtubos"? J ou-            Georg Joachim Rhaeti-
viu falar em Penrose, o fsico ingls que foi orientador do famoso Ste-              cus (1514-1576) publicou,
phen Hawking? Ele  um especialista em "buracos-negros" e tem rea-                   em 1551, um tratado com
lizado estudos sobre a "conscincia". Nesses estudos, esto envolvidos               uma introduo trigonomtri-
"microtubos", "processos qunticos" e... a "seqncia de Fibonacci"                  ca que apresentava, pela pri-
                                                                                     meira vez juntas, as seis ra-
    Mas, voltemos  Trigonometria, no sculo XII. Fibonacci escreveu
                                                                                     zes trigonomtricas, alm
a obra Practica Geometriae (1220), apresentando importantes aplica-                  de tabelas de senos, tangen-
es de Trigonometria. So aplicaes que havia aprendido em conta-                  tes e secantes.
tos feitos com rabes e hindus.
    A propsito, Rhaeticus foi aluno de Nicolau Coprnico. Ah, "as seis
razes trigonomtricas", voc conhece, muito bem, no  mesmo?



                PESQUISA

     Fazendo uma pausa, consulte obras sobre a Histria da Matemtica. Voc ver como  fascinante.


   Hoje em dia, a Trigonometria no se limita        O nome "trigonometria" foi usado pela primeira vez por Barto-
a estudar somente tringulos, suas aplicaes       lomeu Pitiscus (1561-1613), em seu livro Thesaurus Mathema-
abrangem outros campos de atividades como,          ticus, como sendo a cincia da resoluo de tringulos.


                                                           Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 171
       EnsinoMdio

                             por exemplo, na Topografia (descrio de uma localidade); na Enge-
                             nharia (construo de pontes sobre rios), envolvida com o conceito de
                             proporcionalidade; na Astronomia (clculo da distncia da Terra  Lua,
                             da Terra ao Sol e do dimetro da Terra), usando-se observaes e cl-
                             culos trigonomtricos.  aplicada, tambm, na Agrimensura (arte de
                             medir os campos, as terras), na ptica, na Fsica (estudo de desloca-
                             mento, por exemplo), nas medidas de alturas (com base nas medidas
                             dos comprimentos das sombras), ...


                                Algumassituaesondesepode
                                aplicaratrigonometria

                     ATIVIDADE
                                                                                             A
     1. CONSTRUO DE PONTES                                                          10 m
                                                                                                 9m
                                                                                                  E
         Situao-problema: Nas condies da figura ao                                D
                                                                                                      18 m

     lado, como se poder determinar o comprimento de                             x                     C

     uma ponte que vai ser construda sobre o rio?
                                                                              B




     2. ASTRONOMIA
        Situao-problema: H um certo momento em que a Lua, a Terra e o Sol formam, praticamente,
     um tringulo retngulo:




        Como voc verificaria que a distncia da Terra  Lua  pelo menos 50 vezes menor que a distncia
     da Terra ao Sol?


172 Geometrias
                                                                                     Matemtica


3. AGRIMENSURA
    Situao-problema: Um agrimensor precisa determinar a distncia en-
tre dois pontos, A e C, que se situam em lados opostos de um mesmo rio.
Sabe que, uma pessoa posicionada no ponto B, a uma distncia x do ponto
A, e no mesmo lado do rio onde fica o ponto A, enxerga, sob um ngulo de
85o, o ponto C a uma distncia igual a 100 m. Sobrevoando o local, em um
helicptero, percebe que AC  perpendicular  AB. Que procedimento de-
veria ser adotado pelo agrimensor?


4. FSICA (Grandezas Vetoriais)
     Situao-problema: Como se poderia determinar       +    , numa
situao na qual o vetor , com 6 unidades de comprimento, faz um n-
gulo de 30 com o eixo X positivo, e , com 8 unidades de comprimen-
to, faz um ngulo de 60o com o eixo X positivo?




5. SITUAES DO DIA-A-DIA


   a) Situao-problema: Um observador est em A e ne-
      cessita calcular sua distncia at um ponto inacess-
      vel B. Os nicos dados que o observador possui es-
      to apresentados na figura ao lado. Caso voc estivesse
      com este desafio, contando com os conhecimentos que
      j possui, como resolveria a situao em referncia?



   b) Situao-problema: Supondo que seja possvel consultar uma tabela trigonomtrica, use o
      esquema abaixo para calcular a distncia entre os pontos A e B.




                                                         Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 173
       EnsinoMdio

                         Agora, ateno, quero que conhea o grego Tales (624-554 a.C.).
                         Nasceu em Mileto, por isso mesmo  mais conhecido como Tales
                     de Mileto. Sobressaiu-se como filsofo, matemtico e astrnomo.
                         Por volta do ano 600 a.C., o sbio grego Tales de Mileto fez uma
                     viagem ao Egito. O fara j conhecia sua fama de grande matemtico.
                     Dizia-se, por exemplo, que Tales era capaz de calcular a altura de uma
                     construo, por maior que fosse, sem precisar sub-la.
                         Por ordem do monarca, alguns matemticos egpcios foram ao en-
                     contro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma pi-
                     rmide. Tales ouviu-os com ateno e se disps a atend-los, pronta-
                     mente. J no deserto, prximo  pirmide, o sbio fincou no cho uma
                     vara, na vertical. Observando a posio da sombra, Tales deitou a vara
                     no cho, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o ta-
                     manho do seu comprimento. Depois, voltou a vara  posio vertical.
                         - Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco pode-
                     rei dar a resposta.
                         Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num
                     determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento
                     da vara. Tales disse ento aos egpcios:
                         - Vo depressa at a pirmide, meam sua sombra e acrescentem
                     ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma  a altu-
                     ra exata da pirmide (GUELLI, 1993, p.6).
                         Absolutamente, no se trata de truques nem de segredos, mas de
                     um conhecimento de Geometria, usado para resolver uma questo
                     prtica.
                         Veja como Tales procedeu.
                         No momento em que a vara e sua sombra tm exatamente o mes-
                     mo tamanho, formam um tringulo semelhante ao outro tringulo que,
                     por sua vez,  formado pela pirmide e por sua sombra. Por semelhan-
                     a de tringulos, Tales deduziu que a altura da pirmide  igual  som-
                     bra mais a metade da base.
                         A situao pode ser representada pelos tringulos imaginrios:


                                                          Sendo:
                                                          B/2 : metade do lado da base da
                                                          pirmide
                                                          b: comprimento da vara
                                                          S: comprimento da sombra da pi-
                                                          rmide
                                                          s: comprimento da sombra da vara
                                                          x: altura da pirmide



174 Geometrias
                                                                                                Matemtica

   Como os raios solares so paralelos, os tringulos so semelhantes.
Logo, os lados dos tringulos so proporcionais.
   Ento, Tales fez o seguinte:

                                        B
                                   x    2
                                   b

                                                      Como Tales conhecia os valores de b, B, S e s,
                                                  calculou o valor de x.
                                                      Depois de toda esta conversa, vamos supor
                                                  que o comprimento da sombra de um edifcio
                                                  seja igual a 3 m, num instante em que o compri-
                                                  mento da sombra de uma rvore de 1,20 m  de
                                                  60 cm. Usando o procedimento adotado por Ta-
                                                  les, veja como calcular a altura da rvore:



                          0,60 x = 3 x 1,20 (propriedade fundamental das propores)
        x   1,20
        3   0,60          0,60 x = 3,60
                          x=6m




                 ATIVIDADE

    DESAFIO
     Agora, voc deve estar em condies de voltar quele pinheiro que, atacado por cupins, precisa
 ser derrubado, a no ser que tenha encontrado uma soluo para "vencer" os cupins e salvar o pinhei-
 ro. Suponha que a casa tem 3m de altura e o comprimento de sua sombra, num determinado momen-
 to mede 1,80 m, ao mesmo tempo em que o comprimento da sombra do pinheiro mede 6m. Neste ca-
 so, verifique se  possvel derrubar o pinheiro, que est a uma distncia de 11m da casa, sem destru-la,
 usando o procedimento anterior.


    SUGESTO PARA UM FINAL DE SEMANA ENSOLARADO
     Com um cabo de vassoura e uma fita mtrica, determine a altura da sua casa, de um prdio, de uma
 rvore ou poste, utilizando o processo de Tales.




                                                              Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 175
       EnsinoMdio

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                     ANOTAES




176 Geometrias
                                        Matemtica



ANOTAES




            Seficar,ocupimcome...setirar,acasacai? 177
       EnsinoMdio




178 Geometrias
                                                                                                         Matemtica




                                                                                                   13
                                                              QUAL MATEMTICA
                                                             EST PRESENTE NO
                                                            RESGATE DO bARCO?             Donizete Gonalves da Cruz1




                                                            Um grupo de pessoas sai num barco para um
                                                            passeio e, por motivos desconhecidos, o barco
                                                            se perde e o grupo fica  deriva em alto mar. O
                                                            grupo possui apenas um aparelho de rdio, que
                                                            emite somente sinal UHF (ultra-alto Freqncia),
                                                            impossibilitando a comunicao verbal. Em terra
                                                            organiza-se uma equipe de resgate, que segue em
                                                            um avio que, alm do tempo limitado para o so-
                                                            brevo, possui somente um rdio com capacidade
                                                            para captar sinais emitidos do barco, tambm em
                                                            UHF. Mas no existe, na equipe de resgate, ne-
                                                            nhum profissional especializado no exerccio de
                                                            resgate. H, porm, um professor de Matemtica
                                                            que, utilizando-se do conhecimento matemtico,
                                                            contribuiu para que o resgate fosse concretizado.
                                                            Em sua opinio, como isso ocorreu?




Colgio Estadual Loureiro Fernandes - EFM - Curitiba - PR
1




                                                                     QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 179
       EnsinoMdio

                         Na tentativa de busca dos problemas enfrentados, o homem, em
                     muitas situaes, encontrou na matemtica meios que viabilizaram so-
                     lues.  comum, em algumas regies africanas, os pescadores seca-
                     rem peixes dispondo-os em volta de uma fogueira para que todos se
                     aqueam por igual, procurando coloc-los ao longo de uma curva,
                     todos  mesma distncia do fogo. So os conhecimentos matemti-
                     cos, mais precisamente o conhecimento geomtrico, contribuindo pa-
                     ra a soluo de problemas.
                          De incio, a geometria foi empregada na medio dos campos de
                     cultivo e nas primeiras construes de edifcios. Os seus avanos ocor-
                     reram a partir de estudos desenvolvidos pelos gregos, enfatizando o
                     aperfeioamento de trabalhos de medidas de outros povos.
                         Historicamente, mudanas acontecem e novos conceitos surgem,
                     como, por exemplo, o mtodo de Descartes, que introduz o sistema de
                     coordenadas  que vocs j conhecem - e o de representar, em forma
                     de curva plana, qualquer equao algbrica de duas incgnitas, que
                     vocs vero na seqncia deste texto. Dessa forma, Descartes introduz
                     no cenrio da Geometria, a Geometria Analtica. Na concepo carte-
                     siana, a Geometria Analtica, aplicando o mtodo das coordenadas, es-
                     tuda os objetos geomtricos por meios algbricos.
                         Temos contato com objetos do cotidiano, usados pelas pessoas,
                     que apresentam formato de uma circunferncia. O movimento dos
                     ponteiros de um relgio segue um movimento circular e desenha,
                     em seu percurso, uma circunferncia. Outros objetos, como moedas e
                     CDs, muito presentes em nosso meio, tambm apresentam o mesmo
                     formato.
                         Em tantas situaes do dia-a-dia, deparamo-nos com rodas ou rota-
                     es com caractersticas que nos lembram a circunferncia.
                         O que  a circunferncia? Quais so seus elementos?
                         Vamos procurar respostas! Elas contribuiro para solucionar nosso
                     problema principal.
                         Imaginamos um ponto, figura 1, e supomos que ele seja fixo. Nessa
                     situao, podemos admitir que um conjunto de pontos, em um plano,
                     que eqidistam (se voc no lembra... dicionrios so ferramentas efi-
                     cientes) do ponto fixo, seja uma circunferncia. O ponto fixo  o cen-
                     tro da circunferncia.




                                                      Figura 1: idia de circunferncia



180 Geometrias
                                                                                                     Matemtica

    possvel termos uma idia sobre alguns elementos da circunferncia. Observe os dese-
nhos da figura 2 e faa um exerccio de linguagem matemtica, procurando definir estes ele-
mentos, a partir da observao das figuras.




                                            Figura 2: representao de elementos da circunferncia



                ATIVIDADE

    Agora, compare a linguagem de suas definies com a linguagem padro da Matemtica, justifican-
 do com respostas escritas.
    O dimetro  uma corda?
    Todo dimetro  uma corda?
    Toda corda  um dimetro?
    Os pontos pertencentes ao dimetro pertencem  circunferncia?
    Os pontos pertencentes  circunferncia pertencem ao dimetro?
    Qual  a sua idia de arco?
    O arco  um segmento de circunferncia?
    No seu ponto de vista, a afirmao "O arco possui apenas dois pontos"  falsa ou verdadeira?
    Os pontos de um arco pertencem tambm  circunferncia?
    Circunferncia possui lado de dentro e lado de fora? Possui pontos internos e pontos externos? O
 que significa, para voc, "lado de dentro" e "lado de fora"?
     Um segmento que sai do ponto mdio da corda e vai a um ponto qualquer da circunferncia pode
 ser considerado uma flecha?


                                                     QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 181
       EnsinoMdio

                                 Dando seqncia ao nosso trabalho, vamos relembrar um conceito
                             importante: lembra do Teorema de Pitgoras?
                                 No contexto de estudo que envolve circunferncias no podemos
                             deixar de abordar a Equao Reduzida da Circunferncia e Equao
                             Geral ou Desenvolvida da Circunferncia, pois as mesmas se revelam
                             importantes para realizarmos operaes com ou sobre elementos da
                             circunferncia.
                                 Vejamos:




                                                                                       Observe a figura 3 e procure in-
                                                                                   terpret-la, acompanhando os pas-
                                                                                   sos abaixo, para chegar  cons-
                                                                                   truo que se obter da "equao
                                                                                   reduzida" de uma circunferncia.




                           Figura 3: circunferncia no plano cartesiano




       Se voc observar com ateno,
   perceber que a figura 4, translada-
   da da Figura em destaque e interna
    circunferncia no Plano Cartesia-
   no, representa um tringulo retn-
   gulo. Assim, usando o conhecido
   Teorema de Pitgoras, tem-se:
             (PC)2 = (AC)2 + (PA)2
       A distncia do ponto P ao pon-
   to C  o raio da circunferncia, por-
   tanto podemos chamar o segmen-
   to     de r.
       A distncia do ponto A ao pon-                       Figura 4: tringulo retngulo transladado da circunferncia do Plano Carte-
                                                            siano da figura 3
   to C  chamada de (x  a) e a dis-
   tncia do ponto P ao ponto A 
   chamada de (y  b).

182 Geometrias
                                                                                          Matemtica

    Portanto, uma circunferncia que possui um ponto P(x,y),
um centro C(a,b) e raio r, sendo r > 0, ter a equao reduzida
r2 = (x - a)2 + (y - b)2.



                ATIVIDADE

    a) No caso de termos o centro da circunferncia coincidindo com a origem do plano cartesiano,
 qual ser a equao reduzida da circunferncia? Demonstre-a.
     b) Utilizando as informaes contidas no desenvolvimento deste trabalho, e sabendo que para ob-
 ter a equao da circunferncia precisamos da coordenada do centro e a medida do raio, encontre a
 equao reduzida da circunferncia de centro em (-1, 4) e raio de 4 cm.




    Na linguagem matemtica, o outro tipo de equao da circunfern-
cia  denominada de Equao Geral ou Desenvolvida da Circunfern-
cia. Essa equao  obtida a partir da equao reduzida da circunfe-
rncia r2 = (x - a)2 + (y - b)2.


  Vamosentendercomoseefetuaesse
  desenvolvimentomatemtico?
1. Baseados em conceitos matemticos j estudados, temos que de-
   senvolver a equao reduzida r2 = (x - a)2 + (y - b)2.
2. O desenvolvimento se d seguinte maneira:
   r2 = (x - a) . (x - a) + (y - b) . (y - b).
3. Aps realizar as multiplicaes, temos:
   x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2.
4. Podemos subtrair em ambos os membros da equao o termo r2,
   obteremos o que denominamos equao geral da circunferncia,
   ou seja, x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, que apresenta um pon-
   to P(x,y) e centro C(a,b).
5. Podemos chamar o termo - 2ax de x, o termo - 2by de y e
   a2 + b2 - r2 de Y. Assim, a equao se escreve como x2 + y2 + x + y +
   Y = 0. A partir dessa generalizao,  possvel identificar se uma equa-
   o representa ou no uma circunferncia.




                                                  QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 183
       EnsinoMdio

                                  Para que uma equao do tipo x2 + y2 + x + y + Y = 0 represen-
                               te ou no uma circunferncia, deve apresentar um raio r e um ponto
                               C (a,b).
                                  Tal constatao d-se do seguinte modo: comparando a equao
                               do item 4 com a equao do item 5, por meio de desenvolvimentos
                               matemticos, tem-se:
                                               =
                                    x = - 2ax = > a = - ;
                                                       2

                                               =
                                    y = - 2by = > b = -       ;
                                                          2

                                   Y = a2 + b2 - r2 ==> r2 = a2 + b2  Y ==> r = a2 + b2 + Y .


                     ATIVIDADE

        Agora  com voc
         Diante do estudo feito at agora, e das infor-
     maes que voc j tem, investigue as respos-
     tas para as indagaes abaixo:
        a) Qual  a equao de circunferncia cujo
           centro  C (-1, 4) e o raio  de 4 cm.
        b) A equao (x  6)2 + (y + 2)2 = 25 repre-
           senta uma circunferncia?
        c) Qual  a equao normal, geral ou de-
           senvolvida da circunferncia que pos-
           sui raio de 2 cm e centro na coordenada
           (-1, 3)?
        d) Na figura ao lado temos arcos contidos
           nas circunferncias que tm o lado do tri-
           ngulo retngulo como dimetro. Encon-
           tre a equao dessas circunferncias.




                                  Vamos voltar ao nosso problema inicial e avanarmos no estudo
                               dos sinais UHF e VHF? Sabe o que  o sinal UHF e VHF?
                                  UHF  uma sigla proveniente do termo ingls ultra high frequency,
                               que significa Freqncia ultra alta. Serve para designar faixa de trans-
                               misses de sinais, sendo comum para programaes de sinais, como
                               de televiso e de rdio.
                                  Antes de seguirmos,  necessrio entender que os sinais UHF e
                               VHF so caracterizados como ondas eletromagnticas. As ondas ele-
                               tromagnticas so geradas a partir da propagao de um campo ele-

184 Geometrias
                                                                                                           Matemtica

tromagntico. Para entender o mecanismo pelo qual se forma as on-
das eletromagnticas, imaginamos uma carga eltrica; um eltron, por
exemplo; oscilando em torno de um ponto do espao. Decorrente
desses movimentos de oscilao desse eltron (e) temos a gerao de
um campo oscilante, que de acordo com uma das leis de Maxwell,
se acopla a um campo , associado ao eltron. Esta situao pode ser
ilustrada pela figura 5, a seguir.
    "Desse modo, mediante a gerao seqen-
cial e alternada de campos magnticos e el-
tricos, o campo eletromagntico se propaga
no espao, atingindo regies cada vez mais
distantes do ponto em que o eltron oscilou"
(AMALDI, 1992, p. 381).




    H linhas de campo     circulando em torno
 de um campo varivel.


    H linhas de campo     circulando em torno
 de um campo varivel.
                                                                        Supondo que as
                                                                       cargas vem e vo.
                                                  Figura 5: Ilustrao do processo de gerao de um campo eletromagntico

    Essas so leis de Maxwell que falam sobre os acoplamentos dos
campos e numa onda eletromagntica.
    Aps esse processo de gerao o campo eletromagntico passa ter
existncia autnoma e se propaga pelo espao, autogerando-se inde-
pendente da fonte que o produziu. Essa propriedade de transio que
torna um campo eletromagntico independente de sua fonte gerado-
ra caracteriza o que denominamos de onda. O campo eletromagnti-
co se propaga como uma onda, o que permite caracteriz-lo como on-
das eletromagnticas. Essas, no precisam de um meio material para se
propagar, podendo inclusive se propagarem no vcuo.
    Assim, as ondas de rdio so caracterizadas como ondas eletromag-
nticas e so instrumentos extremamente rpidos e versteis para vei-
cular informaes  pequenas e grandes distncias. Tomamos, aqui, a
definio de onda segundo Amaldi (1992, p. 223), que a define como "per-
turbao que se propaga no espao. Ela transmite energia e no ma-
tria". As ondas apresentam freqncia decorrente do nmero de os-
cilaes por segundo que ela desempenha. A relao matemtica que
calcula a freqncia de uma onda  dada por f = 1 , em que f  a Fre-
                                                    t
qncia, cuja medida  dada em Hertz (Hz), e t  a unidade de tempo
dada em segundos. As ondas, cuja medida apresenta freqncia supe-
rior a 20 000 Hz, so chamadas de ultra-sons. Para que uma onda ele-

                                                 QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 185
       EnsinoMdio

                              tromagntica possa transportar informaes contidas em palavras, sons
                              e imagens, h a necessidade de modul-la. A modulao  um proces-
                              so pelo qual se modifica algumas caractersticas dessa onda, transfor-
                              mando-a em um sinal.



                                Masqualarelaoentreossinais
                                UHFcomasoluodoproblema?
                                  Este  um fato relevante para a soluo de nosso problema, pois,
                              a distncia do barco ao avio, considerada em termos de transmisso
                              de sinal de rdio,  relativamente pequena. O sinal emitido e recebido
                              pelos rdios em questo "apresenta um comportamento quase linear".
                              Outro ponto a destacar  que a transmisso do sinal em que estamos
                              tratando "proporciona um melhor desempenho na presena de rudos
                              e de sinais interferentes" (LATHI, 1979, p. 218-221). Enfatizamos que os rdios
                              emissores e receptores de sinais UHF possuem, em seus mecanismos
                              de funcionamento, um discriminador balanceado pelo qual  possvel
                              ajustar a emisso e recepo de modo que proporcionem uma exce-
                              lente linearidade na trajetria dos sinais. Isso significa que quando o
                              rdio do avio captar pela primeira vez o sinal proveniente do barco
                              e o avio continuar voando na mesma direo, num determinado mo-
                              mento, perder o sinal. O captar pela primeira vez o sinal, para ns,
                               um ponto. No momento que perder o sinal, teremos um outro pon-
                              to. Podemos dizer que captar o sinal  o ponto do barco que chama-
                              remos de centro de uma circunferncia e, perder o sinal, o outro pon-
                              to, que, aqui diremos pertencente  circunferncia.


                     ATIVIDADE

        Agora  com voc !!!
        Use os conceitos que abordamos nas figuras 1 e 2 e continue a construir uma resposta ao problema.




                     PESQUISA

         Evidentemente, que o estudo da acstica, cujos sinais de UHF e VHF so objetos de estudo, no
     se esgota aqui, bem como no so muito comuns ao nosso cotidiano, mesmo que diariamente vemos
     televiso e ouvimos rdio. Portanto, justifica-se outra pesquisa para buscarmos respostas e relaciona-
     mentos com nosso problema.




186 Geometrias
                                                                                                           Matemtica


      Portanto...
      a) Investigue sobre a diferena entre sinal UHF e VHF.
      b) Realize uma entrevista com um tcnico procurando descobrir o mecanismo de funcionamento
         de uma estao de rdio.


    Vocs viram at aqui, nessa produo, que os pontos que perten-
cem a uma circunferncia eqidistam de um ponto denominado cen-
tro da circunferncia.
    Este centro pode ser caracterizado como um ponto de equilbrio?
    Para responder a essa questo, observe o desenho a seguir.
    Temos um tringulo inscrito na circunfe-
rncia. Foi feito o seguinte: traou-se dois seg-
mentos. Um deles parte do ponto A em direo
ao ponto B, este ltimo, ponto mdio do seg-
mento DE. O outro, parte do ponto D e vai ao
ponto C, ponto mdio do lado AE do tringu-
lo. Os segmentos AB e CD se interceptam no
ponto F, denominado baricentro do tringulo
ou centro de equilbrio e  chamado centro de
gravidade do tringulo. Tambm demarcou-se
trs pontos pertencentes  circunferncia, a sa-
ber, G, H e I. Os segmentos GH e IH so cor-
das da circunferncia. Em seguida, construiu a
mediatriz de GH e a mediatriz de IH. Uma de-
finio matemtica diz que toda mediatriz de
uma corda passa pelo centro de uma circunfe-
                                                                     Figura 6: centro de gravidade do tringulo inscrito
rncia. Isso significa que, quando preciso en-
contrar o centro de uma circunferncia, cons-
truo pelo menos duas mediatrizes e marco sua interseo. O ponto de
interseco das mediatrizes  o centro da circunferncia. O centro de
gravidade do tringulo inscrito, na figura 5, coincide com o centro da
circunferncia.


                    ATIVIDADE

      Boa pergunta!!!
       No caso da figura 5, podemos dizer e comprovar que o centro da circunferncia que circunscreve
  o tringulo  tambm seu centro de gravidade? ( ) SIM ( ) NO. Justifique.
      Se voc pegar uma figura circular, descobrir seu centro e coloc-la sobre uma ponta fina, ela se
  manter suspensa, por conta de se apoiar no objeto no seu ponto central? Rena-se em grupo com os
  colegas, faam essa experincia e escrevam a resposta.



                                                            QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 187
       EnsinoMdio

                         Antes, voc j tinha ouvido falar em ponto de equilbrio? Sabia que
                     a terra possui o seu baricentro, o seu centro de equilbrio ou centro de
                     gravidade? Que um carro possui seu centro de equilbrio? Enfim, tan-
                     to a matria viva quanto a matria inaminada possui seu centro, pon-
                     to de equilbrio.


                       Enonossoorganismo,comoissosereflete?
                       Qualpontodeequilbriodenossocorpo?
                         Descobrir o centro de gravidade do organismo humano  um as-
                     sunto pesquisado h muito tempo.
                         Leonardo Da Vinci (1452  1519) realizou estudos sobre as propor-
                     es corporais. Considerava o corpo humano como uma obra arqui-
                     tetnica e, a partir desta sua crena, procurou analisar seus pontos de
                     equilbrio. O resultado de seus estudos revela que o centro de gravi-
                     dade  CG  do organismo humano, situa-se prxima  regio do um-
                     bigo.
                         O fsico italiano Borelli, no ano de 1650, tambm realizou estudos
                     buscando encontrar o CG do corpo humano. Para esse cientista, este
                     centro se encontrava entre a pbis e a genitlia.
                         Os irmos Weber, no ano de 1836, aperfeioaram o mtodo de Bo-
                     relli e concluram que o CG humano situa-se a 56,8 % da medida da
                     estatura da pessoa a considerar dos ps acima.
                         Outros pesquisadores que realizaram estudos para determinar o lo-
                     cal exato do CG humano foram Broune e Fischer, no ano de 1889. Es-
                     ses estudiosos chegaram  concluso que o CG humano se localiza 
                     54,8 % da medida da estatura da pessoa a considerar dos ps acima.
                         Voc pode estar se perguntando, qual a importncia do centro de
                     gravidade do organismo humano? Aqui, vamos nos ater a uma funo
                     pela qual  muito vlido conhecer o centro de gravidade do organis-
                     mo humano, a prtica corporal.  o centro de gravidade do organis-
                     mo que regula todos os movimentos executados pelo nosso corpo. 
                     onde se concentra o peso, resultado da ao da gravidade sobre nos-
                     so organismo.
                         Nossas atividades posturais estticas e dinmicas so reflexos do
                     equilbrio proporcionado que advm do CG. Nas prticas corporais,
                     executamos movimentos de translao e rotao que dependem di-
                     retamente do equilbrio proveniente do nosso centro de gravidade. O
                     movimento de translao do organismo se d quando nos movimenta-
                     mos ao redor de um objeto. O movimento de rotao  quando exer-
                     cemos movimentos em torno do nosso corpo, da nossa coluna ver-




188 Geometrias
                                                                                                                           Matemtica

tebral. Podemos citar alguns movimentos que dependem do nosso
centro de gravidade, tais como: a execuo do saque numa partida de
voleibol; as aes fsicas exigidas numa partida de handebol; a corrida,
o salto e a queda dos atletas que saltam  distncia; a fora do altero-
filista ao levantar a barra; o salto do atleta para transpor a altura da va-
ra no salto em altura e a corrida, o drible, o chapu, a defesa e o chu-
te numa partida de futebol.
     Outro exemplo  o salto em barreira. Uma das aplicaes do CG
corporal  o salto do atleta pela barreira. Quando um barreirista per-
de contato com o solo, aps o emprego da fora para o salto, a trajet-
ria do seu CG se encontra definida. Entretanto, de acordo com os mo-
vimentos do corpo, o CG adquire trajetrias diferentes. Isso pode ser
observado na figura 6.
     Se no momento que o corpo estiver no ar, como ilustrado na figu-
ra 7, o corredor elevar seu tronco, conseqentemente, leva sua massa
corporal para cima e, por conseguinte, seu CG. Mas, essa elevao no
significa que ocorre alterao na trajetria do CG, pois nosso organis-
mo no contraria as leis da Fsica. Na verdade, o que acontece  a su-
bida do CG em relao ao corpo do corredor.
     Se o corpo descer em relao  trajetria do CG, como resultado o
atleta ter dificuldade para transpor a barreira. Se inclinar o tronco 
frente, seu CG abaixa em relao ao corpo. Isso representa a subida
do corpo em relao  trajetria do CG, o que facilita a passagem do
membro inferior e reduz a resistncia do ar. Como conseqncia, dimi-
nuir a possibilidade de choque com a barreira. Pode-se dizer que mi-
nimiza a oscilao do CG no plano sagital e permite, ao corredor, exe-
cutar de forma bem sucedida o salto.




 Figura 7  Posies do CG segundo distribuio da massa corporal do organismo.
                                                                                        Figura 8  O tronco e suas influncias na posio
                                                                                        relativa do CG dos saltos de barreiras, na fase a-
                                                                                        rea da passagem.




                                                                          QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 189
       EnsinoMdio



                     ATIVIDADE

         Voc sabe onde est localizado seu centro de gravidade? Existe uma frmula matemtica que diz
     que o centro de gravidade de uma pessoa, em estimativa e em centmetro, calcula-se a partir da regio
     plantar (a partir dos ps). A frmula : CG = (0,557 x altura) + 1,4 cm. Com colegas e sob a orienta-
     o do professor, encontre o local do seu centro de gravidade.


                                 O assunto que nos trouxe a estudar o CG do organismo  nosso
                             problema inicial, ou seja, encontrar o barco que est perdido no mar.
                             Puxamos o assunto de CG do organismo humano, relacionando o cen-
                             tro de gravidade de um tringulo inscrito numa circunferncia na fi-
                             gura 5. Agora, vamos voltar ao nosso problema e tentar solucion-lo.
                             Aqui, fica uma sugesto de resoluo do desafio.
                                 Se voc tem outras solues, com usos diferentes do conhecimento
                             matemtico ou outro conhecimento, apresente-as para a turma.
                             1 Um ponto B, numa folha de papel, representa o barco  deriva.
                             2 Um outro ponto seria o A. Nesse ponto, o rdio do avio capta o 1o
                                 sinal emitido pelo rdio do barco.
                             3 Traa-se a circunferncia de centro em B e que contm o ponto A.
                             4 A seguir, visando situar o ponto (B) de onde parte o sinal, o avio
                                 se pe a sobrevoar a regio, em movimentos circulares. Nesse pro-
                                 cesso, ele perde o sinal enviado pelo barco. Tem-se, nesse instan-
                                 te, o ponto C.
                             5 No instante em que  restabelecida a captao do sinal, entre o bar-
                                 co e o avio, significa que a posio do avio dista do barco igual
                                 distncia entre os pontos A e B.
                             6 Atendendo exigncias tcnicas e tempo mnimo, traa-se a corda
                                 que une A e C, pontos pertencentes  circunferncia.
                             6 Usando-se o conhecimento matemtico, construmos a mediatriz,
                                 passando pelo B e o ponto mdio de AC.
                             7  evidente que o avio deve seguir pela mediatriz rumo ao centro
                                 (B). Seguindo em direo contrria ao centro, perder o sinal, sen-
                                 do necessrio reiniciar o processo.




190 Geometrias
                                                                                         Matemtica

 RefernciasBibliogrficas
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 ObrasConsultadas
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 DANTE, L. R. Matemtica Contexto & Aplicaes. So Paulo: tica, 1999.
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 MELLO E.; CUNHA, G. N. Curso de Desenho Geomtrico e Elementar. So Paulo: Livraria Fran-
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 RIVERA, F.; NEVES, J.; GONALVES, D. Traados em Desenho Geomtrico. Rio Grande: editora
 da Furg, 1986.


 DocumentosConsultadosONLINE
 FERREIRA, M. S. Aplicao de alguns conceitos biomecnicos  tcnica de passagem de
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 GRAA, W. C. Centro de gravidade: equilbrio corporal. Disponvel em : < http://winston.allhosting.
 com.br/ >. Acesso em: 23 abr. 2006.




                                                QualMatemticaestpresentenoresgatedobarco? 191
       EnsinoMdio




            I          TratamentodaInformao
            n            Quantas vezes voc teve que tomar decises na vida? Muitas, no?
                     Nesses momentos, parou para pensar e calcular sobre as chances de
                     tomar decises corretas?


            t            O conhecimento matemtico contribui para voc tomar decises.
                     Mas, o conhecimento matemtico sempre esteve pronto e acabado de
                     forma que as pessoas pudessem, por meio dele, tomar tais decises?
                     O homem, na sua trajetria histrica pela busca da resoluo de


            r        seus problemas, criou um sistema de numerao para controlar a
                     quantidade de coisas que possua ou que produzia. Usando objetos
                     que encontrava em seu entorno, como pedrinhas, ns em corda e
                     tambm, referncias corporais, foi possvel chegar ao que chamamos,


            o
                     hoje, de conjuntos numricos. Assim, as operaes comuns passaram a
                     ter novas maneiras de serem realizadas, como a contagem de grupos de
                     objetos, ou seja, subconjuntos, nos quais se obedece a uma condio
                     dada. Este foi o terreno propcio para se desenvolver um conhecimento
                     matemtico como meio para resolver problemas que exigem anlises e

            d        interpretaes. Dessa forma, criou-se uma rea da Matemtica que trata
                     de problemas de contagem exigindo clculos elaborados e englobando
                     uma grande variedade de tcnicas de resoluo.
                         Aqui vamos chamar essa rea da Matemtica de Tratamento da

            u        Informao. Para voc, estudante, esse conhecimento  muito
                     importante, pois lhe d condies de realizar leituras crticas dos fatos
                     que ocorrem em seu entorno, interpretar informaes expressas por
                     meio de tabelas, grficos, dados percentuais, indicadores e conhecimento

                    das possibilidades e chances de ocorrncia de eventos. Isso se revela
                     necessrio, pois vivemos um momento histrico caracterizado pela
                     facilidade e rapidez no acesso s informaes. Ao mesmo tempo,
                     exigindo o desenvolvimento do esprito crtico, a capacidade de analisar

                    e tomar decises em tantas situaes da vida em sociedade.




            o
192 Introduo
                                                                             Matemtica




                                                                             M
    Dessa forma, o ensino da Matemtica deve ter o compromisso
de contemplar a organizao de dados, leitura de grficos e anlises
estatsticas. Alm disso, dever lhe propiciar o desenvolvimento de seu
                                                                             A
                                                                             T
raciocnio combinatrio. Esse raciocnio poder auxili-lo a lidar com
maior segurana e criatividade com problemas de carter aleatrio.
    Isso se revela de fundamental importncia diante de recursos
tecnolgicos inovadores, nos quais a presena das imagens  cada vez


                                                                             E
maior na atualidade. O texto Leitura, Imagem e Informao, por meio
de questes relacionadas ao emprego e/ou desemprego, apresenta
situaes para a construo de conceitos estatsticos. Alm disso, busca
mostrar que, por meio das imagens,  possvel uma leitura rpida, mas
que tambm  possvel manipular informaes.
    No texto Arte de Contar, so abordados aspectos histricos da contagem
em situaes variadas que envolvem o raciocnio combinatrio, como
na lgica das placas dos carros, dos nmeros de telefone, no jogo da
                                                                             M
Mega-Sena e, inclusive, em fatos relacionados  natureza.
    O texto Sonho Assegurado?, apresenta, por meio da prtica de
seguros de carros, o contedo de probabilidade. Aborda alguns
aspectos histricos relacionados aos seguros dos navios em tempos
                                                                             
de naufrgios e aos jogos de azar. Com a inteno de provocar uma
reflexo, levanta algumas questes relacionadas  tica, uma vez que
esta pode interferir no curso natural de fatos que acontecem no nosso
dia-a-dia.
                                                                             T
    Considerando o mundo em constante mudana, so imprescindveis
conhecimentos que auxiliem uma rpida leitura e que possibilitem
agilizar a tomada de deciso e fazer previses que podem influenciar
na vida pessoal e, tambm, na sua comunidade.
                                                                             I
                                                                             C
                                                                             A
                                                                                          193
       EnsinoMdio




194 TratamentodaInformao
                                                                                                             Matemtica




                                                                                                      14
                                                                 LEITURA, IMAGEM E
                                                                      INFORMAO
                                                                                        Loreni Aparecida Ferreira Baldini1

                                                                 Faa uma leitura da seqncia de figuras a se-
                                                                 guir:




                                                                 O que esta seqncia de figuras est represen-
                                                                 tando?
                                                                 Dentro das figuras, observe os coraes e as
                                                                 maletas. O que eles representam?
                                                                 Discuta com sua turma.
                                                                 Voc sabe ler uma imagem?
                                                                 Qual a importncia da imagem nos dias de hoje?


Colgio Estadual Padre Jos de Anchieta - EFM - Apucarana - PR
1




                                                                                       Leitura,ImagemeInformao 195
       EnsinoMdio

                                 O mundo vive o momento da imagem. Com a ascenso da tecno-
                             logia, o aumento da informao  crescente nos ltimos tempos. Com
                             isso, as formas de leituras tambm esto mudando. As diferentes ima-
                             gens, vistas atravs de outdoors, panfletos, revistas ou jornais, apare-
                             cem cada vez com maior freqncia. Alm de saber ler textos, ler nas
                             entrelinhas, ler o contexto,  preciso saber ler as imagens.


                               Comochegamosaessestiposdeleituras?
                                 Na sua evoluo, a escrita mostrou-se de diferentes formas. A mais
                             comum foi a chamada escrita pictrica, cujos registros eram por meio
                             de figuras. Por algum tempo, a escrita foi considerada uma tecnologia
                             que permitia registrar a fala, para que outros pudessem receber as pa-
                             lavras que a distncia e/ou o tempo os impediam de escutar.
                                 Estudos sobre a linguagem mostram que a escrita no  apenas
                             uma mera transcrio da fala, mas  tambm transcrio de uma idia
                             ou de um pensamento. Existem outras tecnologias que podem regis-
                             trar a fala e outros tipos de linguagem e cdigos.
                                 Ao assistir um teatro ou uma dana  preciso fazer a leitura e a in-
                             terpretao de muitos gestos ou de uma imagem, por exemplo. As-
                             sim, saber ler  tambm saber ler e interpretar as imagens, como gr-
                             ficos e tabelas.


                               Qualaimportnciadelergrficosoutabelas?
                                 Os diversos tipos de grficos fazem parte da nossa vida. Para se ter
                             uma compreenso mais ampla e crtica da realidade,  necessrio sa-
                             ber ler e interpretar tabelas e grficos, caso contrrio, deixamos de re-
                             ceber a informao ou corremos o risco de no interpretar corretamen-
                             te as situaes neles representadas.
                                 Um desafio!
                                 Vamos entrar no argumento estatstico, ler grficos e tabelas, e ten-
                             tar entender algumas questes referentes ao emprego e/ou desempre-
                             go da populao brasileira.



                  ATIVIDADE

         Uma ferramenta importante para a compreenso, anlise, previso e tomadas de deciso de inme-
     ras situaes na nossa vida  a Estatstica.
           Voc j participou de alguma pesquisa de opinio?



196 TratamentodaInformao
                                                                                                                          Matemtica


     Veja uma situao que representa o resultado de uma pesquisa.
    Trinta alunos de uma turma do Ensino Mdio de um colgio do estado do Paran foram entrevista-
 dos a respeito do vnculo empregatcio de seus pais. Os dados obtidos esto organizados na tabela a
 seguir:
                               Empregados com
                                                                         Autnomos contribuintes                         Total
                               carteira assinada
                         SIM                    NO                      SIM                     NO
         Me              9                        9                       -                       3                      21
         Pai              16                       9                       -                       4                      29
         Total            25                       18                      -                       7                      50
                                   Pesquisa aplicada numa turma do 3 ano do EM, do Colgio Estadual Pe. Jos de Anchieta, Apucarana-PR.
    Uma tabela organizada em linhas e colunas permite uma primeira anlise das informaes. Vamos
 analisar essa tabela.
        Qual a proporo de pessoas sem carteira assinada? E dos trabalhadores autnomos sem con-
         tribuio para a Previdncia Social?
        Qual a importncia de ter carteira assinada ou ser contribuinte com a Previdncia?
        Considerando a tabela,  possvel saber quantas pessoas esto desempregadas? Verifique.
    Nesta pesquisa foi possvel entrevistar todos os alunos dessa turma, pois se trata de um grupo pe-
 queno. Nas pesquisas o grupo observado  chamado de Populao.


    Para coletar informaes, seria possvel entrevistar toda populao de
uma Nao?
    Para alguns tipos de informaes, como a do vnculo empregatcio
da comunidade, no  possvel entrevistar toda populao. Entrevis-
ta-se apenas um grupo, chamado de amostra, que ir representar to-
da populao.
    Por meio da amostra  possvel observar e analisar o comportamen-
to de toda uma populao e tirar concluses.
    Mas ser que uma populao se refere apenas a pessoas? Ou pode ser um
conjunto de elementos com caractersticas similares?


                 ATIVIDADE

     Elabore estratgias para coleta de dados, para uma pesquisa por meio de amostra.
     a) Organize sua turma em grupos e faa uma pesquisa para compreender a realidade do mundo
        do trabalho que ela est inserida. Para isso, pesquise quantas pessoas nas famlias esto em-
        pregadas e/ou desempregadas; ou ainda, quantos jovens trabalham sem carteira assinada.
     b) Construa uma tabela com os dados desta pesquisa e apresente em painis para as demais tur-
        mas.
     c) Ser que sua turma  uma amostra dos resultados que seriam obtidos na sua escola? E sua
        escola seria uma amostra de sua cidade? E sua cidade uma amostra...


                                                                                               Leitura,ImagemeInformao 197
       EnsinoMdio



                     PESQUISA

         O que  uma amostra tendenciosa? Ser que os resultados das pesquisas podem mudar em
     funo da amostra? Reflita.



                     DEBATE

        Ter carteira assinada  condio para a cidadania? Organize um debate na sua turma sobre este tema.

                                 O trabalho dignifica o homem!!! Voc j ouviu esta frase?
                                 Ela se tornou um ditado popular. Voc acredita nisso?
                                 Trabalho todas as pessoas fazem, mas emprego, nem todas tm. O
                             ndice de desemprego  alto. Uma pessoa desempregada, bem como
                             sua famlia, enfrentam muitas dificuldades. O mercado de trabalho exi-
                             ge cada vez mais pessoas qualificadas que competem por um nmero
                             cada vez menor de vagas de trabalho.
                                 Devido a ascenso tecnolgica, surgem novas profisses nos mais
                             diversos ramos e setores, exigindo profissionais que saibam lidar com
                             a complexidade e que se adaptem rapidamente s novas mudanas.
                                 Por outro lado, a revoluo tecnolgica, nas suas diferentes fases,
                             tem grande influncia nos altos ndices de desemprego. Contribui pa-
                             ra a extino de algumas profisses e de algumas "vagas", como o ca-
                             so dos bancrios que em algumas regies, foram dispensados em fun-
                             o da insero dos terminais eletrnicos. Quando ocorrem situaes
                             como esta, em massa, chamamos de desemprego estrutural.
                                 Uma pesquisa realizada em seis regies metropolitanas pela PME -
                             Pesquisa Mensal de Emprego, mostra que em janeiro de 2005 existiam
                             aproximadamente 19,5 milhes de pessoas ocupadas. Essa pesquisa
                             estimou que entre as pessoas ocupadas, 56,6% so homens e que as
                             mulheres continuam sendo a minoria, 43,4%.
                                 Uma tabela construda pela distribuio de freqncias de acordo
                             com suas variveis pode auxiliar melhor a compreenso dessas infor-
                             maes. Neste caso, o nmero de homens e mulheres  uma vari-
                             vel discreta porque s pode assumir valores dentro do conjunto dos
                             nmeros naturais.

                     PESQUISA

        1 Questo:
        Pesquise como  chamada a freqncia na qual cada varivel  representada por um nmero.

198 TratamentodaInformao
                                                                                         Matemtica


    2 Questo:
    E como  chamada a freqncia que representa a razo entre o nmero pesquisado de cada vari-
 vel em relao ao todo?
    a) Organize os dados e construa uma tabela com duas colunas a partir das questes acima e das
       informaes mostradas pela pesquisa PME-2005.
    b) Pesquise o que  uma varivel contnua e em que situaes se apresentam.

   No momento de arrumar um emprego existe o processo de seleo em relao a vrios as-
pectos, entre eles,  mulher e  idade. A pesquisa mencionada revela que, entre as pessoas em-
pregadas, 63,8% esto na faixa etria de 25 a 49 anos. Alm disso, indica que 49,6% possuem
11 anos ou mais de estudos e que esse ndice cresceu significativamente de 2003 para 2005.



                 ATIVIDADE

    a) Com base nesses dados, quais as projees que podero ser feitas para o futuro em relao 
       idade? E em relao  escolaridade?
    b) Discuta a relao existente entre estudo e emprego.
    c) A expectativa de vida do brasileiro , em mdia, aproximadamente de 72 anos. Qual a expecta-
       tiva de empregos para uma pessoa com idade acima de 50 anos? Reflita!


    A mdia muitas vezes apresenta resultados de pesquisas que parecem distantes da nossa re-
alidade, sabe por qu? Ao observar um grfico ou uma mdia, temos que estar atentos a vrias
informaes, que muitas vezes no so to evidentes. Analise a situao a seguir.
    Numa empresa escolheram-se, ao acaso, cinco empregados para se fazer um estudo acerca
dos salrios. Obtiveram-se os seguintes resultados:
     Empregado               A                B                C          D               E
  Salrios por ms        R$ 540           R$ 420           R$ 600     R$ 480         R$ 1800




                 PESQUISA

    Como  calculada a mdia aritmtica? E a mediana, como  obtida? No se lembra? Investigue.
    Analise as informaes obtidas na tabela anterior e verifique:
       Os cinco empregados estariam de acordo com a informao de que a maioria dos empregados
        dessa empresa tem um salrio igual  mdia?
       Qual a melhor forma de representar os salrios nesta empresa, a mdia ou a mediana? Por
        qu?



                                                                       Leitura,ImagemeInformao 199
       EnsinoMdio

                                 Tem-se, ainda, outra pesquisa realizada pela Seade/Dieese - Funda-
                             o Sistema Estadual de Anlises de Dados/Departamento Intersindi-
                             cal de Estatstica e Estudos Scio-Econmicos - nas principais capitais,
                             mostrando que, em 2004, os mais afetados pela queda na oferta de tra-
                             balho foram os jovens com idade entre 18 e 24 anos.
                                  Os jovens so particularmente atingidos pelo desemprego estrutu-
                             ral, pela descontinuidade entre o aprendizado profissional e o ingres-
                             so na carreira.
                                 Alm disso, as pesquisas apontam que muitos jovens do continui-
                             dade nos estudos por falta de emprego e por exigncia do mercado.
                                 Analise a situao representada na tabela a seguir.
                                 Feito uma pesquisa numa empresa de porte mdio constatou-se,
                             entre seus funcionrios, os seguintes nveis de escolaridade:


                                    Ensino           Fundamental             Mdio      Superior
                                 Empregados               10                  19          25



                                Nestecaso,pode-seobservaraModa?
                                Masafinal,oqueaModa?
                                 O valor da amostra que representa a populao que tem a maior
                             freqncia, ou seja, que aparece o maior nmero de vezes  chama-
                             do de Moda.
                                 As pesquisas revelam que a maior possibilidade de arrumar empre-
                             gos est relacionada ao grau de escolaridade. Dessa maneira, para se
                             ter um emprego a moda ... estudar!!!


                                EparaserPatro?
                                 A tabela  uma forma de organizar os dados obtidos numa pesqui-
                             sa, mas nem sempre ela permite que se veja rapidamente o que ela in-
                             dica. Entretanto, os grficos apresentam os resultados e permitem uma
                             leitura mais rpida e de fcil compreenso.



                     ATIVIDADE

           Quais os tipos de grficos que voc conhece? Onde voc os encontra?
           Busque em revistas ou jornais os diferentes tipos de grficos.
           Faa a leitura desses grficos e relacione-os com as informaes.


200 TratamentodaInformao
                                                                                                   Matemtica



                 DEBATE

     Analisemos o grfico ao lado,
 em que a PME do IBGE  Instituto
 Brasileiro de Geografia e Estatstica
  registrou a taxa de desemprego,
 ou melhor, de desocupao, como
  tratado pelo IBGE, nas principais
 capitais.
       Faa um paralelo entre as
        informaes que esse gr-
        fico mostra e as que ele
        poderia mostrar. Compare
                                                                                    Fonte:http://www.ibge.gov.br
        com seus colegas.
       Segundo o IPEA  Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada  no mundo existe em torno de
        um bilho de pessoas desempregadas ou subempregadas. Na sua opinio, quais fatores con-
        tribuem para a efetivao desses ndices?

    Grande parte dos trabalhadores brasileiros sonha com a estabilidade no emprego e com os
salrios em ascenso. Vamos refletir sobre a mdia dos salrios em algumas capitais.


                 ATIVIDADE

     O grfico, ao lado, mostra o re-
 sultado de uma pesquisa realizada
 pelo IBGE, em seis regies metro-
 politanas do Brasil e refere-se ao
 salrio do brasileiro.
      Compare os salrios repre-
       sentados no grfico acima.
       Houve uma estabilidade?
       Em que perodo os salrios
        foram crescentes? E de-                                              Fonte:http://www.ibge.gov.br
        crescentes? Por qu? O que estava acontecendo para que isso ocorresse?
       Qual o salrio mdio recebido pelas pessoas investigadas no ms de janeiro de 2005?
       Podemos afirmar que toda populao brasileira, ocupada, em janeiro de 2005, recebia um sal-
        rio mdio de R$ 919,80? Justifique.
       Discuta com os colegas da turma e verifique se essa mdia  condizente com o salrio das pes-
        soas do seu convvio.
       O Dieese  um rgo que trabalha com dados e estatstica. Este rgo tem uma estimativa pa-


                                                                           Leitura,ImagemeInformao 201
        EnsinoMdio


                ra o salrio ideal. Informe-se.
               Voc deve ter percebido que os grficos trazem uma diversidade de informaes e o indivduo,
                para receb-las, precisa ter habilidades e percepo espacial para lidar com imagens. Afinal, por
                meio de um grfico  possvel at manipular informao.



                                            Voc sabia que o resultado de uma pesquisa pode ser apresentado num
                                        grfico, de maneira em que o leitor no leia determinadas informaes?
                                            Para melhor entender, vamos analisar algumas situaes represen-
                                        tadas nos grficos.

                                           Situao 1
                                           Os dois grficos abaixo apresentam os ndices do desemprego num
                                        determinado perodo.

   12                       Taxa de desemprego                                                Taxa de desemprego

                                                                        20

   11

                                                                        14



   10
                                                                        8




        Julho      Agosto    Setembro   Outubro   Novembro   Dezembro        Julho   Agosto    Setembro   Outubro   Novembro   Dezembro



                                            O que aconteceu com o desemprego, no grfico 1? E no grfico 2?
                                            Qual deles melhor retrata a realidade? Por qu?
                                            Eles usam a mesma escala? Em que isso implica?

                                            O uso da escala pode ter grande influncia na leitura e interpre-
                                        tao da informao retratada num grfico. Os grficos apresentados
                                        so exemplos disso. Eles retratam a mesma informao, no entanto, no
                                        grfico 1  possvel visualizar melhor as bruscas variaes ocorridas,
                                        enquanto o grfico 2 possibilita o entendimento de que a taxa do de-
                                        semprego sofreu pequenas variaes, ou seja, quase esteve constan-
                                        te no perodo.

                                           Situao 2
                                              Este  o grfico de Radar, mostra a composio do salrio de trs
                                        funcionrios de uma empresa. Veja a seguir:


202 TratamentodaInformao
                                                                                          Matemtica

                                                        Ele permite uma interpretao direta ou
                                                    indireta? Rpida? Precisa? Confusa?
                                                     Qual informao abrangeu maior rea? O
                                                       que representa?
                                                     Qual o funcionrio com maior tempo de
                                                       servio na empresa? Existe algum funcio-
                                                       nrio com pouco tempo de servio nes-
                                                       ta empresa?
                                                     Investigue uma outra maneira de cons-
                                                       truir um grfico, no plano cartesiano,
                                                       com essas informaes para facilitar sua
                                                       leitura e interpretao dos dados. Cons-
                                                       trua esse grfico.
                                                     Investigue situaes viveis para a cons-
                                                       truo de grfico de Radar e represen-
                                                       te-a.

   Situao 3
   Voc j conhece esse tipo de grfico ao lado?
Lembra-se de quando surgiu a escrita? Por meio
de figuras...
      chamado de grfico pictrico, permite
uma leitura rpida, mas  preciso tomar cui-
dado para verificar se ele est representando
corretamente as informaes.
   Vamos refletir sobre o salrio de duas pes-
soas como representa o grfico.
    Quem tem maior salrio, a pessoa 1 ou a 2?
    Quanto a mais? O dobro, o triplo? Como saber?
    Se neste grfico forem consideradas apenas duas dimenses, como
    est representado e, se as bases e as alturas forem o dobro uma da
    outra, o que ocorre com sua rea?
    Mas, pensando em um saco cheio de dinheiro percebemos as trs
    dimenses. Considerando tambm que as trs dimenses aumen-
    tam na mesma proporo, o que acontece com o seu volume?
    Ser que este grfico foi construdo com preciso, ou seja, propor-
    cionalmente?


                 ATIVIDADE

       Elabore um texto que apresente dados de alguma situao e sua representao num outro tipo de
   grfico, de maneira que voc possa obter todas as informaes com maior preciso e clareza.


                                                                        Leitura,ImagemeInformao 203
       EnsinoMdio

                                  Muitas vezes temos acesso s informaes, porm, temos que sa-
                              ber ler e interpret-las. Como vimos, os grficos podem facilitar ou di-
                              ficultar o acesso  informao. Pode, tambm, ocultar elementos im-
                              portantes.



                     DEBATE

        Discuta com sua turma sobre:
           De que forma os tipos de grficos estabelecem relao com os tipos de informao.
           Como escolher o tipo do grfico para melhor representar uma pesquisa.
           Como ler entrelinhas de um grfico.
           Qual a importncia da escolha da escala na construo de grficos e como ela deve ser utilizada?


                                  A contagem da populao, os nascimentos, a mortalidade, o em-
                              prego/desemprego, entre outros, so temas de estudo e debate da nos-
                              sa atualidade social e poltica, e a estatstica possibilita chegar a muitas
                              concluses. Atualmente j existem alguns software ou programas, co-
                              mo o Excel, que auxiliam a tabulao de dados e tambm a constru-
                              o dos grficos, permitindo maior rapidez e preciso.
                                  Ao considerarmos o mundo em rpida mudana um mundo de in-
                              formaes, como o que estamos vivendo,  imprescindvel ter noes
                              de estatstica. Muitas vezes tabelas e grficos sintetizam levantamentos;
                              ndices so comparados e analisados para defender idias.
                                  Afinal, ser que tudo que vemos numa imagem  verdadeiro?
                                  Analise as seguintes imagens:


                                                                            Veja estas barras,
                                                                            a do meio existe?




                                                                                   Quantas patas tem
                                                                                   este elefante?


204 TratamentodaInformao
                                                                                        Matemtica

    Mas aqui comea uma nova histria... Talvez relacionada  iluso de pti-
ca e ao nosso raciocnio espacial!


  ObrasConsultadas
   BARZOTTO, V.H.; GNILARDI, M. I. Mdia, Educao e leitura. Campinas,
   SP: Ed. Anhembi Morumbi e Associao Brasileira de Leitura, 1999.
   CAULOS. S di quando eu respiro. Porto Alegre: L&PM, 1976.
   CHAVES, E. O. C. A Tecnologia e os Paradigmas na Educao: O
   Paradigma Letrado entre o Paradigma Oral e o Paradigma Audiovisual.
   Campinas, SP: Ed. Anhembi Morumbi e Associao Brasileira de Leitura,
   1999.
   Enciclopdia. Clculo-Probabildiade. Imprensa Nacional  Casa da
   Moeda, 1989.
   LOPES, C. A. E. A Probabilidade e a estatstica no ensino fundamental:
   uma anlise curricular. Campinas 1998, p.134. Dissertao de Mestrado.
   LOPES, C. A. E. A estatstica e a probabilidade no currculo da escola
   bsica e a formao dos professores. Rio de Janeiro, 2003. Anais... IX
   Seminrio de Estatstica Aplicada.
   MAGNOLI, D. Globalizao: Estado nacional e Espao Mundial. So Paulo:
   Moderna, 1997.
   NACIMENTOS, E. G. Memria do fogo (I). Traduo: NEPOMUCENO, E.
   Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1983, 263 p.
   WHITAKER, D. Escolha da Carreira e Globalizao. So Paulo: Moderna,
   1997.


  DocumentosConsultadosONLINE
   A Figurinha de uma s Dimenso. Captulo 6. Disponvel em: http://www.
   universal.net.br. Acesso em: 18 out. 2005.

   Taxa de Ocupao. Comunicao Social. Disponvel em: www.ibge.gov.br.
   Acesso em: 05 set. 2005.

   COTTA, E. Desemprego iguala recorde histrico de 20,6% em SP;
   renda cai. Folha On-line. Disponvel em: http://www1.folha.uol.com.br.
   Acesso em: 18 out. 2005.

   Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada. Disponvel em: http://www.ipea.
   gov.br/. Acesso em: 23 out. 2005.




                                                                         Leitura,ImagemeInformao 205
       EnsinoMdio




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                                                                                                         Matemtica




                                                                                                  15
                                                                  ARTE DE CONTAR    Loreni Aparecida Ferreira Baldini1




                                                                  stamos to habituados com as pergun-
                                                                  tas do tipo:
                                                                     Quantas pessoas estavam l ...?
                                                                     Quantos dias faltam para acabar o
                                                                     ano?
                                                                     Quanto tempo  preciso para reali-
                                                                     zar um sonho?
                                                                     Quantos clculos so efetuados por
                                                                     um algoritmo?
                                                                     Quantos? Quantos? Quantos?...

                                                                  Nem paramos para pensar:
                                                                    Como podemos responder?
                                                                     sempre possvel responder imedia-
                                                                    tamente?
                                                                    Sempre precisamos contar?

                                                                  Mas afinal, o que  a contagem?
                                                                  Como ela surgiu?




1
 Colgio Estadual Padre Jos de Anchieta - EFM - Apucarana - PR


                                                                                                    ArtedeContar 207
       EnsinoMdio

                            A histria da matemtica nos revela que h muito tempo os pasto-
                         res controlavam a quantidade de ovelhas de seus rebanhos, estabele-
                         cendo correspondncia, um a um, entre pedras e ovelhas. Esse era um
                         dos modos comuns de fazer contagem.
                               Como era possvel relacionar pedras e ovelhas?
                               Num rebanho muito grande, como as ovelhas eram organizadas?
                               Em filas? Em grupos?

                             Conta a histria da matemtica que, na pr-histria, para fazer con-
                         tagem, alm de usar pedrinhas, tambm eram usadas conchas, gros
                         ou sementes, ns em cordas e marcas em ossos ou pedaos de madei-
                         ras. Mas ainda hoje, em algumas situaes, usamos marcar, muitas ve-
                         zes por agrupamento, para contar.
                                Voc j usou o tipo de marcao a seguir? Em que situaes?




                             Num perodo histrico, chamado de pr-histria o homem no
                         plantava, nem criava animais e, por isso, no tinha necessidade de
                         vender ou comprar. Nesse sentido, provavelmente as maneiras, pelas
                         quais registravam as quantidades, eram suficientes para atender suas
                         necessidades relacionadas  idia de contagem.
                             O modo de viver desses povos comparado, por exemplo, com o
                         nosso modo, passou por vrias mudanas e as marcaes, do tipo que
                         eram feitas, no deram mais conta de organizar as quantidades. O ho-
                         mem sempre pesquisou e inventou coisas novas na busca de melho-
                         ria de vida. E uma delas, a inveno dos nmeros, contribuiu para que
                         pudssemos registrar quantidades, ordenar, agrupar e contar. Dessa
                         forma, no conseguimos imaginar, atualmente, certas situaes sem os
                         nmeros:
                                 possvel fazer um calendrio sem nmeros?
                                 possvel gerenciar uma empresa sem nmeros?
                                 possvel desenvolver um sistema de comunicao sem nmeros?
                                 possvel que as tecnologias continuem se desenvolvendo sem
                                os nmeros?

                            Ao longo da histria, o homem utilizou vrios smbolos para repre-
                         sentar as quantidades. Com o aprimoramento desses smbolos, che-
                         gou-se aos idealizados pelos indianos e divulgados pelos rabes:
                                                 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9



208 TratamentodaInformao
                                                                                               Matemtica



                 PESQUISA

     O zero  um nmero? Faa uma pesquisa sobre a inveno do zero para responder esta questo.


                                                                                  0, 1, 2
   Posteriormente, com a inveno do zero e a ordenao destes al-
garismos, e por meio de diferenciados agrupamentos, podemos repre-              10, 11, 12, 20, 21, 22
sentar quantidades muito pequenas at as muito grandes, ordenar e               100, 101, 102, 110, 111, ...
contar.
                                                                                ...
   Como  possvel, com apenas dez smbolos, expressar a idia de infinitas
                                                                                10000100012, ...
quantidades?
   Agrupando apenas os algarismos 0, 1 e 2, quantos nmeros so                 ...
possveis formar? Veja o quadro  direita.
   Utilizando apenas trs smbolos, porm, organizando-os em dife-
rentes posies e em diferentes quantidades, temos infinitas represen-
taes de quantidades, as quais podem ser utilizadas para contagem.



                 DEBATE

     Que tipos de quantidades o infinito representa? Muito grande? Muito pequena? Justifique.


    Ns humanos, no conseguimos contar certas quantidades, no en-
tanto o computadores nos superam e conseguem contar quantidades
finitas muito grandes.
    Como determinar a quantidade de alguns agrupamentos de elementos de
um conjunto finito sem cont-los um a um?



                 ATIVIDADE

     Investigue a situao a seguir:
    Os meninos da rua onde Luana mora resolveram fazer placas para seus carrinhos de rolims. Luana
 props desenhar as placas desses carrinhos de acordo com as seguintes regras:
     1. Usar somente as letras X e Z.
     2. Usar somente os algarismos 1, 2 e 3.
     3. Cada placa deve ter uma letra e trs algarismos.



                                                                                            ArtedeContar 209
       EnsinoMdio


                              4. No pode ter algarismo repetido numa mesma placa.
                              5. A letra deve sempre vir primeiro.
                                     Quantas placas so possveis formar considerando as regras
                                     acima?
                                     E se fosse possvel repetir os algarismos, quantas placas pode-
                                     riam ser formadas?
                                     Faa um esquema e verifique as situaes acima.
                                     Seria possvel responder as questes anteriores sem registrar e
                                     sem contar uma a uma? Investigue.



                             A arte de arranjar ou combinar est presente, em muitas situaes
                         do dia-a-dia, na cincia e nas tecnologias. O estudo dessa arte teve seu
                         incio quando competidores de jogos de azar elaboraram processos ge-
                         rais, na busca de estratgias para vencer alguns jogos. Com isso, sur-
                         giu uma abordagem matemtica que trata da contagem, chamada "an-
                         lise combinatria", que estuda os diferentes tipos de agrupamentos e
                         que permite determinar as quantidades de elementos de um conjunto
                         finito, sem cont-lo um a um. Um dos aspectos desta abordagem  o
                         "princpio fundamental da contagem".
                             Dentro deste princpio existem alguns aspectos importantes. Anali-
                         se as situaes a seguir:
                             Para iniciar um jogo de computador  necessrio fazer uma sele-
                         o em cada um dos trs menus que ele apresenta. O primeiro menu
                         tem quatro opes de nmeros de jogadores; o segundo tem oito op-
                         es de nvel de dificuldade; e o terceiro tem seis opes de velocida-
                         des. Quantas configuraes possveis tm esse jogo?
                             Suponha que passado para a segunda fase, o jogador tenha agora
                         que escolher somente entre a opo de nvel de dificuldade ou de ve-
                         locidade. Quantas opes de escolha esse jogador teria?
                                 Compare as estratgias utilizadas para a soluo da situao 1 e 2.
                                 Investigue como so chamados os princpios envolvidos nas
                                 duas situaes e discuta com sua turma.
                                 Investigue outras situaes que envolvem estes dois princpios.

                            Procurando entender estes princpios, analisemos algumas situa-
                         es reais que envolvem a contagem.




210 TratamentodaInformao
                                                                                                 Matemtica

    Anteriormente, por volta da dcada de 1960, as placas de carros
eram formadas somente por um algarismo que representava a cidade;
neste caso o 7, seguido de duas dezenas.
    Depois houve uma mudana no sistema e as placas passaram a ter
duas letras seguidas de quatro algarismos.
    Neste sistema, as duas letras indicavam a cidade. Nele, se algum
cometesse alguma negligncia no trnsito, s de olhar para as letras
iniciais da placa, uma vez que nem sempre  possvel ler as letras pe-
quenas que indicam o nome da cidade, as pessoas brincavam "tinha
que ser de..." (nome da cidade).

    Atualmente, como so formadas as placas dos carros?
    Qual a lgica do sistema nacional de emplacamento?
    O que representa as letras iniciais?
    Com o aumento da frota de veculos, as placas na dcada de 1990
tiveram nova mudana, passaram a ter trs letras seguidas de quatro
algarismos e, hoje as letras so estabelecidas por estado brasileiro. As
letras que podem ser usadas so as 23 do nosso alfabeto e ainda: k, w
e y, e os algarismos de 0 a 9.
    O novo sistema comeou especificamente na cidade de Curitiba, e
por isso, no Paran, as placas iniciam-se com as letras A e B.




                 ATIVIDADE

     Escreva algumas placas de carros e observe se uma placa pode diferir de outra apenas porque
     apresenta um elemento diferente, ou por ter os mesmos elementos com ordem trocada.
     Sem considerar regras existentes para estados ou cidades, quantas placas eram possveis formar
     utilizando duas letras do alfabeto e quatro algarismos? E se utilizar trs letras e quatro algarismos?
     Compare e discuta os resultados.




                                                                                            ArtedeContar 211
       EnsinoMdio



                     ATIVIDADE

        A seguir so apresentadas as condies reais de emplacamento no sistema atual para alguns
     estados.

                                Paran: AAA 0001 a BEZ 9999

                                So Paulo: BFA 0001 a GKI 9999

                                Minas Gerais: GKL 0001 a HOK 9999

                                Rio Grande do Sul: IAQ 0001 a JDO 9999

                                Bahia: JKS 0001 a JSZ 9999

           Quantos carros so possveis emplacar, nessas condies, em cada um desses estados?
            Nesse sistema, existem placas nas quais os algarismos sejam todos iguais a zero?
           Organizem-se em grupos e investigue as condies para os demais estados, de modo a deter-
           minar as possibilidades de emplacamento para todos os estados brasileiros.
           De acordo com o sistema de emplacamento, trs letras e quatro algarismos, e considerando as
           letras que podem ser utilizadas em cada estado, quantos veculos podem ser emplacados no
           Brasil?
           Se houver aumento da frota de veculos, o que  mais vivel: aumentar as letras ou os algaris-
           mos? Por qu?
           Verifique se na sua cidade tem carros com outras iniciais e discuta por que isso acontece.
       Respeitando a letra inicial de cada estado,  permitido escolher as letras e at os algaris-
     mos para uma placa de carros, desde que voc pague uma taxa.
           Investigue quantas placas  possvel formar com as iniciais de seu nome.




                                A combinatria est presente nas vrias reas do conhecimento, in-
                            clusive na natureza. Nela, encontramos materiais nos estados fsicos
                            slidos, lquidos e gasosos; assim como em vrias cores ou texturas.
                                Na mesma forma que combinamos as letras para formar palavras
                            com os mais diferentes significados, a natureza e o homem tambm
                            combinam os elementos qumicos formando as mais diferentes subs-
                            tncias. Como nem todas as combinaes (no sentido de ordenar ou
                            agrupar ...) de letras formam palavras significativas, nem todas as com-
                            binaes de tomos formam substncias reais.




212 TratamentodaInformao
                                                                                            Matemtica

    Os tomos de diferentes elementos combinam-se, em vrias pro-
pores, para formar compostos. A quantidade dos elementos qumi-
cos que entram na formao dos compostos deve ser definida, como
numa "receita culinria", que para dar certo, devemos respeitar as pro-
pores.  o que diz, em outras palavras, a Lei das Propores De-
finidas: na formao de um determinado composto, seus elementos
constituintes combinam-se sempre na mesma proporo de massa, in-
dependentemente da origem ou modo de preparao do composto.
    Assim, para obtermos gua num laboratrio, devemos combinar hi-
drognio e oxignio sempre na mesma proporo, isto , na razo de
dois tomos de hidrognio para um tomo de oxignio. Ou ainda, a
quantidade de hidrognio tem que ser o dobro da quantidade de oxi-
gnio, no pode ser mais e nem menos.



               DEBATE

 Voc j tinha pensado sobre o que a frmula da gua H2O, representa?
    Com base no que foi descrito acima, reflita sobre o que a frmula da gua representa e discuta com
    sua turma.



    Poderamos bancar o "cientista maluco" ou um alquimista e fazer
as mais variadas combinaes de substncias na tentativa de descobrir
novos compostos; como transformar todos os metais em ouro; inven-
tar a "frmula" do amor; a "frmula" da felicidade; a "frmula" da ju-
ventude; a "frmula" da imortalidade, etc.
    Porm, por meio da Cincia Matemtica, da Qumica e com auxlio
das tecnologias, j sabemos que nem todas as combinaes sero pos-
sveis num laboratrio e no acontecem na natureza.


  Vocsabiaqueascombinaesdecertos
  aminocidosformamocdigogentico
  responsvelpelanossavida?
    Voc j percebeu em crianas traos que lembram seus pais? Ou
pessoas de uma mesma famlia com certos tipos de doenas? Por que
isso ocorre?




                                                                                        ArtedeContar 213
       EnsinoMdio

                            O DNA - cido desoxirribonuclico, encontrado nas clulas de to-
                         dos os seres vivos - possui o cdigo gentico de cada indivduo,  co-
                         mo um manual de instrues das clulas.




                             A molcula do DNA  composta por duas fitas e nucleotdeos que
                         se ligam por quatro bases nitrogenadas, Adenina  A, Guanina  G, Ci-
                         tosina  C e Timina  T.
                             O cdigo gentico dado pela fita de DNA  traduzido em seqn-
                         cias de aminocidos que codificam as protenas. Esse passo, DNA
                         protenas,  dado pela molcula de RNA, cido ribonuclico, que 
                         produzido a partir de um DNA, mas com composio distinta, forma-
                         do pelas quatro bases: Adenina  A, Guanina  G, Citosina  C e Ura-
                         cila  U.




214 TratamentodaInformao
                                                                                             Matemtica



               ATIVIDADE

    Existem 20 aminocidos, que so codificados por uma seqncia de trs bases nitrogenadas, den-
tre as quatro bases A, G, C e U, formando as protenas necessrias para o corpo.
   Analise o seguinte esquema:

                                        A seqncia, ao lado, permitir ver que existe mais de um agru-
                                        pamento para cada aminocido, como AAA e AAG  o amino-
                                        cido Fenilalanina.
                                        Utilizando a mesma lgica do A, complete a seqncia ao lado,
                                        para U, C e G, e verifique quantos agrupamentos so possveis
                                        formar.
                                        Organizem-se em grupos e investigue o nome dos aminocidos
                                        e a importncia das protenas para o nosso organismo.




               ATIVIDADE

   Voc conhece a calculadora cientfica?
   J observou a tecla n!
       Experimente digitar o algarismo 3 e apertar esta tecla. Faa o mesmo com o 4, o 5, o 6...
       Registre os valores obtidos.


   Vamos pensar em outra situao:
       Tendo trs cubos de cores diferentes, de quantos mo-
       dos  possvel orden-los, utilizando sempre os trs? E
       se fossem quatro cubos de cores diferentes? E cinco?
       E seis? E...?
       Registre os valores obtidos.
       Compare os resultados obtidos, usando a calculado-
       ra, com as possveis ordenaes dos cubos e discuta
       com sua turma.
       Investigue o que significa n!. Afinal, esse conceito pode-
       r auxiliar muito as prximas atividades.




                                                                                         ArtedeContar 215
       EnsinoMdio



                     ATIVIDADE

        E se no utilizssemos todos os cubos na hora de agrupar,
     como seria? Analise.
            Se tivssemos 3 cubos, de cores distintas, de quantos
            modos diferentes poderamos agrup-los usando ape-
            nas 1 de cada vez?
            Se tivssemos 4, tambm de cores distintas, e ussse-
            mos apenas 2? E 5, usando apenas 3? E...?
            Em relao aos cubos, compare as estratgias utiliza-
            das nessa atividade com a anterior.




                               Mas,esehouvessecuboscomcores
                               repetidas,comoseria?Investigue
                                Para proporcionar uma rede de telecomunicaes mais capacitada
                             para futuros crescimentos, recentemente uma das operadoras aumen-
                             tou para 8 dgitos os nmeros de telefones fixos de vrias regies do
                             Brasil, adicionando o algarismo 3.


                               Oacrscimodoalgarismo3nosdgitos
                               dostelefonesfixosaumentatambmas
                               possibilidadesdenmerosdetelefones?
                                 Algumas informaes nos ajudaro a analisar melhor esta situao.
                             No sistema de numerao de telefones, cada assinante possui um c-
                             digo de acesso, o nmero do telefone, como costumamos dizer, que 
                             discado quando a ligao  local. Normalmente os trs ou quatro d-
                             gitos iniciais correspondem ao prefixo, e os quatro ltimos ao nme-
                             ro do assinante. Mas quando pretendemos nos comunicar com algum
                             de outra regio, temos que digitar um outro cdigo para que a ligao
                             seja direcionada para tal local. O regulamento desta numerao defi-
                             ne o zero como Prefixo Nacional, ou seja, o primeiro dgito a ser dis-
                             cado numa chamada para longa distncia. Portanto, no existe prefixo
                             regional comeado com zero.




216 TratamentodaInformao
                                                                                              Matemtica



                ATIVIDADE

    Considerando as informaes anteriores, responda:
        Quantos nmeros de telefone de 7 dgitos so possveis formar, utilizando os 10 algarismos?
        Tendo agora 8 dgitos, devido o acrscimo do algarismo 3 no primeiro dgito, quantos nmeros
        so possveis formar? Investigue e compare os resultados.
        Investigue os prefixos de sua cidade e verifique quantos nmeros de telefones so possveis for-
        mar com o sete dgitos e depois com 8 dgitos, no ltimo caso, considere o 3 no incio. Em se-
        guida compare com o nmero de habitantes da cidade.
        Se ao invs do 3 o algarismo fosse outro, haveria diferena?
        Existem nmeros de telefones repetidos em cidades diferentes? Discuta com os seus colegas.




                ATIVIDADE

    A exploso dos telefones mveis no Brasil  crescente, cerca de 7,574 milhes de pessoas j pos-
 suem celulares.
        Se uma operadora possui os prefixos 95, 96, 97, 98 e 99 para uma determinada regio, quan-
        tos nmeros de telefone de 8 dgitos so possveis formar?
        Investigue na sua turma quantos estudantes possuem celulares e quais os prefixos. Utilizando
        esses diferentes prefixos, quantos nmeros de telefones so possveis formar?




  Vocconhecealgumque,natentativa
  deficarrico,costumaapostaremjogos
  deazar?
   Ficar rico  uma das coisas que muita gente quer. Para isso,
muitas pessoas trabalham, estudam e at fazem uma "fezinha"
na Mega Sena. Devido aos grandes prmios oferecidos, este jo-
go sempre despertou muito interesse na populao.




                                                                                          ArtedeContar 217
       EnsinoMdio

                              Seria possvel descobrir uma estratgia para
                              ganharnaMegaSena,oupelomenosmelhorar
                              aschances?
                              Vamos analisar o jogo da Mega Sena e, com isso, desenvolver o
                           raciocnio combinatrio.
                              Neste volante so apresentadas as regras para jogar:


                                 Informaes importantes:
                                Como e quem pode apostar?
                                 Voc pode escolher de 6 a 15 nmeros entre os 60 do volante. A aposta
                             mnima, de 6 nmeros, custa R$ 1,50. Quanto mais nmeros voc escolher,
                             maiores so as chances de ganhar e maior  o preo da aposta. Veja a tabe-
                             la abaixo. Confira seu bilhete no ato da aposta. Segundo a lei, apenas maio-
                             res de 18 anos podem apostar.
                                Qual o preo das apostas?
                                 Qtde. de nmeros           6        7         8         9        10
                                         Valor             1,50    10,50    42,00     126,00    315,00



                             03 - 07 - 28 - 35 - 47 - 56        Escolher as dezenas na hora de jogar
                             03 - 07 - 28 - 35 - 56 - 47     quase sempre  um momento de muita
                                                             indeciso. Veja, por exemplo, alguns mo-
                             03 - 07 - 28 - 56 - 47 - 35
                                                             dos diferentes de escolher as mesmas de-
                             07 - 03 - 28 - 35 - 47 - 56     zenas.
                             28 - 07 - 03 - 35 - 47 - 56        Se estas forem sorteadas, todos que
                             03 - 07 - 35 - 28 - 47 - 56     apostaram nelas ganharo o prmio.




                     DEBATE

           A ordem dos elementos constitui o mesmo grupo, ou seja, a uma mesma aposta ou palpite?
           Para jogar, importa a ordem em que as dezenas foram escolhidas?
           Existem possibilidades das dezenas serem sorteadas mais de uma vez?
           Compare essa situao com o tipo de agrupamentos das placas de carros ou dos telefo-
           nes. O que h em comum nos agrupamentos? E de diferente?




218 TratamentodaInformao
                                                                                          Matemtica

   Os aspectos envolvidos no Jogo da Mega Sena caracterizam um ti-
po de agrupamento, chamado "Combinao".




                ATIVIDADE

    Vamos agora analisar as possibilidades de ganhar na Mega Sena.
        Quantas apostas diferentes de 6 dezenas um jogador da Mega Sena deve fazer para que ele
        possa ter total garantia de ser um ganhador?
        Se uma pessoa apostar 7 dezenas, de quantos modos diferentes ela estar concorrendo? E se
        apostar 8? E se apostar 9? E se apostar 10?
        Compare o nmero de modos que concorrem as apostas de mais de 6 dezenas com o valor a
        ser pago da tabela.
        Quanto uma pessoa vai pagar se apostar em 15 dezenas?




   Alm de concorrer ao prmio mximo da Mega Sena, o apostador
concorre no mesmo volante a outros prmios: a quina, para aqueles
que acertam 5 dezenas e a quadra, quem acerta quatro dezenas.
   Num jogo simples de 6 dezenas, da Mega Sena, o apostador con-
corre  quina com 5 dezenas. Para ser o ganhador, 5 dezenas devero
estar entre as 6 dezenas escolhida para aposta e 1 dezena dever estar
entre as 54 dezenas no escolhidas.




                ATIVIDADE

        Uma pessoa que joga na Mega Sena, um jogo simples, de quantos modos diferentes estar
        concorrendo  quina? E a quadra?
        Algum que joga em 10 dezenas, de quantos modos diferentes estar concorrendo  quina e a
        quadra?
        Se um jogador estiver disposto a apostar R$ 42,00 na Mega Sena, o que compensa mais, fazer
        um nico jogo de 8 dezenas ou fazer os jogos simples de 6 dezenas?
        A situao anterior tambm  vlida para a quina? E para a quadra? Investigue, calculando as
        possibilidades.




                                                                                      ArtedeContar 219
        EnsinoMdio

     Curiosidade
    O verso do volante da Me-
                                     Analisando as situaes reflita sobre o que
    ga-Sena traz a probabilida-      significaterumachanceemcinqentamilhes
    de de uma pessoa acertar na
    sena ou na quina ou na qua-
    dra. Veja:
    Qual a probabilidade que te-                   PESQUISA
    nho de acertar?
    Segundo as probabilidades          Observe quantas vezes o nmero de habitantes do Brasil  maior que o
    matemticas, fazendo a apos-       nmero de resultados possveis do sorteio e verifique as suas chances
    ta mnima, a chance de acer-       em relao ao pas todo.
    tar a quadra  de 1:2 332,
                                       Por que a chance de acertar a quadra  de 1:2 332 e quina 1:154 518?
    a quina  de 1:154 518 e a
    sena  de 1: 50 063 860.           Justifique.




                        DEBATE

         E se algum resolvesse fazer todas as apostas possveis, compensaria? Discuta com sua turma.



                                       Tomar decises, com base nas mais diferentes possibilidades de ar-
                                   ranjar, ordenar e combinar elementos, pode ajudar muito a direcionar
                                   nossas aes perante situaes reais do cotidiano!



                                     ObrasConsultadas
                                      GERSTING, J. L., Fundamentos Matemticos para a Cincia da
                                      Computao. 4. ed. Terespolis: Editora LTC, 2001. Trad. IORIO, Valria M.
                                                    a


                                      IMENES, L. M. & LELLIS, M. Os nmeros na histria da civilizao.
                                      Col. Vivendo a Matemtica. So Paulo: Scipione, 1999.
                                      IMENES, L. M. A numerao indo-arbica. Col. Vivendo a Matemtica.
                                      So Paulo: Scipone, 1989.
                                      MAHAN, B. M. ; MYERS, R. J. Qumica: um curso universitrio. Traduo:
                                      ARATI, Koiti et all. 4. ed. So Paulo: Ed. Edgard Blucher Ltda, 1993.
                                                            a


                                      MELLO. Jos Luiz P. Comparando Loterias no Ensino de probabilidades.
                                      Revista do Professor de Matemtica  SBM. So Paulo: n 44, 3
                                      quad., 2000.




220 TratamentodaInformao
                                                                           Matemtica

RODRIGUES. Flavio W. A mdia e a mega sena acumulada. Revista do
Professor de Matemtica  SBM. So Paulo: n 43, 2 quad., 2000.
STRUIK, Dirk J. Histria concisa das Matemticas. Traduo:
GUERREIRO, J. G.S. 2. ed. Lisboa: Gradiva. 1997.
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 DocumentosConsultadosONLINE
MORAES, K. C. M. O que  Engenharia Gentica???? Campinas, 1998.
Disponvel em: http//cafe.cbmeg.unicamp.br/mano/eg /karen.htm. Acesso
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            ANOTAES




                                                                        ArtedeContar 221
       EnsinoMdio




222 TratamentodaInformao
                                                                                                           Matemtica




                                                                                                    16
                                                   SONHO ASSEGURADO?                  Loreni Aparecida Ferreira Baldini1

                                                    Ter um carro ainda  um sonho de muitas pessoas...
                                                    Porm, ser que todos tm o capital necessrio para
                                                    adquirir o carro com que sonham?




                                                    No basta apenas ter o dinheiro necessrio para
                                                    comprar o carro. H tantos roubos, e sempre pode
                                                    acontecer algum acidente... Se voc for bastante cui-
                                                    dadoso e nunca bater com seu carro, isso no quer
                                                    dizer que outros sejam to cuidadosos... e no pos-
                                                    sam bater com o carro deles no seu!!
                                                    Uma das despesas quase que obrigatrias para o
                                                    proprietrio de um carro  o seguro contra roubos e
                                                    acidentes.
                                                     Qual o carro dos seus sonhos?  possvel fazer seguro dele?
                                                         Ser que existe seguro para qualquer carro?


Colgio Estadual Padre Jos de Anchieta - EFM - Apucarana - PR
1




                                                                                                Sonhoassegurado? 223
       EnsinoMdio

                                 Muitas pessoas pensam que fazer seguro  coisa dos tempos mo-
                             dernos. Afinal, existe seguro para tantas coisas, tais como: carros, im-
                             veis, mveis, animais, agricultura e at de vida. Mas temos informaes
                             de que a preocupao em fazer seguros existia entre os comerciantes
                             martimos, de civilizaes que viveram antes de Cristo. J nessa poca
                             buscava-se preservar as cargas contra naufrgios e roubos.
                                 Um dos seguros muito comuns, atualmente,  o seguro de vida,
                             que surgiu na Idade Mdia diante do crescimento das cidades. Assim,
                             a prtica dos seguros se estendeu at hoje, e a cada vez h mais pro-
                             cura.
                                 As tcnicas das seguradoras daqueles tempos eram baseadas nas
                             experincias e, desse modo, estipulavam as taxas e prmios correspon-
                             dentes por meio das possibilidades de ocorrer roubos ou naufrgios.
                                 Atualmente, como ser que ocorre essa prtica de seguros?
                                 Voc entende essa linguagem das seguradoras?
                                 O que  isso que eles chamam de "prmio"?
                                 O que so as "taxas"?
                                 O que  a "franquia"?
                                 Para o clculo da franquia e do prmio anual, as seguradoras fazem
                             um levantamento estatstico das caractersticas do veculo e do clien-
                             te, tais como:
                              Idade e sexo do(s) condutor(es);

                              Regio de risco e garagem fechada ou aberta;

                              Modelo (grande ou pequeno risco de roubo);

                              Possuem acessrios que visam furtos, ou equipamentos de prote-
                                 o a roubos e outros.
                                 Esses fatores e outros so fundamentais no levantamento estatstico
                             para definir os valores do prmio e da franquia.
                                 Um dos seguros mais caros, atualmente,  para condutores mais jo-
                             vens solteiros e com idade entre 18 e 25 anos, pois, so considerados
                             sujeitos a maior risco de acidentes, uma vez que as suas atividades de
                             lazer so associadas ao consumo de bebidas, e portanto, podem se ex-
                             por aos acidentes.
                                 O modelo estatstico varia de acordo com o mercado entre tantos
                             outros fatores. Veja a tabela abaixo, de uma pesquisa realizada na re-
                             gio de Foz do Iguau-PR, que considera a cobertura total do casco e
                             no faz distino por idade e nem por sexo.

     Modelo Ano 2000     Franquia (Mdia R$)   Valor do casco        Prmio (Mdia R$)                  Sinistro
     Categoria:Pick-up                           (Mdia R$)                                      (Acidentes ou roubos)
       Saveiro CL 1.6           561              14.174,00                  2.463,00                      40,70%
        Volkswagem
      Courier 1.3 Ford          471              13.872,00                  1.262,00                      23,30%
                                                         Fonte: SUSEP-Superintendncia de Seguros Privados - Jul/Dez. de 2003


224 TratamentodaInformao
                                                                                             Matemtica



                 DEBATE

        Em sua opinio, o valor do seguro para estes tipos de carros, possu um preo acessvel? A que
         se deve o valor ser este, e no outro?
        Compare o valor do casco dos dois carros, a diferena  pequena, mas por que ser que o pr-
         mio tem uma diferena de valor to grande?
        Analise outras informaes que esto na tabela e discuta com sua turma.


    Para tratar melhor este assunto, existe uma abordagem matemtica,
ela  feita atravs do "clculo de probabilidades". Veja como funciona:
    Observando a tabela anterior podemos concluir que:
    A cada 100 Saveiros circulando nesta regio, aproximadamente 41
deles podem sofrer sinistros.

              41
              100 = 0,41 = 41%       de probabilidade de sinistro

   A totalidade dos veculos Saveiro envolvidos nessa situao recebe
o nome de Espao Amostral.
   O possvel envolvimento de um Saveiro em sinistros recebe o no-
me de Evento.
   Dessa forma, conclumos que a probabilidade de ocorrncia de um
evento  a razo entre a quantidade de possibilidades favorveis e a
quantidade total de possibilidades associadas ao evento.

     possvel saber com certeza quais dos automveis vo se envolver em si-
nistros?

   Podemos tentar prever, com base no que j aconteceu, a possibili-
dade do que venha a acontecer com os Saveiros, porm no temos co-
mo saber qual deles  que vai, realmente, sofrer um sinistro. Quando
as situaes so descritas dessa maneira, em termos de chances, elas
podem ser chamadas de Experimentos Aleatrios.
   Assim, descobrimos que  com base em estatsticas, feitas por meio
de amostras, que as seguradoras analisam as probabilidades de acon-
tecer roubos ou acidentes, gerando assim, um sistema de informaes
baseado no perfil do veculo e do seu condutor; depois disso, de acor-
do com critrios definidos pelo mercado,  que se calcula o valor do
prmio e da franquia.




                                                                                    Sonhoassegurado? 225
       EnsinoMdio

                                 No  muito simples fazer estes clculos, e talvez por isso, a maio-
                             ria das seguradoras adota valores tabelados... sem que se saiba quem
                             foi que os calculou inicialmente. E se esse "calculador" cometer erros?
                             Quem saberia como verificar isso?


                     PESQUISA

           Investigue outras situaes que sugerem experimentos aleatrios, como os dos carros.
           Investigue outro tipo de experimento. Qual?
           Represente essa razo que indica a Probabilidade de um evento de maneira que sirva para qual-
            quer situao como essa.


                                 E o carro dos sonhos, qual ser a probabilidade de sinistros? Investigue.

                                 Diante dessa situao podemos perceber que a anlise de dados e
                             as tomadas de decises so, na maioria das vezes, relacionadas ao es-
                             pao amostral, que muitas vezes est relacionado a uma amostra. Mas
                             ser que sempre se leva em conta o tamanho da amostra para tais con-
                             cluses? Veja a seguir uma situao curiosa que nos faz pensar na in-
                             fluncia do tamanho de um espao amostral.
                                 Quando se trata do nascimento de uma criana, qual a probabilida-
                             de de nascer uma menina ou de nascer um menino?
                                 Analise a situao:
                                 Em uma cidade h duas maternidades, uma grande e outra peque-
                             na. Dos fatos mencionados a seguir, algum tem mais probabilidade
                             que outro de ocorrer, ou os dois so igualmente provveis?
                                 Fato A: Nascerem 250 ou mais meninas dos primeiros 500 bebs na
                             maternidade grande.
                                 Fato B: Nascerem 25 ou mais meninas dos primeiros 50 bebs na
                             maternidade pequena.
                              Discuta a probabilidade, nesse caso, em relao ao espao amos-
                                 tral.
                              Se o espao amostral for maior, h maiores probabilidades de cer-
                                 tas ocorrncias?
                                 O conhecimento de probabilidade no  algo recente. Livros de
                             histria da matemtica destacam que ele surgiu por meio de proble-
                             mas envolvendo jogos e apostas. H indcios de que homens primiti-
                             vos usavam um osso para jogar, o "astrgalus", osso do calcanhar.




226 TratamentodaInformao
                                                                                             Matemtica




     As regras do "jogo do osso" eram parecidas com a do jogo dos da-
dos, mas com quatro faces, sendo os valores 4 e 3 para as faces maio-
res, e 1 e 6 para as duas faces menores. O "Osso" do jogo  um obje-
to assimtrico e foi por meio de experimentos que se mostrou que as
probabilidades de ocorrncia eram:

                                 P(4)=0,39;
                                 P(3)=0,37;
                              P(1)= P(6)=0,12.



                PESQUISA

    A soma de todas as possibilidades deve resultar 1 ou 100%. Voc saberia dizer o motivo para isso?



                ATIVIDADE

       O que pode acontecer, em termos de probabilidade, se lanarmos um objeto simtrico, como
        uma moeda? E se for um objeto assimtrico?
       Organize-se em grupos e faa experimentos ou lanamentos com objetos assimtricos, como
        tacha ou percevejos, e construa uma tabela para analisar as probabilidades. Faa o mesmo com
        uma moeda e compare as duas tabelas.

   Talvez o dado seja o material mais simples para o incio de um es-
tudo sobre as "chances" de vitria em algum jogo. O dado  considera-
do um objeto simtrico e, por isso, todas as faces tm a mesma chance
de cair para cima. Quando isso acontece, diz-se que o dado  hones-



                                                                                   Sonhoassegurado? 227
       EnsinoMdio

                              to. Isso no aconteceria se o "dado" no fosse simtrico, ou se tivesse
                              sido "desequilibrado" pela incluso de algum material mais pesado em
                              um de seus vrtices ou faces.


                     ATIVIDADE

        Verifique:
           Qual o espao amostral do lanamento de um dado no viciado? E do lanamento de dois da-
            dos?
           Qual a probabilidade de sair o evento 1 no lanamento de um dado? E de sair o 6? Desafio: re-
            alize um experimento para constatar esses fatos.
           No lanamento do "osso", qual evento tem maior possibilidade de sair? Por qu?

                                  Em certa poca, jogadores profissionais de dados e cartas procura-
                              ram pessoas que fossem capazes de calcular quais seriam as melhores
                              apostas a fazer, ou, em outras palavras, desejavam saber a probabilida-
                              de de ganhar certos jogos. Dessa forma, alguns tipos de jogos passa-
                              ram a ser objeto de estudos, de modo que foram organizados manuais
                              contendo hipteses, clculo de expectativas e previses, principalmen-
                              te para jogos de dados.
                                  Um jogador, conhecido por Cavaleiro de Mr, foi uma das pessoas
                              que, em 1650, procurou Blaise Pascal, para resolver problemas com os
                              quais tinha se deparado em suas partidas de jogos de dados.


                     ATIVIDADE

        Vamos pensar sobre o problema que ele enfrentou.
        Jogando com um par de dados honestos, quantos lances so necessrios para que tenhamos uma
     chance favorvel de obtermos um duplo-seis, ao menos uma vez?
           Uma chance favorvel ao jogador dever ser maior que
            50%. Ento, quantos lances seriam necessrios?
           Investigue, ao jogar dois dados, qual a probabilidade de
            sair o evento duplo seis? E a probabilidade de no sair o
            duplo seis?
           Compare as duas questes anteriores. O que se obtm
            com a soma desses resultados?


                                 Os jogos surgiram nas mais variadas culturas e existem h muitos
                              sculos. As pessoas sempre jogaram por uma razo ou outra. Mas...




228 TratamentodaInformao
                                                                                      Matemtica

     racional uma pessoa arriscar seus bens  casualidade dos jogos como
loterias, mquinas, caa-nqueis ou bingos?

    Algumas pessoas jogam apenas como uma atividade de lazer e dis-
trao, enquanto outras jogam por vcio e muitas vezes arriscam todos
os bens que possuem, e mais os de seus familiares. Alguns tipos de jo-
gos nos distraem e ajudam a perceber certas regularidades; no entan-
to, considerar os jogos como uma esperana de realizao financeira 
muito arriscado; voc sabe por qu?
    Muitas vezes num jogo, as possibilidades de ganhar ou de perder
dependem de vrios fatores, inclusive se as regras desse jogo permi-
tem aos jogadores igualdade de oportunidades. Voc conhece o "jo-
go da velha"? Sabia que se o primeiro a jogar marcar um "X" no espa-
o central, qualquer que seja a jogada do segundo jogador, se o jogo
for jogado corretamente, nunca o segundo jogador conseguir a vit-
ria? [Jogado corretamente o jogo e comeando dessa forma, resulta-
r sempre em empate]. Ento, o que estamos dizendo  que algum
que tenha essa informao poder at jogar "honestamente", mas esta-
r sendo desonesto se exigir ser o primeiro a comear. Um jogo pos-
sui "regras", e estas regras no so  elas mesmas  "honestas" ou "de-
sonestas". Deste modo, o conhecimento que temos das regras e o uso
que fazemos delas podem modificar a relao que temos com o nosso
adversrio e isso tem um forte sentido tico.

    Voc j observou pessoas que tentam tirar vantagens de algumas situaes
cotidianas?
    Vamos analisar duas situaes:
    Situao 1
    Com a inteno de sortear uma calculadora, um professor de ma-
temtica pede para cada aluno retirar, de uma urna que est sobre a
mesa, um papel numerado. Esse papel contm o nmero de cupons
a que o aluno tem direito para concorrer ao sorteio. Os nmeros nos
papis no so repetidos e vo de 1 at o total de alunos presentes na
sala de aula. Caso o aluno retire o nmero um dessa urna, concorre
com um cupom; se tirar o nmero dois, concorre com dois cupons, e
assim por diante. Qual aluno ter chance maior de ganhar essa calcu-
ladora? Seria ele o ganhador?
 Todos os alunos tm a mesma probabilidade de ganhar a calcula-
    dora? Justifique.
 Na distribuio de cupons todos os participantes foram colocados
    na mesma condio de sorte? E na hora do sorteio? Houve desones-
    tidade nesse sorteio? Reflita!
 Pense e registre estratgias nas quais todos os alunos tenham a
    mesma probabilidade de ganhar a calculadora.

                                                                               Sonhoassegurado? 229
       EnsinoMdio

                                  Situao 2
                                  Numa casa de jogos h um jogo de dado no qual a premiao ocor-
                              re da seguinte forma:
                               O jogador nada recebe se sair os nmeros 4, 5 ou 6.

                               O jogador ganha 50% a mais do que apostou se sair os nmeros 2
                                  ou 3.
                               O jogador ganha 3 vezes o que apostou se sair o nmero 1.

                                  Uma pessoa interessada em participar desse jogo deseja saber se
                              ele  justo. Pede ajuda a um amigo que sempre apostou nessa casa de
                              jogos. Tal amigo lhe confidencia que observou que o dado  viciado e
                              em virtude disso, o nmero 6 sai o triplo das vezes em relao aos n-
                              meros restantes e, por isso, o jogo  proposto com essas condies.
                                  Neste caso, o jogo  equilibrado? Quem ter maiores chances, os jo-
                              gadores ou o dono da casa de jogos?


                     ATIVIDADE

        Para refletir sobre essa situao, vamos considerar um dado honesto que ao jog-lo temos o Es-
     pao Amostral {1, 2, 3, 4, 5 e 6}, neste caso:
           Qual a probabilidade de sair o nmero 4, 5 ou 6 e perder o que apostou?
           Qual a probabilidade de sair os nmeros 2 ou 3 e ganhar 50% a mais do que apostou?
           Qual a probabilidade de sair o nmero 1 e ganhar trs vezes o que apostou?


         Mas, considerando que o dado  viciado, todos os nmeros tm a mesma probabilidade de sair,
     exceto o seis. A probabilidade para ele  o triplo daquela que vale para qualquer outro nmero. Inves-
     tigue.
           Qual a probabilidade de perder tudo que apostou?
           Qual a probabilidade de ganhar 50% acima do valor que apostou?
           E de ganhar 3 vezes o que apostou?
           Compare os resultados do dado honesto e do viciado e verifique se esse
            jogo  justo ou no.


                                  Se voc analisou com ateno a situao 1 e a 2, certamente perce-
                              beu que na primeira, apesar dos alunos concorrerem com diferenas
                              enorme de chance, as regras foram claras, pois inicialmente eles esti-
                              veram sujeitos apenas a aleatoriedade, ou seja, concorreram em igual-
                              dade de condio. Enquanto na segunda situao, as regras no eram
                              claras, no constava que o dado era viciado. Comparando os resulta-
                              dos do dado honesto com o viciado, voc deve ter percebido que no
                              dado viciado as chances do dono da casa de jogos so bem maiores e
                              isso foi ocultado. Assim...

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                                                                                              Matemtica



                 DEBATE

        Reflita se a questo tica nos jogos pode mudar a probabilidade dos seus resultados.
        Discuta os princpios ticos envolvidos em situaes como estas que nos aparecem no dia-a-
         dia. Como na fila do banco, numa prova ao "colar", no trnsito...


    Chau (1994) ressalta que "para que haja conduta tica  preciso
que exista o agente consciente, isto ,  preciso conhecer a diferena
entre bem e mal, certo e errado, permitido e proibido, virtude e vcio".
Alm disso, salienta que  a conscincia moral quem identifica tais di-
ferenas e permite julg-las.
    Assim, percebe-se que questes ticas, nas diversas perspectivas,
podem interferir no curso natural dos fatos que acontecem no nosso
dia-a-dia.

   Quais sero as estratgias das casas de jogos para obter lucros?

   Situaes de deciso baseada na probabilidade de acontecer, ou
no um evento,  um fato muito comum no nosso dia-a-dia. Muitas ve-
zes agimos por um instinto, mas algumas pessoas no. Um exemplo
que acontece muito  disputar o "par ou mpar" nos campeonatos para
verificar qual time sai com a bola. Veja o que aconteceu numa dessas
disputas, na qual alguns agiram por intuio e outros no.


                 ATIVIDADE

     Ao iniciar uma partida de futsal no colgio, os meninos disputaram no "par ou mpar" para verificar
 quem sairia com a bola. Para isso, combinaram que no valeria mo fechada representando o zero. A
 equipe que jogou mpar perdeu, ento, um dos jogadores dessa equipe, inconformado com a perda,
 disse que dessa forma jogo de par ou mpar  injusto. Houve a maior confuso! Seria Verdade? Ser
 que nessas condies existem probabilidades diferentes de sair par ou de sair mpar? Organize-se em
 grupos e faa um esquema que permita verificar.

    Nesse sentido, o clculo de probabilidades, ou seja, a anlise do
que tem maior chance de ocorrer aparece nas mais variadas situaes,
inclusive na rea da sade. Desta forma, tem auxiliado na cura ou pre-
veno de muitas doenas.
    Os estudos sobre a estrutura das molculas do DNA (cido deso-
xirribonuclico), substncia que armazena as caractersticas heredit-
rias, possibilitam calcular a probabilidade de uma pessoa ter determi-
nadas doenas.
                                                                                    Sonhoassegurado? 231
        EnsinoMdio

                                       Entre tantas situaes, o estudo das probabilidades, com o exame
                                   do DNA, tem ajudado a resolver uma dvida antiga, a paternidade de
                                   uma criana e tambm alguns casos de crimes.
                                       O estudo das combinaes do cdigo gentico do DNA, atravs da
                                   probabilidade, tem solucionado as possveis dvidas relacionadas 
                                   paternidade biolgica, uma vez que o ser humano possui 23 cromos-
                                   somos de origem materna e 23 de origem paterna.
                                       Cromossomo: estrutura encontrada no ncleo da clula, constitu-
                                   da de DNA e protenas.
                                       Mas como  comprovada a paternidade?
                                       Isso  possvel com um teste de paternidade, um exame laborato-
                                   rial. Existem vrios mtodos para a realizao desse exame, um deles
                                   utilizando Sondas "Single-Locus". Neste caso:
                                    Localiza regies precisas do DNA.

                                    Separam alelos, da me, do filho e do suposto pai e faz compara-
                                       es entre eles.
                                       Alelos: Alelos so genes que compem os cromossomos e que car-
                                   regam as mesmas caractersticas.
                                       Este exame pode ser realizado utilizando vrios materiais, o mais
                                   comum  por meio do sangue da me, da criana e do suposto pai.
                                   Com a tcnica laboratorial, a eletroforese, separa-se o DNA, formando
                                   as bandas de fragmentos de DNA, faixas escuras que permitem visua-
                                   lizar, analisar e comparar as caractersticas dos genes. Para confirmar
                                   ou no a paternidade biolgica, basta comparar as bandas de alelos e
                                   identificar se os fragmentos da criana coincidem com o da me e ou-
                                   tro do pai.

     Gene: parte do cromosso-         Veja como pode ser a representao visual dos fragmentos das bandas de
    mo capaz de definir caracte-
                                   DNA por meio da eletroforese
    rstica especfica.

                                      Exemplo1:
                                      Coincidncia de alelo com o da me e
                                      um com o do suposto pai.
                                      Neste caso, a probabilidade de ser o
                                      pai  considerada 99,99... % e no 
                                      mais discutido biologicamente.
                                      Portanto: EVENTO CERTO!




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    Exemplo 2
    No h coincidncias entre os alelos
    da criana e do suposto pai.
    A probabilidade  de 0 % de ser o pai.
    Portanto: Evento Impossvel!




  Voc j deve ter percebido que a Probabilidade (P) de um experi-
mento aleatrio acontecer varia entre 0% e 100%, portanto: 0 P 1,
mas no caso da paternidade ou  0% ou  100%.




                  PESQUISA

         Investigue por que num exame de DNA, a probabilidade de ser o pai  de aproximadamente
          99,99...%.
         Levante dados para construo de tabelas que permitam analisar as probabilidades de casos de
          doenas genticas.




                  ATIVIDADE

      Vamos brincar um pouco com a probabilidade?
       Considere um plano, como visualizado a seguir, formado com hexgonos de lado a, dispostos em
   forma de mosaico, no qual ser lanado aleatoriamente um disco de dimetro d. Ganha quem lanar o
   disco e quando este pousar no solo e no interceptar nem tangenciar os lados de nenhum hexgono.
         Que medida determinar para o dimetro do disco para que o jogo seja equilibrado, ou seja, nem
          to fcil nem to difcil?




                                                                                    Sonhoassegurado? 233
       EnsinoMdio


           Qual o maior dimetro possvel?
           Qual a probabilidade de o disco de dimetro d, de-
            pois de pousar no plano, no interceptar nem tangen-
            ciar os lados de nenhum hexgono?
           Crie um jogo com este ou outros tipos de mosai-
            cos com formas geomtricas regulares, discuta o
            dimetro do disco e organize as probabilidades de
            ocorrncias.




                                 A presena de fenmenos com resultados imprevisveis  algo que
                             faz parte, freqentemente, do cotidiano do ser humano. A incerteza es-
                             t presente nas mais variadas situaes e faz com que as pessoas, mui-
                             tas vezes, com base numa intuio, que pode ser falsa, tomem deci-
                             ses sobre temas decorrentes da incerteza sem refletir e sem conhecer
                             ao menos os resultados que realmente podem acontecer.

                                 Repense as atividades apresentadas. Reflita se um evento que possui maior
                             probabilidade de ocorrer, realmente ocorre.
                                 Se voc tiver que tomar uma deciso numa situao que envolve aleato-
                             riedade, qual seria sua aposta? Voc deixaria de fazer clculos e apostaria
                             "na cega"?


                                ObrasConsultadas
                                 CARVALHO, D. L.; OLIVEIRA, P. Quatro Concepes de Probabilidade
                                 Manifestadas por Alunos Ingressantes na Licenciatura Em
                                 Matemtica: Clssica, Freqentista, Subjetiva e Formal. PRAPEM - Grupo
                                 de Pesquisa do CHAU, M. Convite  filosofia. So Paulo: Ed. tica,
                                 1994.
                                 GARDNER. E. J.; SNUSTAD. D. P. Gentica. 7. ed. Rio de Janeiro:
                                                                           a

                                 Guanabara, 1986.


                                DocumentosConsultadosONLINE
                                 GIMENEZ, C. H. Teste de Paternidade por Anlise do DNA. Disponvel
                                 em: http://www.ufv.br/dbg/BIO240/TP123.htm. Acesso em: 04 set. 2005.
                                 SILVEIRA, J. F.P. Incio da matematizao das probabilidades.
                                 Disponvel em: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2.html. Acesso em:
                                 29 ago. 2005.
                                 VARANDAS, J. M. Probabilidade. Disponvel em: www.educ.fc.ul.pt/icm/
                                 icm98/ icm42/casino. Acesso em: 18 ago. 2005.



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